Как решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным — примеры
Основные понятия по теме
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения с неизвестной, которая расположена строго под знаком тригонометрической функции.
Квадратные тригонометрические уравнения являются такими уравнениями, которые имеют вид:
a sin 2 x + b sin x + c = 0
Здесь a отлично от нуля.
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, обладают следующими признаками:
- Наличие в уравнении тригонометрических функций от одного аргумента, либо таких, которые можно просто свести к одному аргументу.
- Присутствие в уравнении единственной тригонометрической функции, либо все функции можно свести к одной.
Правила решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным
Рассмотрим случай, когда преобразованное уравнение записано таким образом:
a f 2 ( x ) + b f ( x ) + c = 0
При этом а отлично от нуля, f ( x ) является одной из функций sin x , cos x , tg x , ctg x .
Тогда данное уравнение путем замены f ( x ) = t сводится к квадратному уравнению.
Существует ряд правил, позволяющих решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Данная информация будет полезна при выполнении самостоятельных работ и практических заданий в десятом классе.
sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α · ctg α = 1 tg α = sin α cos α ctg α = cos α sin α 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α ▸
Формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α sin α cos α = 1 2 sin 2 α cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α tg 2 α = 2 tg α 1 — tg 2 α ctg 2 α = ctg 2 α — 1 2 ctg α ▸
Последовательность действий при решении тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:
- выражение одной тригонометрической функции с помощью другой путем применения основных тождеств;
- выполнение подстановки;
- преобразование уравнения;
- введение обозначения, к примеру, sin x = y;
- решение квадратного уравнения;
- обратная замена;
- решение тригонометрического уравнения.
Рассмотрим решение тригонометрического уравнения:
6 cos 2 x — 13 sin x — 13 = 0
cos 2 α = 1 — sin 2 α
В результате уравнение преобразуется таким образом:
6 sin 2 x + 13 sin x + 7 = 0
Заменим sin x на t. Зная, что ОДЗ синуса sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , запишем, t ∈ [ — 1 ; 1 ] . Тогда:
6 t 2 + 13 t + 7 = 0
Заметим, что t 1 не соответствует условиям. Выполним обратную замену и получим решение уравнения:
sin x = — 1 ⇒ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ .
Разберем другой пример:
5 sin 2 x = cos 4 x — 3
Воспользуемся уравнением двойного угла для косинуса:
cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α
cos 4 x = 1 — 2 sin 2 2 x
Подставим значения и преобразуем уравнение:
2 sin 2 2 x + 5 sin 2 x + 2 = 0
Заменим sin 2 x на t. Зная, что ОДЗ для синуса sin 2 x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно записать:
2 t 2 + 5 t + 2 = 0
Заметим, что t 1 является посторонним, так как не соответствует условию. Путем обратной замены получим:
sin 2 x = — 1 2 ⇒ x 1 = — π 12 + π n , x 2 = — 5 π 12 + π n , n ∈ ℤ .
Примеры решения задач с пояснениями
Найти корни уравнения:
tg x + 3 ctg x + 4 = 0
При tg x · ctg x = 1 имеем, что:
Заменим tg x на t. Зная, что ОДЗ тангенса tg x ∈ ℝ , запишем:
t + 3 t + 4 = 0 ⇒ t 2 + 4 t + 3 t = 0
Вспомним, что дробь может обладать нулевым значением при нулевом числителе и знаменателе, отличном от нуля. В результате:
Путем обратной замены получим:
Ответ: x = — arctg 3 + π n , x = — π 4 + π n , n ∈ ℤ .
Решить тригонометрическое уравнение на интервале ( — π ; π ) :
2 sin 2 x + 2 sin x — 2 = 0
Заменим sin x на t. В результате уравнение преобразуется:
2 t 2 + 2 t — 2 = 0
Определим дискриминант уравнения:
Таким образом, корни равны:
Исходя из того, что t = sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно сделать вывод о лишнем корне t 2 . В результате:
sin x = 2 2 ⇔ x = π 4 + 2 π n
x = 3 π 4 + 2 π m , n , m ∈ ℤ .
Выполним проверку корней на соответствие условиям задания:
— π π 4 + 2 π n π ⇔ — 5 8 n 3 8 ⇒ n = 0 ⇒ x = π 4 .
— π 3 π 4 + 2 π m π ⇔ — 7 8 m 1 8 ⇒ m = 0 ⇒ x = 3 π 4 .
Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π n ; 3 π 4 + 2 π m ; n , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу π 4 ; 3 π 4 .
Дано тригонометрическое уравнение, которое нужно решить на отрезке ( 0 ; π ) :
2 sin 2 x + 2 = 5 sin x
Заметим, что область допустимых значений определяет х как произвольное число. Перенесем члены в левую часть:
2 sin 2 x + 2 — 5 sin x = 0
Данное уравнение является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. Тогда уравнение будет преобразовано таким образом:
2 t 2 — 5 t + 2 = 0
Исходя из того, что sin x ≤ 1 , sin x = 2 является лишним корнем. Таким образом:
Решениями sin x = a являются:
x = arcsin a + 2 π k
x = π — arcsin a + 2 π k
Здесь k ∈ ℤ . В результате, корнями уравнения sin x = 0 , 5 являются:
x = 5 π 6 + 2 π k
Определим, какие корни соответствуют интервалу:
0 π 6 + 2 π k π ⇔ — π 6 2 π k 5 π 6 ⇔ — 1 12 k 5 12
Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае из этих корней подходящими являются лишь те, что соответствуют условию k = 0:
Рассмотрим другие решения:
0 5 π 6 + 2 π k π ⇔ — 5 π 6 2 π k π 6 ⇔ — 5 12 k 1 12
Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае выберем решение при k = 0:
Ответ: корни уравнения π 6 + 2 π k , 5 π 6 + 2 π k , при k ∈ ℤ ; решения, соответствующие интервалу π 6 , 5 π 6 .
Решить уравнение на промежутке [ π ; 3 π ) :
ctg 2 x + 1 cos x — 11 π 2 — 1 = 0
Вспомним формулу приведения:
cos x — 11 π 2 = — sin x
Также пригодится формула:
ctg 2 x + 1 = 1 sin 2 x
1 sin 2 x — 1 — 1 sin x — 1 = 0 ⇔ 1 sin 2 x — 1 sin x — 2 = 0
Заменим 1 sin x на t. В результате:
Путем обратной замены получим:
sin x = — 1 ⇔ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ sin x = 1 2 ⇔ x = π 6 + 2 π k ; x = 5 π 6 + 2 π m , k , m ∈ ℤ .
Определим подходящие решения:
Ответ: корни уравнения — π 2 + 2 π n ; π 6 + 2 π k ; 5 π 6 + 2 π m ; n , k , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу 3 π 2 ; 13 π 6 ; 17 π 6 .
Определить корни уравнения на отрезке ( π ; 2 π ) :
cos ( 2 x ) + 3 2 sin x = 3
Область допустимых значений предусматривает произвольные значения для х. На первом этапе следует преобразовать уравнение с помощью формулы косинуса двойного угла и перенести члены уравнения в левую сторону:
1 — 2 sin 2 x + 3 2 sin x — 3 = 0 ⇔ 2 sin 2 x — 3 2 sin x + 2 = 0
Заметим, что в результате получено уравнение, которое является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. В результате:
2 t 2 — 3 2 t + 2 = 0
t 1 , 2 = 3 2 ± 2 4
Исходя из того, что sin x ≤ 1 , делаем вывод о лишнем корне sin x = 2 . В результате:
Решения для уравнения sin x = a следующие:
x = arcsin a + 2 π k
x = π — arcsin a + 2 π k
Здесь k ∈ ℤ . В результате получим следующие решения для sin x = 2 2 :
x = 3 π 4 + 2 π k
Определим подходящие корни:
π π 4 + 2 π k 2 π ⇔ 3 π 4 2 π k 7 π 4 ⇔ 3 8 k 7 8
Заметим, что k ∈ ℤ . Тогда указанные корни не соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .
Определим корни, которые подходят к задаче:
π 3 π 4 + 2 π k 2 π ⇔ π 4 2 π k 5 π 4 ⇔ 1 8 k 5 8
Зная, что k ∈ ℤ , можно сделать вывод об отсутствии корней, которые соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .
Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π k , 3 π 4 + 2 π k , где k ∈ ℤ , решения, соответствующие интервалу, отсутствуют.
Требуется найти решения тригонометрического уравнения:
3 tg 4 2 x — 10 tg 2 2 x + 3 = 0
Корни нужно записать в соответствии с интервалом — π 4 ; π 4
Область допустимых значений в данном случае:
Заменим tg 2 2 x на t, при t ⩾ 0 . Уравнение будет преобразовано таким образом:
3 t 2 — 10 t + 3 = 0
Путем обратной замены получим:
Можно сделать вывод о выполнении условия относительно области допустимых значений при найденных значениях х . Тогда остается отобрать нужные корни:
— π 4 π 6 + π 2 n 1 π 4 ⇒ — 5 6 n 1 1 6 ⇒ n 1 = 0 ⇒ x = π 6
Вычислим еще три решения, которые включены в заданный интервал:
x = — π 12 ; — π 6 ; π 12 .
Ответ: корнями уравнения являются ± π 6 + π 2 n , ± π 12 + π 2 m , n , m ∈ ℤ , из них соответствуют промежутку — π 6 ; — π 12 ; π 12 ; π 6 .
Решение квадратных тригонометрических уравнений
Тригонометрия
Решение квадратных тригонометрических уравнений.
Уравнение распадается на два уравнения: и
Решение первого уравнения: ,
Решение второго уравнения:
Объединяем эти решения и получим:
Уравнение распадается на два уравнения: и
Решение первого уравнения: ,
Решение второго уравнения: ,
Объединяем эти решения и получим:
Для решения данного уравнения введен новую переменную: sin ( x )= t ,
Определим область допустимых значений для нашей переменной:
Решим квадратное уравнение относительно t :
Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t
Решаем полученные уравнения относительно x :
Для решения данного уравнения введен новую переменную: cos ( x )= t ,
Определим область допустимых значений для нашей переменной:
Решим квадратное уравнение относительно t :
Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t
t = 2 > 1 , следовательно не имеет решений:
В данном случае решать уравнение является грубейшей ошибкой, т.к. , а arccos 2 вообще не имеет смысла!
t = , следовательно , решаем полученное уравнение:
В данном уравнении необходимо применить основное тригонометрическое тождество, для того чтобы прийти к одной функции
Приводим к функции синуса, т.к. проще представить
, приводим подобные слагаемые:
, умножим на (-1) для простоты решения:
Для решения данного уравнения введен новую переменную: sin ( x )= t ,
Определим область допустимых значений для нашей переменной:
Решим квадратное уравнение относительно t :
Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t
t = , следовательно, не имеет решений:
t = , следовательно, , ответ
Разберемся с областью определения для решений данного уравнения.
Область определения тангенса
Область определения котангенса
Объединив эти промежутки получим:
, на чертеже обозначено выколотыми точками.
Для решения данного уравнения используем тригонометрическое тождество , перепишем уравнение:
Решим квадратное уравнение относительно t :
Простейшие тригонометрические уравнения
п.1. Решение простейших тригонометрических уравнений
Про аркфункции (обратные тригонометрические функции) и их свойства – см. §9-11 данного справочника.
Обобщим результаты решения простейших уравнений, полученные в этих параграфах.
Уравнение | ОДЗ | Решение |
$$ sinx=a $$ | $$ -1\leq a\leq 1 $$ | \begin |
$$ cosx=a $$ | $$ -1\leq a\leq 1 $$ | \begin |
$$ tgx=a $$ | $$ a\in\mathbb | \begin |
$$ ctgx=a $$ | $$ a\in\mathbb | \begin |
Частные случаи, для которых запись результата отличается от общей формулы:
a=0 | a=-1 | a=1 | |
$$ sinx=a $$ | $$ x=\pi k $$ | $$ -\frac\pi2+2\pi k $$ | $$ \frac\pi2+2\pi k $$ |
$$ cosx=a $$ | $$ x=\frac\pi2+\pi k $$ | \begin \begin | |
\begin |
\begin |
п.2. Решение уравнений с квадратом тригонометрической функции
К простейшим также можно отнести уравнения вида:
Уравнение | ОДЗ | Решение |
$$ sin^2x=a $$ | $$ 0\leq a\leq 1 $$ | \begin |
$$ cos^2x=a $$ | $$ 0\leq a\leq 1 $$ | \begin |
$$ tg^2x=a $$ | $$ a\geq 0 $$ | \begin |
$$ ctg^2x=a $$ | $$ a\geq 0 $$ | \begin |
\begin | \begin |
п.3. Различные формы записи решений
Как известно, в тригонометрии все функции связаны между собой базовыми отношениями (см. §12 данного справочника). Если нам известна одна из функций, мы можем без труда найти все остальные. Преобразования в уравнениях приводят к тому, что решение может быть записано через любую из этих функций.
Кроме того, понижение степени или универсальная подстановка (см. §15 данного справочника) приводят к увеличению или уменьшению исходного угла в 2 раза, и ответ может оказаться очень непохожим на решения, полученные другими способами для того же уравнения.
Решим уравнение \(sin^2x=0,64\) Для квадрата синуса решение имеет вид: \begin |
Если решать уравнение с помощью формулы понижения степени, получаем: \begin
п.4. Примеры
Пример 1. Решите уравнение обычным способом и с помощью универсальной подстановки. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) \(sin x=\frac<\sqrt<3>><2>\)
Обычный способ: \begin |
Универсальная подстановка: \begin
Ответ: \((-1)^k\frac\pi3+\pi k\)
Обычный способ: \begin |
Универсальная подстановка: \begin
Ответ: \(\pm\frac\pi6+\pi k\)
в) \(sin\left(\frac
Обычный способ: \begin
Универсальная подстановка: \begin
Ответ: \(\frac\pi3+4\pi k\)
г*) \(tg\left(3x+\frac\pi3\right)=0\)
Обычный способ: \begin
Ответ: \(-\frac\pi9+\frac<\pi k><3>\)
Вывод: при использовании универсальной подстановки нужно быть аккуратным и помнить о возможности потерять корни. Семейство бесконечных решений для тангенса \(\frac
При использовании универсальной подстановки можно потерять часть корней исходного тригонометрического уравнения.
Поэтому вместе с универсальной подстановкой проверяется также дополнительное возможное решение для бесконечного тангенса половинного угла: \(x=\pi+2\pi k\). \begin
Пример 2. Решите уравнение обычным способом и с помощью формул понижения степени. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) \(sin^2x=\frac34\)
Обычный способ: \begin |
Формулы понижения степени: \begin
Ответ: \(\pm\frac\pi3+\pi k\)
Обычный способ: \begin |
Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(\frac<\pi k><2>\)
Обычный способ: \begin |
Формулы понижения степени: \begin
Ответ: \(-\pi+2\pi k,\ \ -\frac\pi3+2\pi k\)
Обычный способ: \begin |
Формулы понижения степени: \begin
Ответ: \(\frac<\pi k><2>\)
Вывод: формулы понижения степени не расширяют и не урезают множество корней исходного уравнения. Полученные ответы либо совпадают, либо нет, но всегда являются равнозначными.
http://math4everyone.info/math/reshenie-kvadratnyh-trigonometricheskih-uravnenij/
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya/