Как решить неравенство квадратное уравнение 9 класс

Квадратные неравенства, примеры, решения

В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.

Что представляет собой квадратное неравенство

Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.

Квадратное неравенство – это такое неравенство, которое имеет вид a · x 2 + b · x + c 0 , где a , b и c – некоторые числа, причем a не равно нулю. x – это переменная, а на месте знака может стоять любой другой знак неравенства.

Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными являются функции, которые задаются уравнениями вида y = a · x 2 + b · x + c .

Приведем пример квадратного неравенства:

Возьмем 5 · x 2 − 3 · x + 1 > 0 . В этом случае a = 5 , b = − 3 и c = 1 .

Или вот такое неравенство:

− 2 , 2 · z 2 − 0 , 5 · z − 11 ≤ 0 , где a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 и c = − 11 .

Покажем несколько примеров квадратных неравенств:

Здесь коэффициенты этого квадратного неравенства есть ; 1 2 3 · x 2 — x + 5 7 0 , в этом случае a = 1 2 3 , b = — 1 , c = 5 7 .

Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при x 2 считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида b · x + c > 0 , так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты b и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.

Пример такого неравенства x 2 − 5 ≥ 0 .

Способы решения квадратных неравенств

Основным метода три:

• графический;
• метод интервалов;
• через выделение квадрата двучлена в левой части.

Графический метод

Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции y = a · x 2 + b · x + c для квадратных неравенств a · x 2 + b · x + c 0 ( ≤ , > , ≥ ) . Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Метод интервалов

Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена a · x 2 + b · x + c при их наличии.

Для неравенства a · x 2 + b · x + c 0 решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 , промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида ( x − p ) 2 q ( ≤ , > , ≥ ) , где p и q – некоторые числа.

Неравенства, сводящиеся к квадратным

К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.

Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства 5 ≤ 2 · x − 3 · x 2 . Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида 3 · x 2 − 2 · x + 5 ≤ 0 .

Необходимо найти множество решений неравенства 3 · ( x − 1 ) · ( x + 1 ) ( x − 2 ) 2 + x 2 + 5 .

Решение

Для решения задачи используем формулы сокращенного умножения. Для этого соберем все слагаемые в левой части неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3 · ( x − 1 ) · ( x + 1 ) − ( x − 2 ) 2 − x 2 − 5 0 , 3 · ( x 2 − 1 ) − ( x 2 − 4 · x + 4 ) − x 2 − 5 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 0 , x 2 + 4 · x − 12 0 .

Мы получили равносильное квадратное неравенство, которое можно решить графическим способом, определив дискриминант и точки пересечения.

D ’ = 2 2 − 1 · ( − 12 ) = 16 , x 1 = − 6 , x 2 = 2

Построив график, мы можем увидеть, что множеством решений является интервал ( − 6 , 2 ) .

Ответ: ( − 6 , 2 ) .

Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство 2 · x 2 + 5 x 2 + 6 · x + 14

равносильно квадратному неравенству x 2 − 6 · x − 9 0 , а логарифмическое неравенство log 3 ( x 2 + x + 7 ) ≥ 2 – неравенству x 2 + x − 2 ≥ 0 .

Квадратные неравенства

Чтобы решить квадратные неравенства вспомним, что такое квадратичная функция?
Квадратичная функция – это функция записанная формулой : y=ax 2 +bx+c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола.

В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:

• если a>0, то ветви параболы направлены вверх;
• если a 2 +bx+c=0

Квадратные неравенства имеют вид.

ax 2 +bx+c>0
ax 2 +bx+c 2 +bx+c≥0
ax 2 +bx+c≤0

Чтобы начать решать квадратные неравенства, необходимо знать как решаются квадратные уравнения?
А также для графического метода решения неравенства, необходимо знать алгоритм построения квадратичной функции или параболы?

Как решать квадратные неравенства?

Решение квадратных неравенств рассмотрим на примерах. Для начала разберем случаи, когда у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля (нет корней).

Пример:

Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, а это значит, что весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0 (ветви параболы смотрят вверх)

Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x 2 +2x+20>0.

Получили верное неравенство 25>0, следовательно так как у нас нет корней уравнения нам подойдут все точки числовой прямой.

Пример:

Рассмотрим этот же пример со знаком неравенства меньше 0

3x 2 +2x+20 2 +2x+20=0

Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось x. Весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0.

А знак уравнения меньше 2 +2x+20 2 +2•1+20 2 +x-2 2 +x-2=0

Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.

Знак уравнения меньше 2 +x-2 2 +(-3)-2 2 +(0)-2 2 +(2)-2 2 +x-2>0

Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.

Знак уравнения больше >0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится выше оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходят интервалы (-∞;-2) и (1;+∞).

Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка.

Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x 2 +x-2 2 +(-3)-2>0

Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (-∞; 2) подходит.

Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.

Получили неверное неравенство -2>0, следовательно этот интервал (-2; 1) не подходит.

Третий участок (1; +∞). На этом участке возьмем число 2.

Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (1; +∞) подходит.

Метод интервалов, решение неравенств

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

где x — переменная,

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

• графический метод;
• метод интервалов.

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

1. D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
2. D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;
3. D 2 + bx + c.

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, 2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.

Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.

Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

Построим чертеж.