Решение уравнения sin x — cos x = 1. Урок-семинар
Разделы: Математика
Цели урока:
Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.
Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.
Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.
Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.
Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.
- Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
- Разложение левой части уравнения на множители.
- Введение вспомогательного угла.
- Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
- Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
- Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
- Графическое решения уравнения.
Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-4 человека) в зависимости от общего количества учащихся и их индивидуальных способностей и желания. Самостоятельно определяют для себя тему для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.
Организационный момент.
Тема урока:
“Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x — cos x = 1
Форма проведения: урок – семинар.
Эпиграф к уроку:
“Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательными и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы”
Задачи урока:
а) рассмотреть возможность решения одного и того же уравнения различными способами;
б) познакомиться с различными общими приемами решения тригонометрических уравнений;
в) изучение нового материала (введение вспомогательного угла, универсальная подстановка).
План семинара
- Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
- Разложение левой части уравнения на множители.
- Введение вспомогательного угла.
- Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
- Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
- Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
- Графическое решения уравнения.
Содержание.
1. Слово предоставляется первому участнику.
Приведение уравнения sin x — cos x = 1 к однородному относительно синуса и косинуса.
Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей, используя основное тригонометрическое тождество:
2 sin cos — cos + sin = sin + cos ;
2 sin cos — cos =0 ;
cos = 0;
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, поэтому следует
cos =0 ; =
= 0 — однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos . (cos 0, так как если cos = 0 , то sin — 0 = 0 sin = 0, а это противоречит тригонометрическому тождеству sin + cos = 1).
Получим tg -1 = 0 ; tg = 1 ; =
Ответ:
2. Слово предоставляется второму участнику.
Разложение левой части уравнения sin x — cos x = 1 на множители.
sin x – (1+ cos x ) = 1; используем формулы 1+ cos x = 2 , получим ;
далее аналогично:
произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, поэтому следует
cos =0 ; =
= 0 — однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos . (cos 0, так как если cos = 0 , то sin — 0 = 0 sin = 0, а это противоречит тригонометрическому тождеству sin + cos = 1)
Получим tg -1 = 0 ; tg = 1 ; =
Ответ:
3. Слово предоставляется третьему участнику.
Решение уравнения sin x — cos x = 1 введением вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение sin x — cos x = 1. Умножим и разделим каждое слагаемое левой части
уравнения на . Получим и вынесем в левой части уравнения за скобку. Получим ; Разделим обе части уравнения на и используем табличные значения тригонометрических функций. Получим ; Применим формулу синус разности.
;
Легко установить(с помощью тригонометрического круга), что полученное решение распадается на два случая:
;
Ответ:
4. Слово предоставляется четвертому участнику.
Решение уравнения sin x — cos x = 1 способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
Запишем уравнение в виде , используя формулу приведения . Применяя формулу разности двух синусов, получим
;
и так далее, аналогично предыдущему способу.
Ответ:
5. Слово предоставляется пятому участнику.
Решение уравнения sin x — cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций.
Рассмотрим основное тригонометрическое тождество , откуда следует
подставим полученное выражение в данное уравнение.
sin x — cos x = 1 ,
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним ее.
Полученные решения эквивалентны объединению трех решений:
Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Остается проверить третье решение Подставим.
Левая часть:
Получили: , следовательно, – постороннее решение.
Ответ:
6. Слово предоставляется шестому участнику.
Возведение обеих частей уравнения sin x — cos x = 1 в квадрат.
Рассмотрим уравнение sin x — cos x = 1. Возведем обе части данного уравнения в квадрат.
;
;
Используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла, получим ; sin 2x = 0 ; .
Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:
(эти решения можно нанести на единичную окружность). Проверка показывает, что первое и четвертое решения — посторонние.
Ответ:
7. Слово предоставляется седьмому участнику.
Использование универсальной подстановки в решении уравнения sin x — cos x = 1. Выражение всех функций через tg x по формулам:
Запишем данное уравнение с учетом приведенных формул в виде .
,
получим
ОДЗ данного уравнения – все множество R. При переходе к из рассмотрения выпали значения, при которых не имеет смысла, т. е. или .
Следует проверить, не являются ли решениями данного уравнения. Подставим в левую и правую часть уравнения эти решения.
Левая часть: .
Получили 1=1. Значит, — решение данного уравнения.
Ответ:
8. Слово предоставляется восьмому участнику.
Рассмотрим графическое решение уравнения sin x — cos x = 1.
Запишем рассматриваемое уравнение в виде sin x = 1 + cos x.
Построим в системе координат Оxy графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.
y = sin x – график: синусоида.
y = cos x +1 – график: косинусоида y = cos x, смещенная на 1 вверх по оси Oy. Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.
Ответ:
Итог урока.
- Учащиеся научились решать тригонометрические уравнения вида , освоили новый материал.
- На примере одного уравнения рассмотрели несколько способов решения.
- Учащиеся были непосредственными участниками урока, была задействована обратная связь в системе ученик-учитель.
- Учащиеся получили навыки самостоятельной работы с дополнительной литратурой.
Список использованной литературы:
- Татарченкова С.С. Урок как педагогический феномен – Санкт-Петербург: Каро, 2005
- Выгодский Н.В. Справочник по элементарной математике.-М.: Наука, 1975.
- Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Книга для учащихся 10-11 класса – М.: Просвещение, 1996.
- Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России – М.: ОГИЗ, 1946.
- Депман И.Я. и др. За страницами учебника математики – М.: Просвещение, 1999.
- Дорофеев Г.В. и др. Математика: для поступающих в вузы – М.: Дрофа, 2000.
- Математика: Большой энциклопедический словарь. – М.: БСЭ, 1998.
- Мордкович А.Г. и др. Справочник школьника по математике. 10-11кл. Алгебра и начала анализа. – М.: Аквариум, 1997.
- 300 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 2000.
- 3600 задач по алгебре и началам анализа. – М.: Дрофа, 1999.
- Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник. – М.: Дрофа, 1999.
- Торосян В.Г. История образования и педагогической мысли: учеб. для студентов вузов. — М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2006.- 351 с.
- Крылова Н.Б. Педагогическая, психологическая и нравственная поддержка как пространство личностных изменений ребёнка и взрослого.// Классный руководитель.- 2000.- №3. –С.92-103.
Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1
Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:
Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ. Именно поэтому так важна данная тема.
Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.
Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.
Уравнения и
Напомним, что — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу , а — её ордината.
Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения и имеют решения только при условии .
Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или решений не имеют!
Начнём с самых простых уравнений.
. .
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).
Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:
Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что — это множество целых чисел.
Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой :
Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:
. .
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой :
И записываем ответ:
Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂
Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:
Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение. Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .
На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:
Эти точки соответствуют углам Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,
Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.
Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:
Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — прибавлением целого числа углов (полуоборотов):
Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .
Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ). Начинаем с косинуса.
Имеем вертикальную пару точек с абсциссой :
Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):
Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:
Обе серии решений можно описать одной формулой:
Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.
Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.
Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :
Углы, отвечающие правой точке:
Углы, отвечающие левой точке:
Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:
Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:
На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она дает обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных . Если , то
Мы получили первую серию решений . А если — нечетно, , то
Это вторая серия .
Обратим внимание, что в качестве множителя при обычно ставится правая точка, в данном случае .
Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.
На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.
Линия тангенсов.
Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).
Из подобия треугольников и имеем:
Мы рассмотрели случай, когда находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.
Тангенс угла равен ординате точки , которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой , соединяющей точку с началом координат.
Вот рисунок в случае, когда находится во второй четверти. Тангенс угла отрицателен.
Уравнение
Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение имеет решения при любом .
.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:
Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:
Имеем диаметральную пару:
Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:
Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.
На этом заканчиваем пока и с тангенсом.
Уравнение нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
уравнение равносильно уравнению ;
при уравнение равносильно уравнению .
Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂
Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.
А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.
Как решить тригонометрическое уравнение из одних косинусов
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод.
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению.
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
5. Введение вспомогательного угла.
где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
6. Преобразование произведения в сумму.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
http://ege-study.ru/prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya-chast-1/
http://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij