Как решить тригонометрическое уравнение 11 класс

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P_α° и P_β°, симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой P_α°:

α° ≈ 37° + 360°n, где n — любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка P_β° — конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n, где n — любое целое число.

Ответ: 37° + 360°n, –37° + 360°n, где n— любое целое число.

Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D(0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P_φ и P_π–φ, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKP_φ катет KP_φ равен половине гипотенузы OPφ, значит,

Общий вид углов поворота с конечной точкой P_φ:

где n — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой P_π–φ:

где n — любое целое число.

Ответ: где n — любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC. Прямая OC пересекает единичную окружность в точках P_α° и P_β° — концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n — целое число). С помощью транспортира находим, что угол P_α° OP₀ равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n — целое число)

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

Как решить тригонометрическое уравнение 11 класс

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Решение тригонометрических уравнений. Алгебра 11 класс. Вводное повторение

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Приложение № 3.doc

Информационная карта автора методической разработки

Губина Клара Владимировна

Место работы (полное наименование образовательной организации в соответствии с её уставом)

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №2»

Адрес школьного сайта в Интернете

Занимаемая должность (наименование в соответствии с записью в трудовой книжке)

Адрес личного Интернет-ресурса

Личная электронная почта

Умей поставить себя на место ученика. У каждого есть право на ошибку. Найди возможность дать ученику шанс исправить ее.

Выбранный для просмотра документ Урок по теме. Повторение.Решение тригонометрических уранений.doc

Название предмета Алгебра и начала анализа.

УМК А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс, (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2014г.

Уровень обучения Профильный

Тема урока Повторение материала 10 класса. Тригонометрические уравнения.

Общее количество часов, отведенное на изучение данной темы 1

Место урока в системе уроков по теме 1.

Цель урока Обобщить и систематизировать теорию о способах решения тригонометрических уравнений, виды уравнений.

повторить решение простейших уравнений, основные тригонометрические формулы, основные формулы тригонометрических уравнений;

закрепить умения применять данные формулы не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.

развивать умения самостоятельного решения уравнений связанных с выбором алгоритма решения уравнений;

содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения;

ознакомить с логическими приемами мышления.

воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки;

содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке,

содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.

Обучающиеся должны уметь: находить корни простейших тригонометрических уравнений, уметь решать уравнения как простейшие (из ЕГЭ базового уровня), так и более сложных уравнений (из ЕГЭ профильного уровня) и спользовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам.

Техническое обеспечение урока проектор, компьютер, экран.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока

1. Организационный момент: вступительное слово учителя, в котором подчеркивается значение, материала повторяемой темы, сообщается цель и план урока (1 мин.)

Тема “Решение тригонометрических уравнений» актуальна, умение решать тригонометрические уравнения позволит вам справиться с заданиями ЕГЭ за курс средней школы. Будьте активны, внимательны, помогайте друг другу вспомнить, все то, что вы изучали на уроках алгебры и началах анализа в 10 классе.

2.Актуализация опорных знаний (формы: устная беседа).

Вопросы и задания для актуализации :

а). Как решить уравнение sinx = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

б). Как решить уравнение cos x = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

в). Как решить уравнение tg x = m ? Запишите в тетради формулу корней данного уравнения.

г). Давайте вспомним частные случаи. Учащиеся в тетрадях записывают решение этих уравнений.

3. Работа на доске и в тетрадях вместе с учителем. Разбор всех тригонометрических уравнений на виды.

Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения вида T ( kx + m ) = a , где T — знак какой – либо тригонометрической функции.

Пример: sin 2 x = 0,5

Решение: 2 x = m , 2 x = m , x = m , x = m ,

Пример: Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение: х – 7 = 8 + 6в или х – 7 = 6 + 8 t , тогда х = -4

тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin 2 х + В sin х + С =0 или A sin 2 х + В cos х + С =0

Пример: Решите уравнение:

sin 2 х + 5 sin х — 6 =0. Введем замену sin х = z , решая квадратное уравнение

z 2 + 5 z — 6 = 0, z ₁ = 1; z ₂ = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π /2 +2 π k , k Z .

Уравнение sin х = — 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ), т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]

При решении уравнения вида A sin 2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin 2 х = 1 — cos 2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Пример: Решите уравнение 2 sin 2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin 2 х = 1 — cos 2 х,

2 (1 — cos 2 х) +3 cos х -3 =0.

— 2 cos 2 х + 3 cos х — 1 = 0 | (-1)

2 cos 2 х — 3 cos х + 1 = 0

Решая квадратное уравнение 2 t 2 — 3 t +1 = 0,

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k , k Z .

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2 π n , n Z

однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x + B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Пример: 2 sin x + 3 cos x = 0.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

х = arctg (-1,5) + πk, k Z или х = — arctg 1,5 + πk, k Z

однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = 0. Разделив обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2 x + В tg x + С = 0.

Пример: 2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0

2 sin 2 х — 3 sin х cos х — 5 cos 2 х =0 | : cos 2 х ≠ 0

2 tg 2 x — 3 tg x — 5 = 0

2 t 2 – 3 t – 5 =0

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = — π /2 + πk , k Z .

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn , n Z .

Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений

опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

возводим в четную степень.

умножаем на g (х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Решим уравнеие:

Поделив уравнение на , получим , ,

При решении этой задачи обе части уравнения были поделены на

Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если , то из уравнения следует, что . Однако и не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны

равенством . Следовательно, при делении

уравнения , где , , на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.

Еще формулы для решения уравнений: Формулы понижения степени:

4. Решите уравнения:

1.) Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

2.) Решите уравнение .

3.) Решите уравнение

5. Домашнее задание:

а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

6. Итог урока. Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

Что нового узнали на уроке?

Испытывали ли вы затруднения при решении уравнений?

Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?