Система комплексных линейных уравнений
Элементы комплексной системы линейных уравнений |
Вы ввели следующую систему уравнений |
Решение системы следующее |
Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений: — иметь только одно верное решение; — иметь бесконечное множество корней; — иметь несовместный тип (когда решений быть не может). Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа. Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк. Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных! Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей а также в множестве специализированных задач. Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами. Ну, раз бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа. Пример комплексной подстановки при решении линейного неоднородного дифференциального уравненияМетод понижения порядка линейного неоднородного дифференциального уравнения с комплексными корнями характеристического уравненияРассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка: Для решения уравнения (1), применим метод понижения порядка. Поскольку коэффициенты характеристического уравнения (2) являются действительными числами, то его комплексные корни являются попарно комплексно сопряженными. Пусть – два комплексно сопряженные корня: . Запишем исходное уравнение (1) в следующем виде: Обозначим: Далее замечаем, что поскольку исходное уравнение (1) имеет действительные коэффициенты, то переменная u и ее производная u′ должны быть действительными. Выразим комплексный корень через действительную и мнимую части: Таким образом, в случае с комплексными корнями, один этап решения приводит к понижению порядка на две единицы. Пример решения дифференциального уравненияРешить уравнение Перепишем уравнение в следующем виде: Характеристическое уравнение имеет комплексные корни: . Тогда Переписываем исходное уравнение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Ищем решение с помощью интегрирующего множителя. Умножим на и выполняем преобразования: Вычисляем интеграл в (П4) с помощью подстановки . . Выразим арктангенс через логарифм, используя уравнение: . Теперь в правой части (П6) нам нужно отделить вещественную и мнимую части. Мнимая часть уравнения (П6) и даст искомое решение y . Для преобразования логарифма, используем формулу: . Далее замечаем, что . Тогда при имеем: Подставим в (П6) и выполним преобразования: Теперь преобразуем экспоненту с помощью формулы Эйлера: , и выразим комплексную постоянную через действительную и мнимую части: . Подставляем в (П7): . . . Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-07-2013 Изменено: 26-08-2020 Как решить линейное уравнение с комплексными коэффициентами. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке © Контрольная работа РУ — примеры решения задач источники: http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/lineinie_postoyannie_koeffitsienti/neodnorodnie_ponizhenie_poryadka/primer_kompleksnie/ http://www.kontrolnaya-rabota.ru/diario/96-reshenie-uravnenij-kompleksnymi-chislami/ |