Как решить систему уравнений 11 класс

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №50. Системы уравнений. Методы решения систем уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Методы решений систем: метод сложения, метод подстановки.
• Частные способы решения систем уравнений.
• Решение задач итоговой аттестации

Глоссарий по теме

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Уравнение с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид , где f и g — выражения с переменными x и y .

Система уравнений. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014. С 238-239.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим методы решения систем уравнений

Выразим одну переменную из второго уравнения и подставим во второе:

Решим первое уравнение

Подставим найденное значение в первоначальную систему

Получим ответ: (4; 6)

Сложим почленно уравнения и найдем значение одной из переменных

Подставим полученное значение в первоначальную систему и найдем решение.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решите систему уравнений

Выберите верный ответ из предлагаемых.

1. (4; 1);
2. (-1; -4); (9; 3)
3. (1; 4);

Правильный вариант: 1) (4; 1);

Рассмотрим первое уравнение.

Решим это уравнение методом замены переменной.

Найдем значение t = 2 т.е.

Подставим полученное значение во второе уравнение.

Решая второе уравнение получим значения y.

, или

, или

Ответ:

Решите систему уравнений

Выберите верный ответ из предложенных

Рассмотрим второе уравнение и преобразуем его:

Системы уравнений. Способы их решения. 11 класс
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

В презентации рассматриваются способы решения систем уравнений:

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Способы решения Системы уравнений

Системы уравнений с двумя переменными. Определение: Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Способы решения: Способ подстановки Способ сложения Графический способ Способ замены

Способ подстановки Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение. Решить получившееся уравнение с одной переменной. Найти соответствующее значение второй переменной.

Пример: Решим систему уравнений: 1. Выразим из первого уравнения y через x : y=7-3x . 2. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-3х , получим систему: 3. В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение: 14-6х-5х=3, -11х= -11, х=1. 4. Подставим в равенство у=7-3х вместо х число 1 , найдём соответствующее значение у : у=7-3 1, у=4. Пара (1;4) – решение системы (1).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Способ сложения Умножьте почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Сложите почленно левые и правые части уравнений системы. Решите получившееся уравнение с одной переменной. Найдите соответствующее значение второй переменной.

Пример: Решим систему: 1. Умножим все члены первого уравнения на — 2 : уравнение оставим без изменений, то коэффициенты при в полученных уравнениях будут противоположными числами: 2. Т П очленно сложим и получим уравнение с одной переменной : -29у=58 . 3. Из этого уравнения находим, что у=58/(-29)= -2 . 4. Подставив во второе уравнение вместо у число -2 , Найдём значение х : 10х-7*(-2)=74 , 10х=60 , х=6 . Ответ : х=6 , у= -2

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Графический способ Построить график функции, заданной первым уравнением системы. Построить график функции, заданной вторым уравнением системы. Определить координаты точек пересечения графиков функций.

Пример : Решим систему уравнений: 1. Построим график линейной функции 2х+3у=5 . Её графиком является прямая АВ . 2. Построим график линейной функции 3х-у=-9 . Её графиком является прямая С D . 3. Графики пересекаются в точке К(-2;3). Значит, система имеет Единственное решение: х= -2, у=3 3 -2 К y x D C A B 0

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Способ замены Пример : Решим систему Сделаем замену: Получим систему: Разложим левую часть второго уравнения на множители: — и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй: Подставляя во второе уравнение значение b , найденное из первого приходим к уравнению , т.е. Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и . Соответствующие значения b таковы: и . Переходим к переменным х и у. Получаем: , т.е. , , , . Ответ:(1;27), (27;1).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Системы показательных уравнений Пример : Решим систему уравнений Из второго уравнения системы находим 2х-у=1 , откуда у=2х-1 . Подставляя вместо у в первое уравнение выражение 2х-1 получим , откуда . Обозначим , получим квадратное уравнение . Находим корни этого уравнения: . Уравнение замены решений не имеет. Корнем уравнения является число х=2 . Соответствующее значение у=3 . Ответ :(2;3).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Системы логарифмических уравнений Пример : Решим систему уравнений Первое уравнение системы равносильно уравнению у-х=2 , а второе – уравнению , причём х > 0 и у > 0 . Подставляя у =х+2 в уравнение , получим х(х+2)=48 , откуда ,т.е. х= -8 или х=6 .Но так как х >0 , то х=6 и тогда у=8 . Итак, данная система уравнений имеет одно решение: х=6, у=8 . Ответ: (6;8).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения»

Методическая разработка обобщающего урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения. Углубленное изучение свойств «квадратных уравнений». Урок -презентация.

урок в 9 классе по алгебре «Основные понятия. Графический способ решения системы уравнений с двумя переменными»

урок с применением технологии деятельностного подхода.

Урок алгебры 8 класс. Тема «Квадратные уравнения. Способы их решения.»

Презентация к уроку обобщения и закрепления ранее изученного материала по теме «Квадратные уравнения&quot.

Методическая разработка урока алгебры в 7 классе «Различные способы решения систем линейных уравнений» способы решения систем уравнений

Урок алгебры в 7 классе направлен на обобщение и систематизацию различных способов решения систем уравнений: метода сравнения, сложения, подстановки, графического метода, метода Крамера, выбора рацион.

Решение систем линейных уравнений способом сложения. 7 класс.

Графический способ решения системы уравнений. 9 класс

Цель урока: овладеть умением решать системы уравнений с двумя переменными, используя графические представления.

План-конспект урока «Системы уравнений. Основные способы их решения», 9 класс

План-конспект урока с технологической картой.

Системы уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

	x — 4y = 2
	-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

	3x — 12y = 6
	3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.