Как решить систему уравнений методом разложения

Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь .

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\).
Решение:

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку.

Решение СЛАУ методом LU-разложения

Пусть система уравнений задается в виде:

Пример №1 . Дана система линейных уравнений. Решить ее методом LU-разложения.
Решение. Алгоритм декомпозиции основан на идее представления исходной матрицы в виде произведения двух треугольных матриц. Пусть задана квадратная матрица:
Представим A в виде: A=BC
Покажем пример вычислений нескольких значений матриц B и C.
Вычисляем значение элемента b₁₁=1
c₁₁=1/1=1
c₁₂=3/1=3
c₁₃=3/1=3
Вычисляем значение элемента b₂₁=1
Вычисляем значение элемента b₂₂=-2 — (1 • 3)=-5
c₂₂=-5/(-5)=1
c₂₃=0/(-5)=0
Вычисляем значение элемента b₃₁=3
Вычисляем значение элемента b₃₂=3 — (3 • 3)=-6
Вычисляем значение элемента b₃₃=-1 — (3 • 3 -6 • 0)=-10
c₃₃=-10/(-10)=1

Вычисляем значения y_i
y₁ = 11/1 = 11
y₂ = (1 — 1 • 11 )/(-5) = 2
y₃ = (1 — 3 • 11 -6 • 2 )/(-10) = 2
Вычисляем значения x_i
x₃ = y₃ = 2
x₂ = 2 — (0 • 2 ) = 2
x₁ = 11 — (3 • 2 + 3 • 2 ) = -1

Пример №2 . Решить систему уравнений Ax = b методом Гаусса (LU-разложения).

Системы уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

	x — 4y = 2
	-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

	3x — 12y = 6
	3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.