Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Ниже разберем способы, как решить линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше второго, имеющих постоянные коэффициенты. Подобные уравнения представлены записями y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) , в которых f 0 , f 1 , . . . , f n — 1 — являются действительными числами, а функция f ( x ) является непрерывной на интервале интегрирования X .
Оговоримся, что аналитическое решение подобных уравнений иногда неосуществимо, тогда используются приближенные методы. Но, конечно, некоторые случаи дают возможность определить общее решение.
Общее решение ЛОДУ и ЛДНУ
Мы зададим формулировку двух теорем, показывающих, какого вида общих решений ЛОДУ и ЛНДУ n -ого порядка следует искать.
Общим решением y 0 ЛОДУ y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 на интервале
X (коэффициенты f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) непрерывны на X ) будет линейная комбинация
n линейно независимых частных решений ЛОДУ y j , j = 1 , 2 , . . . , n , содержащая произвольные постоянные коэффициенты C j , j = 1 , 2 , . . . , n , то есть y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j .
Общим решением y ЛНДУ y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) на интервале X (коэффициенты f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) непрерывны на X ) и функцией f ( x ) будет являться сумма y = y 0 + y
, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 , а y
— некоторое частное решение исходного ЛНДУ.
Итак, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, содержащего постоянные коэффициенты y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) , нужно искать, как y = y 0 + y
— некоторое его частное решение, а y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 .
В первую очередь рассмотрим, как осуществлять нахождение y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j — общее решение ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами, а потом научимся определять частное решение y
линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка при постоянных коэффициентах.
Алгебраическое уравнение n -ого порядка k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 носит название характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка, содержащего постоянные коэффициенты, записи y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 .
Возможно определить n частных линейно независимых решений y 1 , y 2 , . . . , y n исходного ЛОДУ, исходя из значений найденных n корней характеристического уравнения k 1 , k 2 , . . . , k n .
Методы решения ЛОДУ и ЛНДУ
Укажем все существующие варианты и приведем примеры на каждый.
- Когда все решения k 1 , k 2 , . . . , k n характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 действительны и различны, линейно независимые частные решения будут выглядеть так:
y 1 = e k 1 · x , y 2 = e k 2 · x , . . . , y n = e k n · x . Общее же решение ЛОДУ n -ого порядка при постоянных коэффициентах запишем как: y 0 = C 1 · e k 1 · x + C 2 · e k 2 · x + . . . + C n · e k n · x .
Пример 1
Задано ЛОДУ третьего порядка, содержащее постоянные коэффициенты y ‘ ‘ ‘ — 3 y » — y ‘ + 3 y = 0 . Определите его общее решение.
Решение
Cоставим характеристическое уравнение и найдем его корни, разложив предварительно многочлен из левой части равенства на множители, используя метод группировки:
k 3 — 3 k 2 — k + 3 = 0 k 2 ( k — 3 ) — ( k — 3 ) = 0 ( k 2 — 1 ) ( k — 3 ) = 0 k 1 = — 1 , k 2 = 1 , k 3 = 3
Ответ: найденные корни являются действительными и различными, значит общее решение ЛОДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами запишем как: y 0 = C 1 · e — x + C 2 e x + C 3 · e 3 x .
- Когда решения характеристического уравнения являются действительными и одинаковыми ( k 1 = k 2 = . . . = k n = k 0 ) , линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами буду иметь вид: y 1 = e k 0 · x , y 2 = x · e k 0 · x , . . . , y n = x n — 1 · e k 0 · x .
Общее же решение ЛОДУ будет выглядеть так:
y 0 = C 1 · e k 0 · x + C 2 · e k 0 · x + . . . + C n · x n — 1 · e k 0 · x = = e k 0 · x · C 1 + C 2 · x + . . . + C n · x n — 1
Задано дифференциальное уравнение: y ( 4 ) — 8 k ( 3 ) + 24 y » — 32 y ‘ + 16 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.
Решение
Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 4 — 8 k 3 + 24 k 2 — 32 k + 16 = 0 .
Преобразуем данное характеристическое уравнение, используя формулу бинома Ньютона, оно примет вид: k — 2 4 = 0 . Отсюда мы выделим его четырехкратный корень k 0 = 2 .
Ответ: общим решением заданного ЛОДУ станет: y 0 = e 2 x · C 1 + C 2 · x + C 3 · x 2 + C 4 · x 3
- Когда решения характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка при постоянных коэффициентах — различные комплексно сопряженные пары α 1 ± i · β 1 , α 2 ± i · β 2 , . . . , α m ± i · β m , n = 2 m , линейно независимые частные решения такого ЛОДУ будут иметь вид:
y 1 = e α 1 x · cos β 1 x , y 2 = e α 1 x · sin β 1 x , y 3 = e α 2 x · cos β 2 x , y 4 = e α 2 x · sin β 2 x , … y n — 1 = e α m x · cos β m x , y n = e α m x · sin β m x
Общее же решение запишем так:
y 0 = e α 1 x · C 1 · cos β 1 x + C 2 · sin β 1 x + + e α 2 x · C 3 · cos β 2 x + C 4 · sin β 2 x + . . . + + e α m x · C n — 1 · cos β m x + C n · sin β m x
Задано ЛОДУ четвертого порядка при постоянных коэффициентах y ( 4 ) — 6 y ( 3 ) + 14 y » — 6 y ‘ + 13 y = 0 . Необходимо его проинтегрировать.
Решение
Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 4 — 6 k 3 + 14 k 2 — 6 k + 13 = 0 . Осуществим преобразования и группировки:
k 4 — 6 k 3 + 14 k 2 — 6 k + 13 = 0 k 4 + k 2 — 6 k 3 + k + 13 k 2 + 1 = 0 k 2 + 1 k 2 — 6 k + 13 = 0
Из полученного результата несложно записать две пары комплексно сопряженных корней k 1 , 2 = ± i и k 3 , 4 = 3 ± 2 · i .
Ответ: общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами запишется как:
y 0 = e 0 · C 1 · cos x + C 2 · sin x + e 3 x · C 3 · cos 2 x + C 4 · sin 2 x = = C 1 · cos x + C 2 · sin x + e 3 x · C 3 · cos 2 x + C 4 · sin 2 x
- Когда решения характеристического уравнения — это совпадающие комплексно сопряженные пары α ± i · β , линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами будут записи:
y 1 = e α · x · cos β x , y 2 = e α · x · sin β x , y 3 = e α · x · x · cos β x , y 4 = e α · x · x · sin β x , … y n — 1 = e α · x · x m — 1 · cos β x , y n = e α · x · x m — 1 · sin β x
Общим решением ЛОДУ будет:
y 0 = e α · x · C 1 · cos β x + C 2 · sin β x + + e α · x · x · C 4 · cos β x + C 3 · sin β x + . . . + + e α · x · x m — 1 · C n — 1 · cos β x + C n · sin β x = = e α · x · cos β x · C 1 + C 3 · x + . . . + C n — 1 · x m — 1 + + e α · x · sin β x · C 2 + C 4 · x + . . . + C n · x m — 1
Задано линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами y ( 4 ) — 4 y ( 3 ) + 14 y » — 20 y ‘ + 25 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.
Решение
Составим запись характеристического уравнения, заданного ЛОДУ, и определим его корни:
k 4 — 4 k 3 + 14 k 2 — 20 k + 25 = 0 k 4 — 4 k 3 + 4 k 2 + 10 k 2 — 20 k + 25 = 0 ( k 2 — 2 k ) 2 + 10 ( k 2 — 2 k ) + 25 = 0 ( k 2 — 2 k + 5 ) 2 = 0 D = — 2 2 — 4 · 1 · 5 = — 16 k 1 , 2 = k 3 , 4 = 2 ± — 16 2 = 1 ± 2 · i
Таким образом, решением характеристического уравнения будет двукратная комплексно сопряженная пара α ± β · i = 1 ± 2 · i .
Ответ: общее решение заданного ЛОДУ: y 0 = e x · cos 2 x · ( C 1 + C 3 · x ) + e x · sin 2 x · ( C 2 + C 4 · x )
- Встречаются различные комбинации указанных случаев: некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые — действительными и совпадающими, а какие-то — комплексно сопряженными парами или совпадающими комплексно сопряженными парами.
Пример 5
Задано дифференциальное уравнение y ( 5 ) — 9 y ( 4 ) + 41 ( 3 ) + 35 y » — 424 y ‘ + 492 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.
Решение
Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 5 — 9 k 4 + 41 k 3 + 35 k 2 — 424 k + 492 = 0 .
Левая часть содержит многочлен, который возможно разложить на множители. В числе делителей свободного члена определяем двукратный корень k 1 = k 2 = 2 и корень k 3 = — 3 .
На основе схемы Горнера получим разложение: k 5 — 9 k 4 + 41 k 3 + 35 k 2 — 424 k + 492 = k + 3 k — 2 2 k 2 — 8 k + 41 .
Квадратное уравнение k 2 — 8 k + 41 = 0 дает нам оставшиеся корни k 4 , 5 = 4 ± 5 · i .
Ответ: общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет: y 0 = e 2 x · C 1 + C 2 x + C 3 · e — 3 x + e 4 x · C 4 · cos 5 x + C 5 · sin 5 x
Таким образом, мы рассмотрели основные случаи, когда возможно определить y 0 — общее решение ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами.
Следующее, что мы разберем – это ответ на вопрос, как решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение n -ого порядка с постоянными коэффициентами записи y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) .
Общее решение в таком случае составляется как сумма общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного ЛНДУ: y = y 0 + y
. Поскольку мы уже умеем определять y 0 , остается разобраться с нахождением y
, т.е. частного решения ЛНДУ порядка n с постоянными коэффициентами.
Приведем все способы нахождения y
согласно тому, какой вид имеет функция f ( x ) , находящаяся в правой части рассматриваемого ЛНДУ.
- Когда f ( x ) представлена в виде многочлена n -ой степени f ( x ) = P n ( x ) , частным решением ЛНДУ станет: y
= Q n ( x ) · x γ . Здесь Q n ( x ) является многочленом степени n , а r – указывает, сколько корней характеристического уравнения равно нулю.
Когда функция f ( x ) представлена в виде произведения многочлена степени n и экспоненты f ( x ) = P n ( x ) · e α · x , частным решением ЛНДУ второго порядка станет: y
= e α · x · Q n ( x ) · x γ . Здесь Q n ( x ) является многочленом n —ой степени, r указывает, сколько корней характеристического уравнения равно α .
Когда функция f ( x ) записана как f ( x ) = A 1 cos ( β x ) + B 1 sin ( β x ) , где А 1 и В 1 – числа, частным решением ЛНДУ станет запись y
= A cos β x + B sin β x · x γ . Здесь где А и В являются неопределенными коэффициентами, r – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно ± i β .
Когда f ( x ) = e α x · P n ( x ) sin β x + Q k x cos β x , то y
= e α x · L m x sin β x + N m x cos β x · x γ , где r – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно α ± i β , P n ( x ) , Q k ( x ) , L m ( x ) и N m ( x ) являются многочленами степени n , k , m и m соответственно, m = m a x ( n , k ) .
Коэффициенты, которые неизвестны, определяются из равенства y
( n — 1 ) + . . . + f 1 y
Подробности нахождения решений уравнений в каждом из указанных случаев можно изучить в статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, поскольку схемы решения ЛНДУ степени выше второй полностью совпадают.
Когда функция f ( x ) имеет любой иной вид, общее решение ЛНДУ возможно определить, используя метод вариации произвольных постоянных. Его разберем подробнее.
Пусть нам заданы y j , j = 1 , 2 , . . . , n — n линейно независимые частные решения соответствующего ЛОДУ, тогда, используя различные вариации произвольных постоянных, общим решением ЛНДУ
n -ого порядка с постоянными коэффициентами будет запись: н = ∑ j = 1 n C j ( x ) · y j . В нахождении производных функций C j ( x ) , j = 1 , 2 , . . . , n поможет система уравнений:
∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y ‘ j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y » j = 0 … ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 2 ) = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 1 ) = 0
а собственно функции C j ( x ) , j = 1 , 2 , . . . , n найдем при последующем интегрировании.
Задано ЛНДУ с постоянными коэффициентами: y ‘ ‘ ‘ — 5 y » + 6 y ‘ = 2 x . Необходимо найти его общее решение.
Решение
Составим характеристическое уравнение: k 3 — 5 k 2 + 6 k = 0 . Корни данного уравнения: k 1 = 0 , k 2 = 2 и k 3 = 3 . Таким образом, общим решением ЛОДУ будет запись: y 0 = C 1 + C 2 · e 2 x + C 3 · e 3 x , а частные линейно независимые решения это: y 1 = 1 , y 2 = e 2 x , y 3 = e 3 x .
Варьируем произвольные постоянные: y = C 1 ( x ) + C 2 ( x ) · e 2 x + C 3 ( x ) · e 3 x .
Чтобы определить C 1 ( x ) , C 2 ( x ) и C 3 ( x ) , составим систему уравнений:
C ‘ 1 ( x ) · y 1 + C ‘ 2 ( x ) · y 2 + C ‘ 3 ( x ) · y 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · y ‘ 1 + C ‘ 2 ( x ) · y ‘ 2 + C ‘ 3 ( x ) · y ‘ 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · y » 1 + C ‘ 2 ( x ) · y » 2 + C ‘ 3 ( x ) · y » 3 = 2 x ⇔ C ‘ 1 ( x ) · 1 + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ + C ‘ 3 ( x ) · y 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · 1 ‘ + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x ‘ = 0 C ‘ 1 ( x ) · 1 ‘ ‘ + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ ‘ + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x ‘ ‘ = 2 x ⇔ C ‘ 1 ( x ) · 1 + C ‘ 2 x · e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x = 0 C ‘ 1 ( x ) · 0 + C ‘ 2 ( x ) · 2 e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · 3 e 3 x = 0 C ‘ 1 ( x ) · 0 + C ‘ 2 ( x ) · 4 e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · 9 e 3 x = 2 x
Решаем, используя метод Крамера:
∆ = 1 e 2 x e 3 x 0 2 e 2 x 3 e 3 x 0 4 e 2 x 9 e 3 x = 18 e 2 x · e 3 x — 12 e 2 x · e 3 x = 6 e 5 x ∆ C 1 ‘ ( x ) = 0 e 2 x e 3 x 0 2 e 2 x 3 e 3 x 2 x 4 e 2 x 9 e 3 x = e 5 x · 2 x ⇒ C ‘ 1 ( x ) = ∆ C 1 ‘ ( x ) ∆ = e 5 x · 2 x 6 e 5 x = 1 6 · 2 x ∆ C 2 ‘ ( x ) = 1 0 e 3 x 0 0 3 e 3 x 0 2 x 9 e 3 x = — 3 e x · 2 x ⇒ C ‘ 2 ( x ) = ∆ C 2 ‘ ( x ) ∆ = — 3 e 3 x · 2 x 6 e 5 x = — 1 2 · e — 2 x · 2 x ∆ C 3 ‘ ( x ) = 1 e 2 x 0 0 2 e 2 x 0 0 4 e 2 x 2 x = 2 e 2 x · 2 x ⇒ C ‘ 3 ( x ) = ∆ C 3 ‘ ( x ) ∆ = 2 e 2 x · 2 x 6 e 5 x = 1 3 · e — 3 x · 2 x
Интегрируем C ‘ 1 ( x ) = 1 6 · 2 x с помощью таблицы первообразных, а
C ‘ 2 ( x ) = — 1 2 · e — 2 x · 2 x и C ‘ 3 ( x ) = 1 3 · e — 3 x · 2 x при помощи метода интегрирования по частям, получим:
C 1 ( x ) = 1 6 · ∫ 2 x d x = 1 6 · 2 x ln 2 + C 4 C 2 ( x ) = — 1 2 · ∫ e — 2 x · 2 x d x = — 1 2 · e — 2 x · 2 x ln 2 — 2 + C 5 C 3 ( x ) = 1 3 · ∫ e — 3 x · 2 x d x = 1 3 · e — 3 x · 2 x ln 2 — 3 + C 6
Ответ: искомым общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:
y = C 1 ( x ) + C 2 ( x ) · e 2 x + C 3 ( x ) · e 3 x = = 1 6 · 2 x ln 2 + C 4 + — 1 2 · e — 2 x · 2 x ln 2 — 2 + C 5 · e 2 x + + 1 3 · e — 3 x · 2 x ln 2 — 3 + C 6 · e 3 x
где C 4 , C 5 и C 6 – произвольные постоянные.
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.
Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:
,
где и — непрерывные функции от x.
Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?
Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций
и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид
. (*)
Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:
,
то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v — решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт
.
Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.
Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т. е. y = uv. u и v уже нашли.
Пример 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Как было показано в алгоритме, y = uv. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
и, интегрируя находим u:
Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Как видим, всё решение выполняется точным следованием алгоритму, приведённому в начале статьи. Меняются лишь виды функций в уравнениях. Степени, корни, экспоненты и т.д. Это чтобы алгоритм отпечатался в памяти и был готов к разным случаям, которые только могут быть на контрольной и экзамене. А кому стало скучно, наберитесь терпения: впереди ещё примеры с интегрированием по частям!
Важное замечание. При решении заданий не обойтись без преобразований выражений. Для этого требуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Пример 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
.
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:
и, интегрируя находим u:
Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
В следующем примере — обещанная экспонента.
Пример 3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находимu:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Любители острых ощущений дождались примера с интегрированием по частям. Таков следующий пример.
Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. В этом случае сначала нужно добиться, чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась. Для этого поделим уравнение почленно на «икс» и получим
.
Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируем по частям.
В интеграле , .
Тогда .
Интегрируем и находим u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
И уж совсем странной статья о дифференциальных уравнениях была бы без примера с тригонометрическими функциями.
Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
В последних двух примерах требуется найти частное решение уравнения.
Пример 6. Найти частное решение линейного дифференциальное уравнение первого порядка
при условии .
Решение. Чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась, разделим уравнение почленно на и получим
.
Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:
Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Пример 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
при условии .
Перенесём функцию «игрека» в левую часть и получим
.
Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим
(* *).
Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство
или .
После разделения переменных это уравнение принимает вид
.
Почленное интегрирование даёт
Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:
.
Первый интеграл равен , второй находим интегрированием по частям.
В нём , .
Тогда , .
Находим второй интеграл:
.
В результате получаем функцию u:
Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:
Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Выводы. Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка достаточно однозначен. Трудности чаще всего возникают при интегрировании и это означает, что следует повторить этот обширный раздел математического анализа. Кроме того, что особенно видно из примеров ближе к концу статьи, очень важно владеть приёмами действий со степенями и дробями, а это школьные темы, и если они подзабыты, то их тоже следует повторить. Совсем простых «демо»-примеров ждать на контрольной и на экзамене не стоит.
http://mathdf.com/dif/ru/
http://function-x.ru/differential_equations4.html