Как решить графически уравнение 10

Графический метод. Описание, примеры решения уравнений

Эта статья посвящена одному из направлений функционально-графического метода решения уравнений, а именно, графическому методу. Сначала дано описание графического метода: раскрыта его суть, сказано, на чем базируется метод, приведено его обоснование, обговорены особенности метода, связанные с точностью. Дальше идет практическая часть: записан алгоритм решения уравнений графическим методом и показаны решения характерных примеров.

В чем состоит метод и на чем он базируется

Графический метод решения уравнений состоит в использовании графиков функций, отвечающих частям уравнения, для нахождения с их помощью решения уравнения. Базируется он на следующем утверждении:

Решение уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Обоснованием этого утверждения займемся в следующем пункте. А сейчас выудим из него полезные сведения.

Основное из них таково: по количеству точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) можно судить о количестве корней уравнения f(x)=g(x) , а по абсциссам точек пересечения можно судить о корнях этого уравнения. Проиллюстрируем сказанное.

Взглянем на чертеж, на котором изображены графики функций и .

Очевидно, в видимой области графики изображенных функций не имеют точек пересечения. За пределами видимой области графики тоже не имеют точек пересечения. Это мы можем утверждать в силу известного нам поведения графиков степенных функций и линейных функций. Отсутствие точек пересечения позволяет нам сделать вывод, что уравнение не имеет решений.

Другой пример. На следующем рисунке изображены графики функций и .

Сколько точек пересечения мы видим? Две. Известное поведение графиков показательных функций и линейных функций позволяет утверждать, что за пределами видимой области точек пересечения нет. Значит, графики функций и пересекаются в двух точках, следовательно, уравнение имеет два корня. А каковы значения этих корней? Для ответа на этот вопрос определяем абсциссы точек пересечения графиков. По рисунку находим, что абсциссы точек пересечения есть −2 и 1 . Через проверку подстановкой убеждаемся, что это действительно корни уравнения :

Здесь стоит заметить, что к проверке подстановкой мы обратились не случайно. Дело в том, что найденные по графикам значения корней можно считать лишь приближенными до проведения проверки. Подробнее об этом мы поговорим в одном из следующих пунктов этой статьи, раскрывающем особенности графического метода.

Обоснование метода

Докажем, что множество решений уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Для этого достаточно показать, во-первых, что если x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) , то x₀ – это абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , и, во-вторых, если x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , то x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) . Приступаем к доказательству.

Пусть x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) . Тогда f(x₀)=g(x₀) – верное числовое равенство. Это равенство можно трактовать так: значения функции y=f(x) и y=g(x) в точке x₀ совпадают. А из этого следует, что x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части.

Пусть x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Это означает, что значения функций y=f(x) и y=g(x) в точке x₀ равны, значит, f(x₀)=g(x₀) . А из этого равенства следует, что x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) .

Так доказана вторая часть.

Особенности метода

Графический метод предполагает использование графиков функций. В общем случае построение графиков функций – дело непростое. Поэтому, графический метод решения уравнения обычно применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. Это одна из особенностей графического метода решения уравнений.

Другая особенность касается получаемых по графикам результатов. Полученные по графикам результаты можно считать лишь приближенными. Дело здесь в том, что сами по себе графики функций — вещь не совсем точная (но при этом очень наглядная и во многих отношениях удобная), особенно если говорить о графиках, построенных от руки. Это следует из принципов, которыми мы руководствуемся при построении графиков функций. Что мы делаем для построения графика функции в общем случае? Проводим исследование функции, чтобы получить ряд «опорных» точек, таких как граничные точки области определения, максимумы-минимумы, точки перегиба, и понять поведение функции на всех интервалах ее области определения. После этого определяем несколько контрольных точек. Дальше переносим все определенные в ходе исследования точки на координатную плоскость и, сейчас внимание, соединяем их плавной линией в соответствии с выясненным в ходе исследования поведением функции. Эта «плавная линия» и есть график функции. О какой точности можно здесь говорить? Понятно, что она определяется точностью нашего построения.

С приближенными, найденными по графикам, значениями корней уравнения можно так или иначе работать. В некоторых случаях определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем позволяет убедиться проверка подстановкой. В других случаях есть возможность уточнить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней. А вот если по графикам нет возможности определить количество корней, не говоря уже об их значении, то, почти наверняка, стоит отказываться от графического метода решения уравнения. Добавим наглядности сказанному.

Давайте посмотрим на изображенные в одной прямоугольной системе координат графики функций и y=−x 2 +6·x−5 .

По этому чертежу сложно судить даже о количестве корней уравнения , не говоря уже про их значения с приемлемой степенью точности. Здесь можно лишь грубо сказать, что если корни есть, то их значения находятся на промежутке от нуля до трех. Такую прикидку мы даем по той причине, что графики функций в обозначенном промежутке очень близки, почти совпадают. Если есть возможность построить графики более точно в обозначенном промежутке, то это немного проясняет картину:

Сейчас мы видим три точки пересечения, даже можем приближенно указать их абсциссы: 1 , 2 и 2,7 . Но опять же, это не более чем приближенные результаты, нуждающиеся в проверке и строгом обосновании.

Учитывая оговоренные особенности графического метода решения уравнения, для себя можно принять следующее: к графическому методу стоит обращаться лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, когда по построенным графикам можно с уверенностью указать точное количество точек их пересечения, и когда не просматривается альтернативный метод решения.

Алгоритм решения уравнений графическим методом

Анализ приведенной выше информации позволяет записать алгоритм решения уравнений графическим методом. Чтобы решить уравнение графически, надо:

• Построить в одной прямоугольной системе координат графики функций, отвечающие левой и правой частям уравнения.
• По чертежу определить все точки пересечения графиков:
  • если точек пересечения нет, то решаемое уравнение не имеет корней,
  • если точки пересечения имеются, то переходим к следующему шагу алгоритма.
• По чертежу определить абсциссы всех точек пересечения графиков – это приближенные значения всех корней исходного уравнения.
• Если есть основания полагать, что некоторые или все определенные на предыдущем шаге значения являются точными значениями корней решаемого уравнения, то осуществить их проверку, например, подстановкой.

Дадим краткий комментарий к последнему шага алгоритма. Иногда определенные по чертежу приближенные значения корней оказываются точными. Обычно это касается целых значений. Но, опять же, прежде чем утверждать, что найденные значения является точными корнями уравнения, сначала нужно осуществить проверку этих значений, например, проверку подстановкой.

Решение примеров

Графический метод решения уравнений начинает входить в арсенал изучающих математику в 7 классе сразу же после знакомства с координатной плоскостью и самой первой функцией – линейной функцией y=k·x+b . Именно тогда мы сталкиваемся с заданиями, наподобие следующего: с помощью графика линейной функции y=2·x−6 определить, при каком значении x будет y=0 [1, с. 50-51]. Для ответа на поставленный вопрос мы строим график указанной линейной функции y=2·x−6 .

По чертежу находим точку пересечения графика с осью Ox (ось Ox отвечает графику функции y=0 ), и определяем абсциссу точки пересечения: x=3 . По сути, мы решаем уравнение 2·x−6=0 графическим методом.

Чуть позже в 7 классе изучается функция y=x 2 . После этого опять заходит разговор о графическом методе решения уравнений, но уже более детальный, где метод уже называется своим именем и дается его алгоритм [1, с. 149-151; 2, с. 109]. Там с его помощью решаются уравнения, одной части которых отвечает функция y=x 2 , а другой – линейная функция y=k·x+b . Например, уравнение x 2 =x+1 . Для его решения строятся в одной системе координат соответствующие графики функций y=x 2 и y=x+1 :

Графики, очевидно, пересекаются в двух точках. Можно определить приближенные значения их абсцисс: .

В 8 классе изучаются новые виды функций: y=k/x , квадратичная функция y=a·x 2 +b·x+c , . И, естественно, рассматривается графический метод решения соответствующих уравнений. Особенно тщательно разбирается графическое решение квадратных уравнений. В учебнике Мордковича А. Г. приведены аж пять способов графического решения уравнения x 2 −2·x−3=0 [2, с. 127-131].

И так далее: изучаются функции , степенные функции, тригонометрические, показательные, логарифмические, …, — рассматривается решение соответствующих уравнений графическим методом. Так к концу школьного курса математики мы начинаем воспринимать графический метод решения уравнений как общий метод, позволяющий решать уравнения не только определенных видов, но и уравнения, в которых уживаются самые разнообразные функции: показательные с корнями, тригонометрические с логарифмическими и т.д. Покажем решение такого уравнения.

Решите уравнение

В заключение вспомним, что в этой статье при разговоре об особенностях графического метода решения уравнений мы обращались к иррациональному уравнению . В качестве «благодарности» этому уравнению за помощь в обретении знаний приведем ссылку на его решение графическим методом.

Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.

Цели и задачи урока:

• повторение изученных графиков функций;
• повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
• закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
• формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
• формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
• формирование информационной культуры школьников.

Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.

Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).

Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).

Объявление темы урока.

1. Устная работа (актуализация знаний).

Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .

Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.

Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х₁, х₂, … точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).

Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).

Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).

Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х₁, х₂, … точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):

Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).

2. Объяснение нового материала. Практическая работа.

Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).

I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.

Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.

Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.

Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; \найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Выполнение задания можно разбить на этапы:

1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):

• в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2 — Y;
• в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;
• выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.

После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):

• скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.

2 этап: Построение диаграммы типа График.

• выделить диапазон ячеек B2:V2;
• на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;
• на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;

• на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:

Интервал между делениями: 4;

Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;

Положение оси: по делениям;

Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);

• самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
• на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.

Примерный результат работы приведен на рис. 10:

3 этап: Определение корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х₁=1; х₂=4.

II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.

Пример 2: Решить графическим способом уравнение .

Для этого: в одной системе координат построить графики функций у₁= и у₂=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.

1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):

Аналогично Примеру 1, применив приемы копирования, заполнить таблицу. При табулировании функции у₁=воспользоваться встроенной функцией Корень (Рис. 11).

2 этап: Построение диаграммы типа График.

Примерный результат работы приведен на Рис. 12:

3 этап: Определение корней уравнения.

Графики функций у₁= и у₂=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

III. Метод Подбор параметра.

Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.

Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.

Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.

1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.

Построить график функции у=—х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.

• выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;
• с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.

Все изменения сразу отобразятся на графике.

Примерный результат работы приведен на Рис. 13:

2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.

По графику приближенно можно определить, что х₁≈0,7; х₂≈4,3.

3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.

1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.

По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.

• Выделить ячейку Е2;
• перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;

В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.

В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

Щелкнуть по кнопке ОК.

• В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:
• В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).

Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х₁≈0,6972.

2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. (х₂≈4,3029).

IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).

При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.

3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.

• ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):

• найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);
• найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).

4. Итог урока.

Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.

Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.

Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

5. Домашнее задание.

Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.

Решение систем уравнений

Содержание:

Графический метод решения систем уравнений

Вспоминаем то, что знаем

Что такое график уравнения с двумя неизвестными?

Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решите графическим методом систему линейных уравнений:

Открываем новые знания

Решите графическим методом систему уравнений:

Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту

В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.

Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Начнём с графического метода

Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.

Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.

Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Решим систему уравнений:

Построим графики уравнений

Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).

Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).

Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.

Ответ: (2; 5) и (-1; 2).

Пример 2:

Выясним количество решений системы уравнений:

Построим графики уравнений

Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.

Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.

Ответ: Два решения.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспоминаем то, что знаем

Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.

Решите систему линейных уравнений методом подстановки:

Открываем новые знания

Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?

Решите систему уравнений методом подстановки:

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?

Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?

Ранее вы решали системы уравнений первой степени.

Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.

Пример 3:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим х из уравнения

Подставим найденное выражение в первое уравнение:

Решим полученное уравнение:

Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.

Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.

Пример 4:

Решим систему уравнений:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим у из линейного уравнения:

Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:

После преобразований получим:

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».

Пример 5:

Подставим во второе уравнение тогда его можно переписать в виде:

Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:

Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:

Корни этого уравнения:

.

Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.

Пример 6:

Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:

.

Корни этого уравнения:

Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:

1)

2) , получим уравнение корней нет.

Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.

Пример 7:

Решим систему уравнений:

Обозначим

Второе уравнение системы примет вид:

Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:

Осталось решить методом подстановки линейные системы:

Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями

Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:

1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;

2) решают полученную систему;

3) отвечают на вопрос задачи.

Пример 8:

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Решим систему. Выразим из первого уравнения у:

Подставим во второе уравнение:

Корни уравнения:

Найдём

С учётом условия получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.

Пример 9:

Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.

Пусть х — первое число, у — второе число.

Тогда: — произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

Дальше будем решать методом подстановки:

Подставим в первое уравнение выражение для у:

Корни уравнения: (не подходит по смыслу задачи).

Найдём у из уравнения:

Получим ответ: 16 и 7.

Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть не меняется. А вот уравнение не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть меняется.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.

Например, если в системе уравнений

переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:

Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.

Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:

Сначала научитесь выражать через неизвестные выражения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.