Как решить рациональное уравнение с заменой

2 .

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение:

Ответ:

3 .

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

Ответ:

4 .

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .

Чтобы его решить,

1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену:

5. Выразим через t выражение :

Отсюда

Получим уравнение относительно t:

Ответ:

5. Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

В этом равенстве А, В и С — числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень ( в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на

Или на

Или на

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

Сократим дроби, получим:

Теперь мы вводим замену переменной:

И решаем квадратное уравнение относительно замены:

.

При решении уравнения я обычно придерживаюсь такой тактики: нужно уменьшить количество различных выражений, в состав которых входит неизвестное ( принцип «бритвы Оккама» — не нужно множить сущности без нужды), а для этого помогает разложить выражения с неизвестным на множители. Разложим выражение, стоящее в правой части уравнения на множители.

Перенесем все влево, получим:

Теперь мы видим, что перед нами однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на , предварительно проверив, что х=1 не является корнем исходного уравнения.

Теперь самое время ввести замену переменной:

Получим квадратное уравнение:

Ответ:

6 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Решается с помощью введения вот такой замены переменной:

В нашем уравнении ,тогда . Введем замену:

Теперь возведем каждую скобку в четвертую степень, используя треугольник Паскаля:

Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:

Ответ: или

7 .

Это уравнение имеет такую структуру:

Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.

Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно

Теперь прикинем, что нам удобнее иметь — квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:

Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:

[/pmath]

Введем замену:

Получим квадратное уравнение:

Ответ:

Метод замены переменной

Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

Заменим выражение \(x+\frac<1>\) буквой \(t\).

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

Попробуем сделать замену здесь.

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

Примеры использования метода замены переменной

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

Теперь используем метод замены.

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

Ответ: \(±1\); \(±\) \(\frac<1><2>\) .

Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!

Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Приступим к решению.

Раскладываем левую часть неравенства на множители .

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

Конспект открытого урока по математике на тему «Решение рациональных уравнений при помощи замены неизвестного»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ГКОУ РД «Арадинская СОШ Хунзахского района им. Галбацова Г.К.»

учитель математики Лабазанова Бика Мирзабеговна

Конспект урока: Решение рациональных уравнений при помощи замены неизвестного

Класс: 8класс алгебра. Автор С.М. Никольский

Необходимое оборудование : доска, компьютер, проектор, раздаточные материалы

Цель урока: закрепить умения решать уравнения способом замены неизвестного.

1. Оргмомент – 5 минут

2. Решение биквадратных уравнений – 7 минут

3. Презентация замены неизвестного при решении уравнений – 8 минут

4. Физкультминутка – 2 минуты

5. Работа в группах – 20 минут

6. Подведение итогов – 3 минуты

2. Устная работа

А) Что называется уравнением?

В) Что такое корень уравнения?

С) Что значит решить уравнение?

Д) Виды уравнений( квадратные , биквадратные, распадающиеся, уравнение одна часть которого алгебраическая дробь, другая –нуль, рациональные уравнения)

— Как решить линейное уравнение? (Все слагаемые с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

— Как решить квадратное уравнение? (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)

2) Если надо решить биквадратное уравнение ах 4 + bx 2 + c =0, то вводим новую неизвестную, например, y = x 2 , получаем квадратное уравнение: ay 2 + by + c =0. Решив это уравнение, найдем корни y ₁ и y ₂ . Чтобы найти корни исходного уравнения, т.е. x ₁ и x ₂ , надо решить два уравнения 1) x 2 = y ₁ и 2) x 2 = y ₂ .

3. Обьяснение новой темы

Пример 1. Решим уравнение

( x 2 + x – 1) (2 x 2 +2 x + 3) – 7(1 – x – x 2 ) = 110 (1)

Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного.

Введем новое неизвестное t = x 2 + x – 1, тогда 2 x 2 +2 x + 3 = 2 ( x 2 + x – 1) +5,
1 – x – x 2 = — ( x 2 + x – 1) = — t . Поэтому уравнение (1) перепишется в виде:

t (2 t + 5) + 7 t = 110 или 2 t 2 + 12 t – 110 = 0

Это уравнение имеет два корня t ₁ = 5, t ₂ = — 11

Поэтому корнями уравнения (1) являются корни двух уравнений:

1) x 2 + x – 1 = 5 и 2) x 2 + x – 1 = — 11

Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (1): x ₁ = -3, x ₂ = 2.

Пример 2. Решим уравнение

( x + 3) ( x – 5) ( x + 2) ( x – 4) = 60 (2) [2, 18]

Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного. Но сначала в левой части уравнения умножим первый множитель на второй и третий на четвертый, потому что суммы свободных членов этих многочленов в каждой паре одинаковы: 3 + (- 5) = 2 + (-4), получим равносильное уравнение

( x 2 — 2 x – 15) ( x 2 — 2 x – 8) = 60.

Введем новое неизвестное t = x 2 — 2 x – 15, тогда x 2 — 2 x — 8 = t + 7, поэтому уравнение перепишется в виде

t ( t + 7) = 60 или t 2 + 7 t – 60 = 0

Это уравнение имеет два корня t ₁ = 5, t ₂ = — 12

Поэтому корнями уравнения (2) являются корни двух уравнений:

1) x 2 — 2 x – 15 = 5 и 2) x 2 — 2 x – 15 = — 12

Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (2): x ₁ = 1 — , x ₂ = 1 + , x ₃ = — 1, x ₄ = 3.

Ответ. x ₁ =1 — , x ₂ = 1 + , x ₃ = — 1, x ₄ = 3.

А теперь перейдем к решению более сложных задач .Двое работают у доски, остальные в группах по четыре человека.

Задания для работающих у доски:

1 задание. Решите уравнение x 5 – 9 x 3 + 20 x = 0. Указание: вынесите x за скобки.

2 задание. Решите уравнение ( x 2 – 5 x ) ( x 2 – 5 x + 10) + 24 = 0. Указание: введите новое неизвестное x 2 – 5 x = t .

4. Закрепление нового материала

Задания для работы в группах:

1 задание. Решите уравнение ( x – 2) 2 ( x 2 – 4 x + 3) = 12. Указание: выражение в первых скобках возведите в квадрат.

2 задание. Решите уравнение ( x 2 – 7 x + 13) 2 – ( x – 3) ( x – 4) = 1. Указание: перемножьте выражения в скобках ( x – 3) ( x – 4).

Итак, сегодня на уроке мы с вами решали уравнения, используя метод замены неизвестного. Учебно-методическая газета “Математика” выходит под девизом: “Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием”, а вот для меня большая радость, если все, чему вы научились на уроках, можете использовать на экзаменах.