Как решить уравнение десятичные дроби 6 класс

Уравнения с десятичными дробями

Линейные уравнения с десятичными дробями можно решать так же, как и остальные линейные уравнения.

Однако, удобнее сначала уравнение упростить, избавившись от десятичных дробей.

Для начала рассмотрим оба способа решения и сравним их.

Раскрываем скобки. Так как перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках:

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Чтобы перевести десятичные дроби в целые числа, умножим обе части уравнения почленно на 10:

(При умножении произведения 2,4(6-3х) на 10 применяем сочетательное свойство умножения, то есть на 10 мы умножим только первый множитель, 2,4).

Получили линейное уравнение, которое не содержит десятичных дробей. Решаем его:

На мой взгляд, линейные уравнения с десятичными дробями удобнее решать, переводя их в уравнения с целыми числами.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, обе части уравнения умножаем на 10. При этом в произведении 5(0,1х-0,5) на 10 умножаем второй множитель, то есть выражение в скобках, а в произведении 0,4(х-3) — первый, то есть 0,4:

Далее — решаем обычное линейное уравнение:

Обе части уравнения умножаем на 100. При этом в произведении 1,2(2,3х-3,1), надо первый множитель 1,2 умножить на 10 и второй множитель (2,3х-3,1) умножить на 10:

Десятичные дроби

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие десятичной дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

• 0,600 = 0,6
• 21,10200000 = 21,102

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.

Обучение на курсах по математике — отличный способ закрепить полученные знания на практике и подтянуть сложные темы.

Как записать десятичную дробь

Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.

Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.

1. Знаменатель равен 10 — это один ноль.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части один знак и ставим запятую.
3. В полученной десятичной дроби цифра 1 — целая часть, цифра 6 — дробная часть.

Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.

1. Знаменатель равен 1000 — это три нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Так как в числителе только две цифры, то на пустующие места пишем нули.
4. В полученной десятичной дроби цифра 0 — целая часть, 037 — дробная часть.

Ответ: 37/1000 = 0,037.

Как читать десятичную дробь

Чтобы учитель вас правильно понял, важно читать десятичные дроби грамотно. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целых», а потом дробную с обозначением разряда — он зависит от количества цифр после запятой:

Сохраняй наглядную картинку, чтобы быстрее запомнить.

Преобразование десятичных дробей

Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:

0,15 = 0,15 · 100% = 15%.

Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%

8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.

Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).

Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

1. Читаем вслух: пять целых четыре десятых. «Четыре десятых» подсказывают, что в числителе будет 4, а в знаменателе — 10. В смешанном виде эта дробь выглядит так: 5 4/10.
2. А теперь сократим числитель и знаменатель на два (потому что можно) и получим: 5 2/5.

Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.

1. Читаем вслух: четыре целых пять тысячных. Значит 5 — идет в числитель, а 1000 — в знаменатель. В смешанном виде получается так: 4 5/1000. После сокращения: 4 1/200.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.

1. Читаем вслух: пять целых шестьдесят сотых. Отправляем 60 в числитель, а 100 — в знаменатель. В смешанном виде дробь такая: 5 60/100.
2. Сократим дробную часть на 10 и получим 5 6/10. Или можно вспомнить про свойство десятичной дроби и просто отбросить нули в числителе и знаменателе.

Ответ: 5,60 = 5 6/10.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:

1. Перепишем исходную дробь в новый вид: в числитель поставим исходную десятичную дробь, а в знаменатель — единицу. Например:
   • 0,35 = 0,35/1
   • 2,34 = 2,34/1
2. Умножим числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а у знаменателя соответственно добавляются нули. На примере легче:
   • 0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
   • 2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
3. А теперь сокращаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им числа:
   • 0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, еще раз делим на 2, получаем итоговый ответ 3/10.
   • 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

1. Разделить целую часть десятичной дроби на это число.
2. Поставить запятую в частном и продолжить вычисление, как при обычном делении.

Пример 1. Разделить 4,8 на 2.

1. Записать деление уголком.
2. Разделить целую часть на два. Записать полученный результат в частное и поставить запятую.
3. Умножить частное на делитель, записать, посмотреть на остаток от деления. Но мы еще не закончили, поэтому остаток «ноль» не записываем. Сносим 8 и делим её на 2.
4. Делим еще раз. Записываем полученную 4 в частном и умножаем её на делитель:

Ответ: 4,8 : 2 = 2,4.

Пример 2. Разделить 183,06 на 45.

1. Записать деление уголком.
2. Разделить целую часть 183 на 45. Записать результат, поставить запятую в частном.
3. Записать результат разницы 183 и 180. Снести 0. Записать 0 в частное, чтобы снести 6.
4. Записать результат разницы 306 и 270. 36 не делится на 45, поэтому добавляем ноль и производим разницу.

Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

1. Записать 0,25 в виде обыкновенной дроби: 0,25 = 25/100.
2. Разделить дробь по правилам:

Ответ: 0,25 : 3/4 = 1/3.

Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.

1. Записать 2,55 в виде обыкновенной дроби: 2,55 = 255/1000.
2. Записать 1 1/3 в виде обыкновенной дроби: 1 1/3 = 4/3.
3. Разделить дробь по правилам:

Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

1. Записать 0,8 в виде обыкновенной дроби: 0,8 = 8/10.
2. Умножаем по правилам: 2/5 ∗ 8/10 = 2/5 ∗ 4/5 = 8/25 = 0,32.

Ответ: 2/5 ∗ 0,8 = 0,32.

Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.

1. Записать 6 1/4 в виде десятичной дроби: 6 1/4 = 6,25.
2. Умножаем по правилам: 0,28 ∗ 6,25 = 0,8.

Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.

Разработка урока математики по теме «Решение уравнений с десятичными дробями»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Изучаемая тема: Действия над десятичными дробями

Тема урока: Решение уравнений, содержащих десятичные дроби.

Цели урока: 1) повторение и систематизация правил выполнения действий над десятичными дробями и правил нахождения неизвестных компонент арифметических действий;

2) развитие творческого мышления,

умения рассуждать, анализировать;

развитие культуры математической

речи, навыков общения и говорения;

4) овладение навыками сбережения своего физического и психического здоровья.

Тип урока: урок отработки умений и навыков

Используемая Развивающего обучения

Итак, ребята, встали, показали готовность к уроку: у вас на парте лежит все необходимое для работы. Садитесь!

Сядьте удобно, закройте глаза, сделайте три глубоких вдоха. Подумайте о том, что у каждого из вас есть прекрасная возможность добиться успеха. Предлагаю вам вдуматься в слова немецкого писателя и ученого Георга Лихтенберга (записаны на доске) : «Слово трудность не должно существовать для творческого ума!»

Откройте глаза и скажите: каким вы хотите видеть сегодняшний урок? ( ответы детей: интересным, увлекательным, легким и т. д.) Я согласна с вами и желаю, чтобы урок получился творческим.

Десятичные дроби, с которыми мы работали последнее время, сегодня являются героями уравнений. Поэтому наш урок называется: “ Решение уравнений, содержащих десятичные дроби ” (дети читают на доске)

Какие же знания нам понадобятся на уроке? Мы должны знать (дети читают на доске) :

что такое уравнение;

что значит решить уравнение;

правила нахождения неизвестных компонент арифметических действий ( ученикам предлагается конкретизировать этот вопрос);

правила выполнения арифметических действий над десятичными

дробями ( ученикам предлагается ответить, о каких действиях идет речь).

Таким образом, сегодня нам понадобятся знания по темам «Уравнение» и «Десятичные дроби» ( на табло появляются названия этих двух тем ).

III . Актуализация теоретических знаний.

Проверим знание правил нахождения неизвестных компонент .

1 ученик с использованием данного набора карточек на наборном полотне составляет указанные правила .

Решение уравнений не будет успешным, если мы будем ошибаться при вычислениях. На этой части доски вы видите три уже решенных примера. Верно ли они решены?

2ой ученик работает у доски .

Помните, ребята, на прошлых уроках мы выполняли задания, позволяющие нам получить дополнительные сведения из истории математики. Так, мы узнали о математике, у которого способности раскрылись в возрасте трех лет. Это… (дети называют имя Гаусса) . Знакомо нам имя математика с очень трудной судьбой: он ослеп будучи еще ребенком. Это … (дети называют имя Потрягина) . Сегодня мы знаем и решаем уравнения благодаря …. ( учащимся знакомо имя Диофанта ).
А вот кто придумал десятичные дроби? Найти ответ на этот вопрос поможет нам пример ( запись на доске ):

Варианты ответа : 209,42 – Архимед; 13,7 – аль- Коши;

Выполнять эту задачу доверим “пятерке”: …. (называются имена учеников). Успехов вам! А мы ждем результат.

Для остальных в это время вычислительная разминка :

56 + 27 29 3 76 : 4 7,5 – 5

80 – 54 18 6 65 : 5 1,1 0,4

По окончании разминки проверяется работа 1-ого ученика по составлению правил нахождения неизвестных компонент.

Его результат (в случае ошибок исправленный) помещается в “конспект” урока.

Работа над ошибками второго ученика проверяется с помощью набора карточек с вариантами ответов, на обороте которых + или – (верно или неверно).

Спросим сейчас у нашей отважной “пятерки”, кто придумал десятичные дроби? ( ответ )

Итак, благодаря Диофанту и аль-Коши возможен наш урок. (на табло рядом со словами “уравнение”, “десятичные дроби” появляются “Диофант”, “ аль-Коши”).

верно – руки вперед, пошевелить пальцами;

неверно – наклоны головы вправо-влево.

36 + 16 = 52 ; 3 0 = 0; 44 + 0 = 44;

27 – 8 = 21; 15 : 15 = 0; 9 6 = 63.

Упражнение для глаз:

Крепко зажурить глаза на 3 секунды. Повторить 6 раз. Далее 4 раза движение глаз по кругу в одну и другую сторону.

В течение 20 секунд поморгать веками, а затем закрыть глаза.

Упражение на концентрацию внимания внимания: смотреть на точку, расположенную на доске в течение 30 секунд.

Y . Практикум по решению уравнений.

Итак, все необходимое для решения уравнений повторили, вспомнили. Переходим к основной части — решению уравнений. Будем двигаться от простого к сложному.

Посмотрим на уравнение 2х = 4. Вы можете назвать его корень? ( заслушиваются различные мнения, ответ обосновывается)

2)Уравнение 2х = 1 . Его корень? Выскажите свое мнение, указав на правило, которое применили.

Таким образом, решение уравнения не должно происходить наугад, оно не должно быть формальным. Чтобы избежать ошибки, мы должны решать, рассуждая, опираясь на правила.

Вот знакомая нам схема рассуждений ( см. опорную схему “Решение уравнений на основе зависимости между компонентами арифметических действий”; помещается в “конспект” урока)

3) На примере уравнений покажем, как работает указанная схема рассуждений ( фронтальная работа ):

Сейчас предлагаю каждому испыпать свои силы и возможности в самостоятельном решении уравнений. Объявляю небольшой практикум. Пусть девизом станут слова: “Решил – покажи, не знаешь или сомневаешься – спроси”:

YI . Подведение итогов и рефлексия. Домашнее задание.

Сегодня каждый из вас ставил цель – попрактиковаться в решении уравнений с десятичными дробями, повторив для этого необходимые теоретические вопросы. Что же вы можете сказать по этому поводу? Как достигнута вами эта цель ? Довольны ли вы своей работой? (учащиеся по желанию высказывают своё мнение, ставят ближайшие цели) . Получился ли наш урок увлекательным, интересным, легким, каким вы хотели его видеть в начале? …

Я считаю, что наш урок получился творческим, он состоялся благодаря нашей совместной работе. Называю результаты

Оценивание за работу на уроке , домашнее задание.

Урок математики в 8 классе

Анализ ошибок контрольной работы по теме «Дробные рациональные уравнения». Числовые неравенства. (2 урока)

Образовательные.
Учащиеся должны знать:
1) алгоритм решения дробных рациональных уравнений;
2) определение сравнения чисел;
Учащиеся должны уметь:
1) решать дробные рациональные уравнения и с их помощью задачи;
2) применять определение сравнения чисел при решении задач.

Развивающие.
Способствовать формированию математической речи учащихся, развитию внимания, памяти, активизации мыслительных операций (анализ, сравнение, выделение главного, алгоритмизация).

Воспитательные.
Создать условия для воспитания чувства ответственности за выполняемую работу, дисциплинированности, умения слушать других и анализировать результаты собственной деятельности, для привития здоровьесберегающих навыков.

Мотивационный этап. Целеполагание.

Каким вы хотите видеть наш урок? (ответы учащихся). Я хочу, чтобы урок принес вам удовлетворение, радость приобретения новых знаний и радость избавления от неудач прошлых. Это значит, что нас сегодня ждет изучение нового материала и работа над ошибками прошлого урока.

Подтверждает ли тема урока сказанные мною слова? (учащиеся читают тему урока).

Давайте заглянем в «конспект» ( на обороте доски опорные схемы «Решение дробных рациональных уравнений», «Неполные квадратные уравнения», « Решение квадратных уравнений», «Числовые неравенства. Определение», «Числовые неравенства. Свойства» ). Что нового ? ( мнение учеников ).
Обратите внимание на центральную часть доски… ( учащиеся замечают, что их ждут новые примеры-образцы )

Где могут пригодиться новые знания. Зачем нужны уравнения? ( мнение учащихся )

Решение некоторых текстовых задач сводится к решению неравенств.

Итак, определили цели, план работы на предстоящих сегодня 2 урока.

Работа над ошибками контрольной работы.

Сегодня мы говорим о результатах прошедшей контрольной работы. Они вас устраивают? ( рефлексия результатов контрольной работы ). Я рада, что вы не хотите останавливаться на достигнутом.

1) Проговор вслух алгоритма решения дробных рациональных уравнений по опорной схеме.

Анализ типичных ошибок .

Согласны ли вы с предложенным фрагментом решения уравнения:

;

;

;

Укажите правильный вариант ответа в следующем примере

:

1) –20; 2) –7; 3) нет верного ответа.

Индивидуальная работа под контролем учителя . (10 мин)

( см. приложение, задания для индивидуальной работы)

У вас на парте лежит карточка с 5 заданиями, № 1, 2, 4 которой аналогичны заданиям контрольной работы. Сделайте выбор с учетом допущенных ошибок. Подсказка: ответы в № 1-4 записаны с помощью цифр от 1 до 8, которым соответствуют имена известных математиков. Таким образом, работа с предложенными заданиями поможет нам получить дополнительную информацию: кто был первооткрывателем уравнений?
1) Диофант 5) Пифагор

2) Аристотель 6) Архимед

Декарт 8) Аль-Хорезми

Работаем по принципу: «Реши – покажи, не знаешь – спроси. Не бойся ошибиться – бойся промолчать».

( По окончании работы – заслушивание результатов, самооценка работы, рефлексия )

На контрольной работе вам была предложена задача на движение. Неправильная и неграмотная работа с условием привела многих к неверному результату. Есть ли на доске фрагмент, показывающий как удобно работать с условием в задачах на движение?

Учащиеся указывают на макет таблицы и озвучивают название ее столбцов:

Предлагаю поработать в группах и выполнить следующее задание (см. приложение, задания для групповой работы).

( По окончании – заслушивание результатов, подведение итогов, рефлексия ).

Изучение нового материала.

Знакомо ли вам слово «неравенство»? С чем вы его ассоциируете? (учащиеся указывают на слово «сравнение» ). Действительно, в младших классах вам приходилось решать примеры на сравнение чисел. Помните ли вы изученные правила?

10070 * 1009
4,7971 * 5,1

*

В зависимости от конкретного вида чисел мы используем то или иное правило сравнения. Однако удобно иметь такой универсальный способ сравнения, который охватывает все случаи. Заглянем в «конспект урока».

( работа с определением сравнения чисел: учащимся предлагается озвучить математическую запись )

Зачем новый способ сравнения чисел, где он может быть применен?

а) Сравните .
б) Сравните .

. Верно ли?

Верно ли ?

Что нового узнали? Где могут пригодиться новые знания?