Как решить уравнение cos4x sin2x 0

Задание 13. Математика ЕГЭ. Решите уравнение cos4x – sin2x = 0

Задание.

а) Решите уравнение cos4x – sin2x = 0.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [0; π].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения: R

Преобразуем уравнение, воспользуемся формулой двойного аргумента, cos4x = 1 – 2sin 2 2x, получим

1 – 2sin 2 2x – sin2x = 0.

2sin 2 2x + sin2x – 1 = 0.

Введем новую переменную, пусть sin2x = a, тогда

Вернемся к первоначальной переменной, получим два уравнения

sin2x = — 1 и sin2x = 1/2

Решим 1 уравнение:

Решим 2 уравнение:

Эти корни можно объединить в один, корни повторяются через π/3, тогда

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [0; π].

Выберем корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; π]:

Как решить уравнение cos4x sin2x 0

Пример 1.

а) Решить уравнение cos4x+cos2x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/3].

а) Решаем уравнение cos4x+cos2x=0.

Применим формулу

Tогда данное уравнение примет вид: 2cos3x⋅cosx=0. Отсюда следует, что либо cos3x=0 либо cosx=0.

• Если cos3x=0, то 3х=π/2+πn, отсюда х=π/6+πn/3, где nϵZ.
• Если cosx=0, то х=π/2+πn, где nϵZ.

Заметим, что решения уравнения cosx=0 входят в решения уравнения cos3x=0, поэтому общим решением данного уравнения будут числа x=π/6+πn/3, где nϵZ.

б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/3].

Рассмотрим общее решение x=π/6+πn/3, где nϵZ на единичной окружности. Здесь значение πn/3 означает, что нужно брать n раз угол π/3. Отмечаем угол π/6, а затем углы, полученные поворотом угла π/6 на π/3, полученный таким образом угол π/2 опять повернём на π/3, получится угол 5π/6, затем угол 5π/6+ π/3=7π/6, следующий угол

7π/6+ π/3=9π/6=3π/2, и, наконец, 3π/2+ π/3=11π/6. Смотрите рисунок 1.

Все отмеченные углы рассмотрим на отрезке [-π; π/3]. Смотрим рисунок 2. Получились числа -5π/6; -π/2; -π/6; π/6.

Ответ: а) π/6+πn/3, где nϵZ; б) -5π/6; -π/2; -π/6; π/6.

Пример 2.

а) Решить уравнение cos4x-sin2x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π].

а) Применим формулу 1-cos2α=2sin 2 α ; тогда данное уравнение примет вид:

1-2sin 2 2x-sin2x=0; 2sin 2 2x+sin2x-1=0. Сделаем замену: sin2x=t.

Получаем равенство: 2t 2 +t-1=0.

У нас a-b+c=0, поэтому по методу коэффициентов t₁=-1, t₂=1/2.

• При sin2x=-1 получаем 2х=-π/2+2πn, отсюда х=-π/4+πn, где nϵZ.
• При sin2x=1/2 получаем 2х=π/6+2πn и 2х=5π/6+2πn, где nϵZ.

Тогда х=π/12+πn и х=5π/12+πn, где nϵZ.

Рассмотрим решения 2х=-π/2+2πn, 2х=π/6+2πn и 2х=5π/6+2πn на единичной окружности. Возьмём значения 2х при n=0. Углы -π/2, π/6 и 5π/6 отличаются друг от друга на значение 2π/3. Тогда общим решением будут являться числа

2х=π/6+(2π/3)n, отсюда общим решением данного уравнения будут

значения х=π/12+(π/3)n, где nϵZ.

б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π]. Для этого в общее решение х=π/12+(π/3)n, где nϵZ будем подставлять такие целые значения nϵZ,

Возьмём n=0, тогда х=π/12 ϵ[0; π].

При n=1 получим х= π/12+π/3= π/12+4π/12=5π/12 ϵ[0; π].

При n=2 получим х= π/12+2π/3= π/12+8π/12=9π/12=3π/4 ϵ[0; π].

При n=3 получим х= π/12+π, и это значение не входит в заданный отрезок [0; π].

Ответ: а) π/12+(π/3)n, где nϵZ; б) π/12, 5π/12, 3π/4.

Пример 3.

а) Решить уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π/2].

а) Применим формулу cos(α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ ; тогда данное уравнение примет вид:

cos3x=cos 2 3x; cos 2 3x-cos3x=0; cos3x(cos3x-1)=0;

cos3x=0 или cos3x-1=0.

• Если cos3x=0, то 3х=π/2+πn, тогда х= π/6+(π/3)n, где nϵZ.
• Если cos3x-1=0, то cos3x=1, тогда 3х=2πm, тогда х=(2π/3)m, где mϵZ.

Общие решения данного уравнения: х=π/6+(π/3)n, где nϵZ и х=(2π/3)m, где mϵZ.

б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π/2].

Мы получили значения 3х=π/2+πn и 3х=2πm. Отметим их на единичной окружности, сделав замену 3х=t. Смотрите рисунок 3.

Необходимо выполнение условие хϵ[π; 3π/2]. Отсюда следует, что 3хϵ[3π; 9π/2].

Все отмеченные углы рассмотрим на отрезке [3π; 9π/2]. Смотрим рисунок 4. Получились числа 7π/2; 4π; 9π/2. Так как это значения 3х, то делим каждое из них на 3. Получим: 7π/6; 4π/3; 3π/2.

Ответ: а) π/6+(π/3)n, где nϵZ; (2π/3)m, где mϵZ.

Решение тригонометрических уравнений онлайн

В общем виде, тригонометрическое уравнение можно записать следующим образом:

f ( trig ( x ) ) = 0

где — некоторая произвольная функция, trig ( x ) — некоторая тригонометрическая функция.

Как правило, метод решения тригонометрических уравнений заключается в преобразовании исходного уравнения к более простому, решение которого известно. Преобразования осуществляются при помощи различных тригонометрических формул.

Например, рассмотрим решение тригонометрического уравнения:

Используя формулу косинуса двойного угла, преобразуем данное уравнение:

Полученное уравнение является простейшим и легко решается. Наш онлайн калькулятор, построенный на системе Wolfram Alpha способен решить более сложные тригонометрические уравнения с описанием подробного хода решения.