Как решить двойное уравнение с одним неизвестным

Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

  • освобождение от дробных членов;
  • раскрытие скобок;
  • перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
  • сделать приведение подобных членов;
  • разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Пример 1. Решить уравнение

    Освобождаем уравнение от дробных членов:

20x — 28 — 24 = 9x + 36.

20x — 9x = 36 + 28 + 24.

Выполняем приведение подобных членов:

Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Пример 2. Решить уравнение

    Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

Выполняем приведение подобных членов:

  • Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:
    5(11 — 2) = 45;
    5 · 9 = 45;
    45 = 45.

    • Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

    Решение уравнений с двумя неизвестными

    В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.

    Определение

    Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:

    a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.

    Ниже приведены несколько примеров:

    Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.

    Решение задач

    Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.

    Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.

    При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).

    Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.

    У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9

    Приведем исходное равенство к следующему виду:

    В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.

    При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.

    Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.

    Оба равенства равносильны.

    Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.

    Оба уравнения также равносильны.

    Система уравнений с двумя неизвестными

    Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.

    Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.

    Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.

    Метод подстановки

    1. Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
    2. Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
    3. Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.

    Метод сложения

    1. Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
    2. Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
    3. Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.

    Графический метод

    1. Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
    2. Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
    3. Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
    4. Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.

    При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.

    В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.

    Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!

    Видео

    Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.

    Решение уравнений с одним неизвестным (переменной)

    В данной публикации мы рассмотрим определение и общий вид записи уравнения с одним неизвестным, а также приведем алгоритм его решения с практическими примерами для лучшего понимания.

    Определение и запись уравнения

    Математическое выражение вида ax + b = 0 называется уравнением с одним неизвестным (переменной) или линейным уравнением. Здесь:

      a и b – любые числа: a – коэффициент при неизвестном, b – свободный коэф.

    Уравнение можно представить в равнозначном виде . После этого мы смотрим на коэффициенты.

    • При a ≠ 0 единственный корень .
    • При a = 0 уравнение примет вид . В таком случае:
      • если b ≠ 0 , корней нет;
      • если b = 0 , корнем является любое число, т.к. выражение верно при любом значении x .

      Алгоритм и примеры решения уравнений с одим неизвестным

      Простые варианты

      Рассмотрим простые примеры при a = 1 и наличии всего одного свободного коэффициента.

      » data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
      ПримерРешениеОбъяснение
      слагаемоеот суммы отнимается известное слагаемое
      уменьшаемоеразность прибавляется к вычитаемому
      вычитаемоеиз уменьшаемого вычитается разность
      множительпроизведение делится на известный множитель
      делимоечастное умножается на делитель
      делительделимое делится на частное

      Сложные варианты

      При решении более сложного уравнения с одной переменной, очень часто требуется сначала его упростить, прежде чем находить корень. Для этого могут применяться следующие приемы:

      • раскрытие скобок;
      • перенос всех неизвестных в одну сторону от знака “равно” (обычно в левую), а известных в другую (правую, соответственно).

      Пример: решим уравнение .

      1. Раскрываем скобки:
        6x + 18 – 3x = 2 + x .
      2. Переносим все неизвестные влево, а известные вправо (не забываем при переносе менять знак на противоположный):
        6x – 3x – x = 2 – 18 .
      3. Выполняем приведение подобных членов:
        2x = -16 .
      4. Делим обе части уравнения на число 2 (коэффициент при неизвестной):
        x = -8 .


      источники:

      http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/reshenie-uravnenij-s-dvumya-neizvestnymi

      http://microexcel.ru/uravnenie-s-odnoy-peremennoy/

    © 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут