Как решить уравнение аналитическим методом

Аналитический способ решения квадратных уравнени с параметром

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конкурс на лучшую методическую разработку руководящих и

педагогических работников образовательных организаций, подведомственных

Управлению образованием Асбестовского городского округа,

в 2018-2019 учебном году

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

Асбестовского городского округа

Технологическая карта конструкта урока по реализации ФГОС.

Тема работы: Аналитический способ решения квадратных уравнений с параметром.

Форма представления в очном этапе: мастер-класс.

Санникова Ксения Николаевна

I квалификационная категория

Асбестовский городской округ

2018-2019 учебный год

План проведения мероприятия_________________________________________________6-14

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом не освещается в рамках школьного курса математики. О бучающиеся начинают знакомство с параметром с 7 класса, а именно при изучении линейных уравнений вида ax = b , далее 8 классе при изучении квадратных уравнений ax 2 + bx + c =0 , при решении тригонометрических уравнений в 10 классе и т.д. Также в школьных учебниках по математике в последнее время всё чаще стали появляться уравнения, неравенства и системы, содержащие параметр. К тому же подобные задачи включены в ОГЭ и ЕГЭ, а анализ предыдущих результатов показывает, что школьники с большим трудом решают задания с параметром, а многие даже не приступают к ним, либо приводят громоздкие и не верные вычисления.

Поэтому, считаю, что задачам с параметрами следовало бы уделять больше внимания. Они представляют математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков, требуют от учащихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива.

Цель урока (образовательные, развивающие, воспитательные): познакомить учащихся с аналитическим способом решения квадратных уравнений с параметром, вывести алгоритм решения квадратных уравнений с параметром аналитическим способом, развитие умения решать задачи данного типа, воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям.

Знать алгоритм решения квадратных уравнений с параметром аналитическим способом;

Уметь решать задачи данного типа;

Личностные: находчивость, активность при решении математических задач; способность к эмоциональному восприятию;
УУД, которые актуализируют/приобретут/закрепят обучающиеся в ходе урока/занятия/ мероприятия:

Личностные УУД: мотивация к обучению и целенаправленной познавательной деятельности;

Регулятивные УУД: Целеполагание; планирование;

Коммуникативные УУД: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;

Познавательные УУД: самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.

Возраст участников: 8 класс.

Условия проведения мероприятия: специальных условий не требуется.

Место: учебный кабинет.

Перечень оборудования и медиа-ресурсов: интерактивная доска, проектор, ноутбук.

Оформление: тема урока напечатанная на листе А4.

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.
консультация по алгебре (11 класс) на тему

В работа рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.

В работе рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами. Данная тема необходима учащимся для первичного ознакомления с методами решения уравнений с параметрами, которая является опорным пунктом подготовки к ЕГЭ (решение заданий части «С5»).

1. Понятие уравнений с параметрами.
2. Различные виды и методы решений линейных уравнений с параметрами.
3. Задания для самостоятельной работы.

Рассмотрим уравнения, в которых некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами. Такие уравнения называются уравнениями с параметрами, а буквы – параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения.

Решить уравнение с параметрами – значит, найти множество всех корней данного уравнения в зависимости от допустимого значения параметра. (Т.е. указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они, затем исследовать его относительно параметра)

Алгоритм решения уравнений с параметрами примерно таков:

• Разбить область изменения параметра на промежутки, где при изменении параметра в каждом из них полученные уравнения решаются одним и тем же методом.(Границами промежутков служат те значения параметра, в которых, или при переходе через которые, происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра называют «особыми» или контрольными).
• Отдельно на каждом промежутке находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра.
• Ответ уравнения состоит из списков изменения параметра с указанием всех корней для каждого промежутка (или конкретных значений параметра).

Основные методы решения уравнений с параметрами.

1. Решение простейших линейных уравнений с параметрами.

Исследуем линейное уравнение вида: ax =b (1)

1. а 0, b R, то уравнение (1) имеет единственный корень х= .
2. а=0, b=0, уравнение (1) имеет корнем любое действительное число, т.е. х R.
3. а 0, 0, уравнение (1) не имеет корней.

Пример №1: ax = 5; при a=0 имеем 0х=5, чего не может быть,

тогда х , при а 0 х= .

Пример №2: 0х=а; при а=0 получим 0х=0 х R, при а 0 х .

Пример №3 : Iхl=а, при а=0 х=0; при а>0 х= а, при а х .

Приведем уравнение к виду: х(а-1)=6;

если а=1, то 0х=6, нет решений;

Ответ: при а 1 х = ; при а=1 нет решений.

1. Более сложные линейные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением на ОДЗ.

Алгоритм решения таких уравнений:

1. Найти ОДЗ.
2. Решить уравнение относительно х.
3. Определить контрольные значения параметра (к.з.п.)
4. Проверить, нет ли таких значений параметра, при которых значение х было бы равно числу, не входящему в ОДЗ.

1. ОДЗ: х 2
2. К.з.п. а=0.
3. Решим уравнение относительно х:

• При а=0 уравнение имеет вид =3. Уравнение корней не имеет.
• При а 0 уравнение имеет вид а=3(х-2), отсюда х=

1. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых х=2, т.е. решим уравнение: =2, а=0 ( т.е. приа=0 нет решений)

Ответ: при а 0 х= ; при а=0 нет решений.

2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на а 0: 2(а-1)х=(х-1)а +5;

2ах -2х – ах = 5 – а;

1. К.з.п. а = 2, т.к. коэффициент при х обращается в 0 при а=2

• Если а=2, то 0х=3, нет решений;
• Если а 2, то х = .

Ответ: при а=2 нет решений; при а 2 и при а 0 х = ; при а=0 уравнение не имеет смысла.

Примечание. Если при каком-нибудь значении параметра а=а 0 данное уравнение не имеет смысла, то нет и решений при а=а 0. Обратное утверждение не верно. Бывает, что при контрольном значении параметра уравнение имеет корни, но они не входят в ОДЗ.

3.Уравнения, сводящиеся к линейным

Пример №1 Решить уравнение: m = +

1. ОДЗ: т 0, х 1.
2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на т(х-1) 0, получим т 2 (х-1) = х – 1 + т – 1;

Х( т 2 – 1) = т 2 + т – 2;

1. К.з.п. т= 1

• Если т=1, то 0х=0, следовательно, х-любое действительное число, где х 1.
• Если т=-1, то 0х=-2, нет решений.
• Если т 1 и т то х= .
• Если т = 0, то нет решений.

1. Проверим, нет ли значений параметра а, при которых найденное значение х равно 1:

= 1, т+2=т+1, 0т=1, нет решений.

Ответ: при т=0 и т=-1 нет решений; при т=1 х (-∞;1) (1;+∞); при т 1 и

Пример №2 Решить уравнение: = .

2)Решим уравнение относительно х: (a+b)х = a – b.

3) К.з.п.: a+b = 0, a = -b.

• Если a = -b, то нет решений.
• Если a -b, то х = .

1. Найдем значения параметров а и b, при которых полученное значение х=1:

1 = , 2b = 0, b = 0. Следовательно, при b = 0 нет решений.

Ответ: при a -b и b 0 х = ; при a = -b и b=0 нет решений.

Пример №3 (МГУ, 2002) При каких значениях параметра b уравнение

9х+ b 2 – (2 — )b — 2 = b 4 х – b 2 (b + ) не имеет корней?

1. ОДЗ: х .
2. Решим уравнение относительно х:

(b 4 – 9)х = b 3 + (1+ ) b 2 – (2 — )b -2 ,

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда

Первое уравнение системы имеет два корня: b 1 = , b 2 = — .

1. Подставим во второе уравнение системы b 1 = , получим: 2 +6 ;

b 2 = — , получим 0=0. Т.е. второму условию удовлетворяет b 1 = .

Ответ: при b= уравнение корней не имеет.

Решить самостоятельно уравнения

1) (а+5)(а-3)х=а 2 — 25 ( при а и а х= ; при а=3 ; при а=-5 х ∊ R)

2) а 2 х = а(х+2) – 2 ( при а и а х= ; при а=0 ∅ ; при а=1 х ∊ R)

3) = — ( при а=-3, а=-2, а=1/2 ∅ ; при а и а х= )

4)1+ = — ( при а и а х= ; при а=-3, а=0, а=1 ∅ )

5) Для каких значений а решение уравнения 10х-15а = 13- 5ах = 2а больше 2? (МГУ, 1982)

• Г.А. Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М. Просвещение.1972.
• А.Г. Корянов. Задачи с параметрами. Брянск.2010.
• М.А. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Углубленное изучение математики. М. Просвещение. 1992.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая программа элективного курса по математике 10 класс «Методы решения задач с параметром».

Предлагаемый курс «Методы решения задач с параметром» предназначен для реализации в 10 классах для расширения теоретичес.

Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами

Решение задач с параметрами систематизирует знание основных разделов школьной математики, повышает уровень математического и логического мышления, формирует первоначальные навыки исследовательской дея.

Аналитические методы решения задач с параметрами Составитель: Е.М .Чернова МКОУ КГ№ 1

Одними из наиболее сложных задач для учащихся в курсе математики — это задачи с параметрами, так как требуют от них умения рассуждать логически и анализировать полученные решения. С одной сторон.

Графические методы решения уравнений с параметрами

урок в 11 классе.

Применение различных способов и методов решения задач с параметрами

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, ч.

Основные методы решения задач с параметрами

В действующем формате ЕГЭ по математике (профильный уровень) задания №18 содержат параметры и предполагают исследование свойств различных элементарных функций. Поэтому подготовку к и.

Аналитический способ решения задач с параметром.

Данный материал предназначен для обучающихся 10-11 классов и содержит задания для подготовки к ЕГЭ по теме «Задание №18. Решение задач с параметром». Он направлен на совершенствование умений.

Аналитические методы решения уравнений в частных производных

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К курсовой работе по дисциплине

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

Рецензент – доцент В.В. Луценко

Составитель Бондаренко А.И.

Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Численные методы»/ Сост. А.И. Бондаренко; Шахтинский ин-т (филиал) ЮРГТУ (НПИ). – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2008. — 12 с.

Методические указания содержат теоретический материал, примеры выполнения и требования к оформлению курсовой работы по дисциплине «Численные методы».

Предназначены для студентов второго курса специальностей 230201«Информационные системы и технологии» и 0808001 «Прикладная информатика».

© Шахтинский институт ЮРГТУ, 2008

© Бондаренко А.И., 2008

ВВЕДЕНИЕ

Изучение различных процессов требует наряду с глубоким пониманием физики происходящих явлений совершенного владения современными методами вычислительной математики.

Обычно математическая модель записывается в форме как угодно сложных математических структур и, как правило, получить аналитическое решение такой задачи не удаётся. Приходится использовать численные методы вычислительной математики, реализация которых на ЭВМ требует соответствующего программного обеспечения. Результаты моделирования объекта на ЭВМ позволяют “проиграть” его поведение в самых разных, под­час экстремальных условиях. Значение такого вычислительного экспери­мента трудно переоценить, особенно если натурный эксперимент опасен, дорог или просто невозможен.

Большинство физических процессов можно сформулировать на языке дифференциальных уравнений с частными производными. Производные в этих уравнениях описывают важнейшие физические величины: скорость, ускорение, силу, температуру, трение, ток, потенциал и т.д.). Многие из таких уравнений не имеют аналитического решения и, чтобы их решить, приходится прибегать к численным методам.

В курсовой работе рассматривается одно из самых важных уравнений математической физики — уравнение Лапласа на примере решения задачи Дирихле в заданной плоской области. Отсутствие аналитического решения поставленной задачи требует выбора численного метода и его реализации на ЭВМ.

Курсовая работа является завершающим этапом изучения курса “Численные методы”. Цель курсовой работы:

· систематизация, закрепление и расширение теоретических и практических знаний по компьютерному моделированию типовых вычислительных алгоритмов и анализа полученной информации;

· выявление степени подготовленности студентов к самостоятельной работе в ходе решения поставленных задач.

Аналитические методы решения уравнений в частных производных

Существует целый арсенал методов для решения уравнений в частных производных. Перечислим некоторые аналитические методы решения таких уравнений.

Метод разделения переменных. Уравнение с частными производными с n независимыми переменными сводится к n обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено методом разделения переменных (методом Фурье) лишь для простейших областей (круг, прямоугольник, шар цилиндр и др.).

Метод преобразования координат. Исходное уравнение с частными производными сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению или к другому, более простому уравнению с частными производными с помощью соответствующего преобразования координат (например, поворота координатных осей и т.п.).

Введение новых переменных. Исходное уравнение с частными производными преобразуется к такому уравнению с частными производными для другой неизвестной функции, которое решается легче, чем исходное.

Метод интегральных уравнений. Уравнение с частными производными сводится к интегральному уравнению (уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла).

Вариационные методы. Вместо уравнения с частными производными решается некоторая задача минимизации. Оказывается, что функция, доставляющая минимум некоторому выражению, является решением исходного уравнения.

Метод разложения по собственным функциям. Эти собственные функции находятся как решения так называемой задачи на собственные значения, которые соответствуют исходной задаче для уравнения с частными производными.

Метод функций Грина. Начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается для каждого простейшего источника. Полное решение исходной задачи получается в результате суммирования решений для элементарных источников.