Как решить систему нелинейных уравнений с двумя переменными

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их система

Уравнения с двумя переменными \(x \ и \ y\) имеет вид \(f(x,y)= \varphi(x,y)\) , где \( f\ и \ \varphi\) – выражения с переменными \(x \ и \ y\) .

Если в уравнении \(x(x-y)=4\) подставить вместо переменной х ее значение –1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: \(1\cdot(-1-3)=4\) . Пара (–1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения \(x(x-y)=4\) .

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Нелинейные уравнения с двумя переменными решаются так же, как и линейные уравнения с двумя переменными, – с помощью графика. При этом желательно переменную у выразить через х и построить график полученной функции. Все соответствующие координаты точек графика будут являться парами ответов данного уравнения.

Система вида \(\left\< \begin f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end \right.\) , называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотя бы одно из уравнений нелинейное. Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.

Утверждения о равносильности систем уравнений:

• если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например x, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную x на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

Рассмотрим некоторые методы решения нелинейных систем уравнений.

Метод разложения на множители

Пример 1. Решить систему: \(\left\< \begin x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0, \\ 2x^2-y^2+xy+3y-5=0. \\ \end \right.\)

Заметим, что множитель \(x+y+1\ne0\) , так как в этом случае правая часть второго уравнения системы также обратилась бы в нуль. Следовательно, система равносильна системе \(\left\< \begin x-2y+1=0 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x=2y-1 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end \right. \)

Решим второе уравнение:

\((2(2y-1)-y +1)(2y-1+y+1) =6 \\( 4y — 2 -y + 1)\cdot 3y = 6 \\(3y-1)\cdot 3y = 6 \\9y ^2-3y -2 = 0 \\y_1= 1; y_2 = -\frac23\)

Выразив x из первого уравнения и подставив во второе, получили уравнения для нахождения у. В первое уравнение системы вместо у подставляем найденное значение и находим значения x: \(x_1=1; \ x_2=-\frac73\) .

Ответ: \((1; 1); (- \frac73; — \frac23 )\) .

Метод исключения одной из неизвестных

Метод исключения неизвестных позволяет последовательно сводить решение данной системы к решению системы (или совокупности систем), содержащей на одну переменную меньше.

Пример 2. Решить систему: \(\left\< \begin 3x^2y^2+x^2-3xy=7, \\ 10x^2y^2+3x^2-20xy=3. \\ \end \right. \)

Решение: Левые части уравнений системы содержат одни и те же комбинации неизвестных. Умножим уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Из системы исключим х 2 . Для этого умножим первое уравнение на –3 и сложим со вторым уравнением.

В результате получаем уравнение \((xy)^2-11xy+18=0\) .

Решим данное уравнение путем замены.

Пусть \(xy = t\) , тогда \( t^2 — 11t + 18= 0\) , откуда \(t_1 = 2; t_2 = 9\) .

Таким образом, исходная система распадается на системы:

В первом случае находим \(x^2=1\) . Если \(x = 1, то\ y = 2 , \ а \ если\ x = -1, \ то\ y = -2\) .

Во втором случае получаем \(x^2=-209\) , т. е. не имеет действительных решений.

Метод подстановки

Пример 3. Решить систему: \(\left\< \begin x + y = 3, \\ x^3 + x^2 y = 12. \\ \end \right.\)

Решение: \(\left\< \begin x + y = 3 \\ x^3 + x^2 y = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 \left( \right) = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 \cdot 3 = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x + y = 3 \\ x^2 =4 \\ \end \right. \)

\(\left\< \begin x + y = 3 \\ x_1=2; x_2=-2 \\ \end \right. \Rightarrow y=3-x \Rightarrow y_1=3-2=1, y_2=3-(-2)=5\)

Метод введения новых переменных

Пример 4. Решить систему: \(\left\< \begin x + y +\frac=\frac12, \\ \frac<(x+y)x>=-\frac12. \\ \end \right.\)

Решение: Введем новые неизвестные \(u =x+y, v = \frac\) и получим симметричную систему уравнений: \(\left\< \begin u+v=\frac12 \\ uv=-\frac12 \\ \end \right.\) . Решения этой системы: \(u_1=1, v_1=-\frac12; u_2=-\frac12, v_2=1\) . Получаем системы уравнений: \(\left\< \begin x+y=1 \\ \frac=-\frac12 \\ \end \right. \ и \ \left\< \begin x+y=-\frac12 \\ \frac=1 \\ \end \right. \) , которые являются линейными. Решение первой системы – \((-1;2)\) , второй – \((- \frac 1 <4>; — \frac 1<4>)\) .

Как решить систему нелинейных уравнений с двумя переменными

Система нелинейных уравнений с двумя переменнымию Система вида $$ \left\< \begin f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end \right. $$, называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотябы одно из уравнений нелинейное.

Решением системы нелинейных уравнений является пара чисел (a, b) , при подстановке которой в исходную систему получаются верные тождества: $$ \left\< \begin f_1 (a,b) \equiv C_1 \\ f_2 (a,b) \equiv C_2 \\ \end \right.$$

Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.

Решение нелинейной системы: $$ \left\< \begin x^2 y^3 — x^3 y^2 = 4 \\ x^2 y^3 + x^3 y^2 = 12 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin 2x^2 y^3 = 16 \\ 2x^3 y^2 = 8 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x^2 y^3 = 8 \\ x^3 y^2 = 4 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin y(xy)^2 = 8 \\ \left( \right)^5 = 32 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin 4y = 8 \\ xy = 2 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin y = 2 \\ x = \frac<2> \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin y = 2 \\ x = 1 \\ \end \right.$$ Ответ:(1; 2)

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.

Утверждения о равносильности систем уравнений:

• если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например x, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную x на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

Основные методы решения систем нелинейных уравнений:

• метод подстановки;
• метод введения новых переменных;
• графический метод;
• метод алгебраического сложения;
• метод почленного умножения и деления;
• метод математического подбора.