Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели урока:
- формирование понятия дробных рационального уравнения;
- рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
- рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
- обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
- проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
- развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
- развитие критического мышления;
- развитие навыков исследовательской работы.
- воспитание познавательного интереса к предмету;
- воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
- воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.
Тип урока: урок – объяснение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?
Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
- Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
- Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
- Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
- Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
- Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
- Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)
3. Объяснение нового материала.
Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).
х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6
х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8
Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).
Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.
Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений
Примеры
Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?
Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.
Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $\frac<18><60>$ = t-0,3 (ч)
По условию разность скоростей равна 10:
$$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$$
$$ D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$
$$ t = \frac<0,3 \pm 2,7> <2>= \left[ \begin
Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч
Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.
Пусть u — скорость течения
По условию время против течения в 1,5 раз больше:
$$ 1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20 $$
Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.
Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.
По условию разность концентраций:
$$ 50 \cdot 150 = \frac<75> <1000>(x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200 $$
$$ D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$
$$ = 100 \cdot 4225 = 650^2 $$
$$ x = \frac<-250 \pm 650> <2>= \left[ \begin
Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.
Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?
Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.
Из последней строки таблицы получаем:
$$ 8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$$
$$ t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.
Ответ: 12 ч и 24 ч
Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы \frac<3> <5>проекта было готово.
За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?
Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.
Основные сведения о решении дробно-рациональных уравнений
Определение основных понятий по теме
Рациональным выражением является такое выражение в алгебре, в состав которого включены числа и переменная х, а также операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем. Если пара рациональных выражений объединены знаком равенства, то перед нами рациональное уравнение.
Дробно-рациональное уравнение представляет собой не имеющее знак корня рациональное уравнение, в котором обе части записаны в виде дробных выражений.
В дробно-рациональном уравнении имеется как минимум одна дробь, содержащая в знаменателе переменную.
Например, дробно-рациональными уравнениями являются:
9 x 2 — 1 3 x = 0
1 2 x + x x + 1 = 1 2
6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1
Уравнения, которые нельзя отнести к дробно-рациональным:
Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений
В процессе решения дробно-рациональных уравнений требуется правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Когда корни уравнения найдены, следует проверить их на соответствие ОДЗ и выяснить, какие являются допустимыми. В противном случае образуются посторонние решения, что автоматически делает ответ неверным.
Предусмотрен стандартный алгоритм действий для поиска корней дробно-рациональных уравнений:
- Выписать и определить ОДЗ.
- Вычислить общий знаменатель дробей.
- Найти произведение каждого члена уравнения и общего знаменателя. После чего следует сократить полученные дроби, чтобы избавиться от знаменателей.
- Записать уравнение со скобками.
- Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
- Найти корни уравнения, которое получилось после раскрытия скобок.
- Сверить найденные корни с ОДЗ.
- Решения, которые успешно прошли проверку, записать в ответ.
Примеры решения задач
Требуется найти корни дробно-рационального уравнения:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
Рассмотрим уравнение из условия задания:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
Определим область допустимых значений:
x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )
В таком случае, общим знаменателем является следующее выражение:
Согласно стандартной последовательности действий, найдем произведение каждого члена уравнения и ( x — 2 ) ( x + 2 ) : x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )
x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8
x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8
Затем следует привести подобные слагаемые:
Решениями получившегося квадратного уравнения являются следующие корни:
Сравним результат вычислений с ОДЗ. Зная, что x ≠ 2 , исключим первый корень, как посторонний. Запишем в ответ второй корень.
Для закрепления материала и знаний метода решения дробно-рациональных уравнений попробуем решить еще одно задание с объяснением действий. Подобные задачи нередко приходится решать на уроках алгебры в восьмом классе.
Решить дробно-рациональное уравнение:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
Рассмотрим уравнение из условия задания:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
Определим область допустимых значений:
x 2 + 7 x + 10 ≠ 0
D = 49 — 4 · 10 = 9
x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2
x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5
Воспользуемся способом разложения квадратного трехчлена на множители:
a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )
Преобразуем квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 с учетом найденных x 1 и x 2 :
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
В результате общий знаменатель равен:
Умножим все части уравнения на общий знаменатель:
x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 — — ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
Выполним сокращение дробей:
x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0
Избавимся от скобок:
x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0
Приведем подобные слагаемые:
2 x 2 + 9 x — 5 = 0
Тогда получим корни уравнения:
Соотнесем решения с областью допустимых значений, которую определили ранее. Первый корень является посторонним, что выявлено с помощью контрольной проверки. По этой причине в ответ следует записать только второй корень.
Задания для самостоятельной работы
Найти корни уравнения:
x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6
x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6
3 x — 3 + 4 x 6 = 5 x 6
Требуется решить дробно-рациональное уравнение:
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )
x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5
x 2 — 3 x — 10 = 0
Вычислить корни уравнения:
33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3
33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3
— 33 — x 2 + ( 7 + x ) · ( x + 3 ) = — 2 ( x 2 — 9 ) + ( 4 — x ) · ( x — 3 )
Согласно ОДЗ, первый вариант решения не подходит:
http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/reshenie-zadach-s-pomoshchyu-drobnyh-racionalnyh-uravnenij/
http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/8/osnovnye-svedeniya-o-reshenii-drobnoraczionalnyh-uravnenij