Как решить квадратное уравнение в матлабе

Как решить квадратное уравнение в матлабе

4 -е занятие по MATLAB

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

I. Базовые операции символьной математики

системы MATLAB — SIMBOLIC MATHEMATICS TOOLBOX

1. Создание символьных переменных и массивов (x, y, z, a, b, c и т.д.).

Первый способ c помощью команды sym: x = sym(‘x’); y = sym(‘y’); z = sym(‘z’);

Второй способ с помощью команды syms: syms a b c;

1.1. Создание символьных матриц А1 (А2) или массивов:

1-й способ : A1 = sym(‘[a1 b1 c1;d1 e1 f1;g1 h1 k1]’); % матрица А1 размера 3 ´ 3

% Вывод матрицы А1 в командной строке

» A1 % После набора А1 нажать клавишу Enter

2- й способ : syms a b c d e f g h k

A2 = [a2 b2 c2;d2 e2 f2;g2 h2 k2]; % Матрица А2 размера 3 ´ 3

% Вывод матрицы А2 в командной строке

1.2. Проверить рабочую область c помощью команды whos.

1.3. Символьные числовые матрицы и элементы:

Ac1=sym([1 3 7;2 4 6;1 7 5]); % Без апострофа

Ас2 = sym(‘7’); % С апострофом

1.4. Детерминант символьной матрицы — det :

» det(A1) % Без присвоения результата

» D 2= det ( A 2) % С присвоением результата ячейке под именем D 2

» det ( Ac 1) % Детерминант символьной числовой матрицы

% Детерминант матрицы 2-го порядка A 3= sym (‘[ a 1 b 1; c 1 d 1]’)

1 .5. Выделение диагонали заданной символьной матрицы:

1.6. Выделение диагонали символьной числовой матрицы

1.7. Создание символьной диагональной матрицы по заданной:

1.8. Создание числовой символьной диагональной матрицы по заданной

1.9. Вычисление собственных значений и собственных векторов символьно-числовой матрицы.

Собственные векторы — это такие векторы v , которые преобразуются матрицей А в векторы, отличающиеся от исходных лишь скалярным множителем s :

.

» A=sym([-1 0 0;2 -2 0;0 4 -2.5])

% Вычисление собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы А — eig

v = % Матрица правых собственных векторов матрицы А

s = % Диагональная матрица собственных значений матрицы А

% Справедливо следующее спектральное разложение: ,

% Спектральное разложение может быть осуществлено по вектору столбцу, например

» A*v(:,2) % По второму столбцу

» v(:,2)*s(2,2) % По второму столбцу

% Первый собственный вектор v1 — это первый столбец матрицы v: v1=(0, 1, 8)

% Второй собственный вектор v2 — это второй столбец матрицы v: v2=(1, 2 ,16/3)

% Третий собственный вектор v3 — это третий столбец матрицы v: v3=(0, 0 ,1)

% Собственные числа матрицы А: s1=-2, s2=-1, s3=-5/2=-2.5

% Справедливы следующие соотношения:

Задание: Найти собственные векторы и собственные значения матрицы [7,-2,0;-2,6,-2;0,-2,5] , проверить результат.

2. Графические построения символьных функций — ezplot .

2.1. 1-й способ. Область определения по умолчанию от -2* pi до 2* pi

» syms t % Определение символьной переменной

2.2. 2-й способ обращения к функции ezplot . Задаваемая область определения

2 .3. 3-й способ обращения к функции ezplot . Определение функции под знаком ezplot

2 .4. 4-й способ обращения к функции ezplot .

» ezplot exp(-0.5*t)*cos(5*t) [0 9],grid

» ezplot sin(t)/t [ -12 12 ],grid

3. Свойства собственнх значений матрицы:

где — след матрицы А, т.е. сумма элементов главной диагонали, — собственные значения матрицы А, , — размерность матрицы А.

% В системе MATLAB

» trace(A) % След матрицы А

» sum(eig(A)) % Сумма собственных значений матрицы А

» det(A) % Определитель матрицы А

» prod(eig(A)) % Произведение собственных значений матрицы А

4. Создание полиномов и характеристических полиномов.

4.1. Создание полинома по вектору заданных коэффициентов — poly2sym .

» poly2sym(c) % Вектор коэффициентов может быть непосредственно введен в poly2sym

% Переменная х устанавливается по умолчанию. Другие переменные следует определять

» c=[2 3 5 7 8]; % Можно определить и как вектор столбец

4.2. Характеристический полином заданной символьно-числовой матрицы

Характеристический полином определяется из следующего характеристического уравнения для заданной матрицы А:

где — единичная матрица

Каждое собственное число матрицы А удовлетворяет ее характеристическому уравнению

» syms s % Задали символьную переменную s

% Для чисто числовой матрицы функция poly определяет только строку коэффициентов

Задание. Вычислить собственные значения матрицы А с присвоением результата и подставить каждое из собственных значений в полученный характеристический полином. Результат должен быть равен нулю. Использовать функцию упрощения результата вычислений simplify.

4.3. Выделение коэффициентов из заданного полинома — sym2poly.

» p=poly2sym([1 3 4 6],s) % Формирование полинома с заданными коэффициентами

» sym2poly(p) % Выделение вектор-строки коэффициентов из заданного полинома

% Полученную вектор-строку можно переопределить с присвоением

Задание. Сформировать характеристический полином по полученному вектору-строки с использованием функции poly2sym по переменной z.

5. Решение символьных конечных уравнений — solve .

5.1. Решение квадратного уравнения

—

» syms x % Задание символьной переменной х

» solve(‘x^2+2*x-8=0’) % Формат записи решателя solve

—

[ -1-i*7^(1/2)] % Комплексное решение, i — мнимая единица

5.2. Решение нелинейных уравнений.

5.3. Решение систем нелинейных уравнений.

—

» simplify([X2,X1]) % Для упрощения результата

5.4. Решение систем трансцендентных уравнений.

Пример. Решить следующую систему трансцендентных уравнений:

где t1, t2, t3 — искомые переменные.

% Функция vpa используется д ля задания количества значащих цифр

O4=(1-0.5)*exp(T3(4))-2*exp(T2(4))+2*exp(T1(4))-1 % Для проверки

% Каждое из 6 решений должно удовлетворять любому из 3-х уравнений

II. Вычисление символьных выражений

с различным представлением результатов.

Вычисление пределов в MATLAB. Вычисление сумм, произведений.

в пакете SIMBOLIC MATHEMATICS TOOLBOX.

1. Представление результата в виде рационального числа — ‘r’ .

1.1. Вычисление дроби 1/3:

» r1=sym(1/3,’r’) % С присвоением результата

1.2. Вычисление натурального логарифма от 3 — :

1.3. Вычисление десятичного логарифма от 3 — :

1.4. Вычисление логарифма по основанию два от 3 — :

Замечание: Представление в виде рационального числа имеет формат либо p/q либо p*2^q, где p, q — целые числа.

2. Представление результата в виде числа с плавающей точкой — ‘f’ .

Все величины представляются в форме ‘1.F’*2^(e) или ‘-1.F’*2^(e), где F — это ряд из 13 шестнадцатиричных цифр, а e — целое число. В случае, когда результат вычисления не может быть представлен точно в форме с плавающей точкой, то выводятся буквы, имеющие то или иное назначение в интерпретации результата.

2.1. Вычисление дроби 1/2:

» f1=sym(1/2,’f’) % Формат записи

% Результат записан в виде точного представления в арифметике с плавающей точкой

2.2. Вычисление дроби 1/5:

% Результат записан в виде приближенного (буква а — approximately) представления в арифметике с плавающей точкой.

3. Рациональное число с оценкой погрешности полученного представления —‘e’.

Рациональное представление добавляется переменной ‘eps’, которая оценивает разницу между теоретическим рациональным выражением (результатом) и его действительной величиной с плавающей точкой.

3.1. Вычислить дробь 1/2:

1/2 % Результат как и в случае рационального представления

3.2. Вычислить дробь 1/3:

3.3. Вычислить выражение :

3.4. Вычислить дробь 3/33

4. Формат десятичного числа — ‘d’ .

4.1. Вычислить дробь 1/3:

.33333333333333331482961625624739 % По умолчанию поддерживаются 16 цифр %мантиссы полученного числа

4.2. вычислить выражение :

4.3. Вычислить дробь 1/3 с 23 знаками в мантиссе с использованием функции vpa :

4.4. Вычислить дробь 1/3 с 23 знаками в мантиссе с использованием vpa и digits

% Использование только digits приводит к выводу результата с заданным количеством цифр, но %с ограниченной точностью (в формате ‘d’):

5. Вычисление пределов — limit.

Вычисление пределов от символьных выражений производится с помощью встроенной функции limit . Соответствие между традиционным математическим описанием и символьным системы MATLAB приводится в таблице 1.

Таблица 1

Традиционное математическое действие

Команда MATLAB

% предел слева

% предел справа

Примечание: символ бесконечность ( ) в MATLAB записывается как inf . Неопределенное значение в MATLAB записывается как NaN .

5.1. Вычислить предел выражения :

1 % Предел отношения равен единицы

5.2. Вычислить предел выражения :

exp(1) % Ответ: число е в первой степени

5.3. Вычислить предел выражения при стремлении х к нулю слева:

-inf % Ответ: минус бесконечность

5.4. Вычислить предел выражения при стремлении х к нулю справа:

inf % Ответ: бесконечность (т.е. плюс бесконечность)

limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) returns cos(x)

5.5. Вычислить предел выражения :

» limit(y5,h,0) % Вычисление предела по одной из переменных — по h

6 . Дифференцирование функций одной переменной — diff .

6.1. Найти производную функции по переменной х:

6.2. Найти производную функции по переменной х:

» diff(sin(x+h)/x) % Формат записи без предварительного присвоения

6.3. Найти производную функции по переменной h :

» diff(sin(x+h)/x,h) % В записи указывается имя символьной переменной, по которой

6.4. Найти вторую производную от функции по переменной h :

6.5. Найти вторую производную от функции по переменной х:

» diff(sin(x+h)/x,2) % Цифра два указывает на порядок производной

6.6. Найти третью производную от функции по переменной h :

7. Интегрирование функции одной переменной — int .

7.1. Вычисление неопределенного интеграла:

% Вычислить интеграл :

% Вычислить интеграл :

» int((x+h)^2) % По умолчанию интегрирование ведется по переменной х

% Вычислить неопределенный интеграл от функции по переменной h :

% Вычислить неопределенный интеграл от функции по переменной x :

1/2*x^2+2*h*x+h^2*log(x) % В ответе имеется в виду натуральный логарифм

7.2. Вычисление определенного интеграла.

% Вычислить определенный интеграл :

% Вычислить определенный интеграл по переменной h :

8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в символьном виде — dsolve .

Решатель дифференциальных уравнений может быть использован, если решение существует в аналитическом виде. Практически это означает, что решателем dsolve можно пользоваться только при поиске решения линейного дифференциального уравнения (или системы линейных уравнений).

8 .1. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием Построить график решения в интервале [-0.5, 7].

% Создадим следующий сценарий под именем sdif1 :

% Решение диф.уравнения в символьном виде

% Область построения графика решения можно задавать без квадратных скобок

8 .2. Решить систему однородных дифференциальных уравнений с начальными условиями Построить график решения в интервале [-0.5, 13].

% Создадим следующий сценарий под именем sdif2 :

ezplot(x1,0,13),grid,hold on,ezplot(x2,[0,13]),title (‘Однородная система 2-х уравнений’)

8.3. Решить систему неоднородных дифференциальных уравнений

с нулевыми начальными условиями и построить график решения в интервале [0, 5] для первой координаты и в интервале [0, 9] для второй координаты .

% Создадим следующий сценарий под именем sdif3 :

ezplot(x1,[0,5]),grid,hold on,ezplot(x2,[0,9]),title( ‘ Неоднородная система 2-х уравнений ‘)

8.4. Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка с нулевыми начальными условиями и построить график решения в интервале [-0.2, 9] .

% Создадим следующий сценарий под именем sdif4 :

ezplot(x,[-0.2 9]),grid,title (‘Д иф.уравнение 2-го порядка ‘)

8.5. Решить дифференциальное уравнение 3-го порядка с нулевыми начальными условиями и построить график решения в интервале [-0.2, 21] .

% Создадим следующий сценарий под именем sdif5 :

ezplot(x,[-0.2 21]),grid,title (‘Диф.уравнение 3-го порядка’)

8.6. Решить неоднородную систему дифференциальных уравнений 3-го порядка

с нулевыми начальными условиями и построить график решения по каждой координате в одной системе координат в интервале [-1, 19] с различными цветами по , , .

% Создадим следующий сценарий под именем sdif6 :

ezplot(x1,[-1,19]),grid, hold on,ezplot(x2,[-1,19],

title (‘Н еоднородная система 3-го порядка ‘),

% Функция ezplot не позволяет строить графики с заданными цветами. Применим fplot . Для этого в функцию fplot следует вставить решения из командного окна MATLAB. Например, решение по первой координате имеет вид

% Тогда формат записи fplot для графика по х1 будет следующий (с красным цветом):

% Через hold on можно добавить еще fplot по второй координате х2 и по третьей х3.

¾ Для объекта с передаточной функцией решить соответствующее дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и построить график решения (переходный процесс).

¾ Для того же объекта с передаточной функцией W(s) записать систему дифференциальных уравнений первого порядка, решить ее и сравнить с решением соответствующего дифференциального уравнения 3-го порядка.

¾ Исследовать переходной процесс по выходным координатам двух колебательных звеньев, соединенных последовательно. Передаточные функции звеньев принять в виде:

¾ Решение в символьном виде систем дифференциальных уравнений сравнить с решением численного метода с помощью решателя ode45.

MATLAB — алгебра

До сих пор мы видели, что все примеры работают как в MATLAB, так и в его GNU, альтернативно называемом Octave. Но для решения основных алгебраических уравнений и MATLAB, и Octave немного отличаются, поэтому мы постараемся охватить MATLAB и Octave в отдельных разделах.

Мы также обсудим факторизацию и упрощение алгебраических выражений.

Решение основных алгебраических уравнений в MATLAB

Функция решения используется для решения алгебраических уравнений. В простейшем виде функция решения принимает в качестве аргумента уравнение, заключенное в кавычки.

Например, давайте решим для х в уравнении х-5 = 0

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

Вы также можете вызвать функцию решения как —

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

Вы можете даже не включать правую часть уравнения —

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

Если в уравнение входит несколько символов, то по умолчанию MATLAB предполагает, что вы решаете для x, однако функция решения имеет другую форму —

где вы также можете упомянуть переменную.

Например, давайте решим уравнение v — u — 3t 2 = 0, для v. В этом случае мы должны написать —

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

Решение основных алгебраических уравнений в октаве

Функция корней используется для решения алгебраических уравнений в Octave, и вы можете написать приведенные выше примеры следующим образом:

Например, давайте решим для х в уравнении х-5 = 0

Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

Вы также можете вызвать функцию решения как —

Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

Решение квадратичных уравнений в MATLAB

Функция решения также может решать уравнения более высокого порядка. Он часто используется для решения квадратных уравнений. Функция возвращает корни уравнения в массиве.

В следующем примере решается квадратное уравнение x 2 -7x +12 = 0. Создайте файл сценария и введите следующий код —

Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —

Решение квадратичных уравнений в октаве

В следующем примере решается квадратное уравнение x 2 -7x +12 = 0 в октаве. Создайте файл сценария и введите следующий код —

Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —

Решение уравнений высшего порядка в MATLAB

Функция решения также может решать уравнения более высокого порядка. Например, давайте решим кубическое уравнение как (x-3) 2 (x-7) = 0

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

В случае уравнений более высокого порядка корни длинные, содержащие много членов. Вы можете получить числовое значение таких корней, преобразовав их в двойные. В следующем примере решается уравнение четвертого порядка x 4 — 7x 3 + 3x 2 — 5x + 9 = 0.

Создайте файл сценария и введите следующий код —

Когда вы запускаете файл, он возвращает следующий результат —

Обратите внимание, что последние два корня являются комплексными числами.

Решение уравнений высшего порядка в октаве

В следующем примере решается уравнение четвертого порядка x 4 — 7x 3 + 3x 2 — 5x + 9 = 0.

Создайте файл сценария и введите следующий код —

Когда вы запускаете файл, он возвращает следующий результат —

Решение системы уравнений в MATLAB

Функция решения также может быть использована для генерации решений систем уравнений, включающих более одной переменной. Давайте рассмотрим простой пример, чтобы продемонстрировать это использование.

Давайте решим уравнения —

Создайте файл сценария и введите следующий код —

Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —

Таким же образом вы можете решать большие линейные системы. Рассмотрим следующую систему уравнений —

Решающая система уравнений в октаве

У нас есть немного другой подход к решению системы ‘n’ линейных уравнений с ‘n’ неизвестными. Давайте рассмотрим простой пример, чтобы продемонстрировать это использование.

Давайте решим уравнения —

Такая система линейных уравнений может быть записана в виде единого матричного уравнения Ax = b, где A — матрица коэффициентов, b — вектор столбцов, содержащий правую часть линейных уравнений, а x — вектор столбцов, представляющий решение как показано в программе ниже —

Создайте файл сценария и введите следующий код —

Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —

Таким же образом, вы можете решить большие линейные системы, как указано ниже —

Разложение и сбор уравнений в MATLAB

Функция расширения и сбора расширяет и собирает уравнение соответственно. Следующий пример демонстрирует понятия —

Когда вы работаете со многими символическими функциями, вы должны объявить, что ваши переменные являются символическими.

Создайте файл сценария и введите следующий код —

Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —

Расширяя и собирая уравнения в октаве

Вам нужно иметь символьный пакет, который обеспечивает расширение и функцию сбора для расширения и сбора уравнения, соответственно. Следующий пример демонстрирует понятия —

Когда вы работаете со многими символическими функциями, вы должны объявить, что ваши переменные являются символическими, но у Octave другой подход к определению символических переменных. Обратите внимание на использование Sin и Cos , которые также определены в символической упаковке.

Создайте файл сценария и введите следующий код —

Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —

Факторизация и упрощение алгебраических выражений

Факторная функция разлагает выражение, а функция упрощения упрощает выражение. Следующий пример демонстрирует концепцию —

пример

Создайте файл сценария и введите следующий код —

Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —

Квадратное уравнение Matlab

Стандартное отклонение (линейная регрессия) на научном калькуляторе Casio fx 82MS

Борьба с квадратным уравнением MATLAB. Я получаю сложное число по мере того, как мой ответ и другие ошибки продолжают возникать.

Напишите функцию MATLAB, которая решает квадратное уравнение вида a*x^2 + b*x + c = 0

Синтаксис вашей функции должен иметь вид

где a , b а также c — квадратичные коэффициенты; а также quadRoots1 а также quadRoots2 два определенных корня. Для случая, когда присутствует только один корень (например, когда a=1 , b=2 а также c=1 ), вы должны установить второй выход на NaN (не число). Если корни отсутствуют, установите для обоих выходов значение NaN .

• Это было давно, но если мне не изменяет память, если b ^ 2 — 4ac if заявление для проверки, так ли это
• Я голосую за то, чтобы закрыть этот вопрос как не по теме, потому что это домашнее задание, и OP не показал никаких попыток.
• Я получаю сложное число по мере того, как мой ответ и другие ошибки продолжают возникать. Что пробовали? Отредактируйте свой вопрос и добавьте свою лучшую попытку. См. Stackoverflow.com/help/how-to-ask

Обязательно проверьте, соответствует ли число под знаком корня в квадратной формуле:

• Положительный ( >0 ): два различных действительных корня,
• Равно нулю ( ==0 ): единственный действительный пронумерованный вырожденный корень (или, точнее, два неотличных корня).
• Отрицательный ( : ваши корни сложны (вспомните sqrt(-1) = i , с нашей воображаемой единицей i ). Судя по звучанию ваших вопросов, кажется, что вы должны относиться к сложным, как если бы «корней нет».

Вы можете проверить приведенные выше случаи в своей функции Q1_quadratic(. ) используя if-elseif-else пункт, например:

• Это, очевидно, домашнее задание, и ОП не проявил никакой попытки. Почему вы дадите исчерпывающий ответ?
• 1 @Jubobs Ой, беда, я бегло просмотрел вопрос, чтобы быстро понять, что это, очевидно, вопрос домашнего задания (теперь очень очевидно, после того, как Стив отредактировал среду цитаты). Я согласен, что на домашние задания не следует отвечать с такой полнотой, приношу свои извинения, я просто пропустил этот вопрос из-за собственного забвения.
• Хорошо; Я рада, что ты сделал это не специально.
• @Jubobs Я рада, что ты мне сказал. Разобравшись с этим, я должен удалить этот ответ сейчас, как вы думаете? Думаю, рано или поздно вопрос будет закрыт.
• 1 Я бы сказал, оставь это. Сейчас, наверное, слишком поздно снимать его, и это имеет значение.