Как решить уравнение используя переход к натуральным числам

Реши уравнения, используя переход к натуральным числам?

Математика | 10 — 11 классы

Реши уравнения, используя переход к натуральным числам.

2 / 3в = 5 / 12 — 1 / 4

Решить уравнение 2x + 1 = y ^ 3 в в натуральных числах, где x — простое число?

Решить уравнение 2x + 1 = y ^ 3 в в натуральных числах, где x — простое число.

Вычисли , используя переход к натуральным числам?

Вычисли , используя переход к натуральным числам.

(там вычислительные дроби) 3 / 4 * 7 / 13 * 15 / 29 _____________ 1 / 4 * 10 / 13 * 21 / 29.

Запишите используя символы : число — 14 натуральное?

Запишите используя символы : число — 14 натуральное.

Решить в натуральных числах уравнение а ^ b + b ^ a = 2011?

Решить в натуральных числах уравнение а ^ b + b ^ a = 2011.

Как, используя цифру 5 пять раз, представить все натуральные числа от 0 до 10 включительно?

Как, используя цифру 5 пять раз, представить все натуральные числа от 0 до 10 включительно?

Используя числа 12, х и 9, составь различные уравнения и реши их?

Используя числа 12, х и 9, составь различные уравнения и реши их.

Решите уравнение в натуральных числах19m + 98n = 1998?

Решите уравнение в натуральных числах

X + y + z = xyz Решите уравнение в натуральных числах?

X + y + z = xyz Решите уравнение в натуральных числах.

Найди значение выражения, используя переход к натуральным числам?

Найди значение выражения, используя переход к натуральным числам.

Решить уравнение в натуральных числах 5x — 8y = 7?

Решить уравнение в натуральных числах 5x — 8y = 7.

На этой странице находится вопрос Реши уравнения, используя переход к натуральным числам?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

4x / 2 + 9x / 2 = — 5x — 15x 13x / 2 = — 20x 20x : 13x / 2 =.

450 + а = 570 + 430 450 + а = 1000 а = 1000 — 450 а = 550.

450 + а = 570 + 430 450 — 430 + a = 570 20 + a = 570 a = 570 — 20 a = 550.

3 * 4 — 3 Ответ 9 как то так.

T : 7 = 9 t = 9 * 7 t = 63 — — — — — — — — — 63 : 7 = 9 9 = 9 k * 8 = 72 k = 72 : 8 k = 9 — — — — — — — — — 9 * 8 = 72 72 = 72 56 : n = 8 n = 56 : 8 n = 7 — — — — — — — — — — 56 : 7 = 8 8 = 8.

T : 7 = 9 t = 9 * 7 t = 63 _______ 63 : 7 = 9 9 = 9 k * 8 = 72 k = 72 : 8 k = 9 _______ 9 * 8 = 72 72 = 72 56 : n = 8 n = 56 : 8 n = 7 _________ 56 : 7 = 8 8 = 8.

Сначала вычисляем 1 / 5 от 7 метров получаем 1, 4 М ; 1, 4÷7 = 0. 2 М или 20 см.

5м по 9кг Продал 3 м Осталось — 2 мешка 1)5 — 3 = 2м осталось 2 задача Было 5 м — по 8 кг Собрал — 30кг стало — 70кг 1)5 * 8 = 40 2)40 + 30 = 70 кг стало.

(35 — 32) / 60 + 4 / 5 * (16 — 20) / 80 = 3 / 60 — 4 / 5 * (4 / 80) = 1 / 20 — 4 / 5 * (1 / 20) = (1 / 20) * (1 — 4 / 5) = 1 / 20 * 1 / 5 = 1 / 100 (0. 01) (15 — 9) / 30 : (9 + 4) / 30 = 6 / 30 : 13 / 30 = 6 / 30 * 30 / 13 = 6 / 13.

0___. ___. ___. ___. ___. ___1 _1 1__1___2__5_ 6 3 2 3 6.

Конспект урока «Примеры вычислений с дробями» 5 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

План открытого урока в рамках недели молодого специалиста в МБОУ «Гимназия №3»

Учитель: Петренко Н. А.

Тема: «Примеры вычислений с дробями»

сформировать способность к нахождению значений «многоэтажных» дробей и выражений с дробями методом перехода к натуральным числам, использовать эти знания в решении уравнений; повторить и закрепить решение текстовых задач;

развивать логическое мышление учащихся, память, культуру речи;

воспитывать интерес к предмету, умение преодолевать трудности.

Оборудование: учебник, карточки с индивидуальными заданиями, мультимедийный проектор.

а) : ; б) : 15;

в) 2 : 1; г) 25 : 5

а) : ; б) : 12;

в) 7 : 2; г) 12 : 4

х + 3 х = 12 ;

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На прошлом уроке мы с вами познакомились с «многоэтажными» дробными выражениями. Как мы находили значения дробных выражений (выполняли « по действиям» или «цепочкой»).

Сегодня мы продолжим работать с дробными «многоэтажными » выражениями, узнаем еще один способ вычисления таких примеров и научимся применять его в решении уравнений. Но прежде, чем приступить к изучению новой темы рассмотрим несколько примеров для разминки. А пять человек выполнят маленькую самостоятельную работу, по желанию.

2. Актуализация знаний.

Посмотрите, пожалуйста, на знаменатели дробей и на натуральное число, на которое мы умножали сумму. Что вы замечаете? Числа 3 и 2- какими эти числа являются по отношению друг к другу? (взаимно простыми). Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел? (их произведению).

Чему равно наименьшее общее кратное чисел 3 и 2? чисел 16 и 4? чисел 3 и 4?

Вспомним, что наименьший общий знаменатель дробей, есть наименьшее общее кратное знаменателей.

3. Изучение новой темы.

– Верно ли утверждение, что значения всех данных выражений будут равны:

?

– Объясните свою точку зрения.

Здесь домножили и числитель, и знаменатель дроби на 6, обратите внимание, что здесь число 6 является общим знаменателем дробей. И сразу вопрос: какое правило нам позволяет это сделать? (основное свойство дроби). Затем применили распределительный закон умножения или, говоря простым языком, раскрыли скобки, применили алгоритм умножения дроби на натуральное число, нашли значение суммы и разности в числителе и знаменателе.

Это и есть новый способ вычисления «многоэтажных» дробей. Он называется способ перехода к натуральным числам .

Алгоритм нахождения значения дробного выражения, переходя к натуральным числам.

1. Если в числителе и знаменателе сумма или разность, то домножить числитель и знаменатель на НОК всех знаменателей.

2. Применить распределительное свойство умножения.

3. Выполнить действия в числителе и знаменателе.

4. Если необходимо упростить результат.

4. Закрепление изученного.

Пример под буквой в) мы сейчас разберем вместе, и уже потом вы попробуете вычислить примеры под буквой б), и г) самостоятельно и два человека пойдут к доске.

в) = =

б)

г)

Если “Да”, вы делаете наклоны вперед, руки на поясе. Если “Нет”, делаете повороты туловищем, руки за голову.

правильная дробь; (да)

несократимая дробь; (нет)

несократимая дробь; (да)

правильная дробь; (да)

правильная дробь; (нет)

Молодцы, отдохнули, теперь работаем дальше.

4. Закрепление изученного (продолжение).

Решим уравнения. Здесь мы будем пользоваться тем, что при умножении обеих частей уравнения, равенство не меняется. И так же, как и в предыдущем случае, нужно найти общий знаменатель дробей.

;

;

a = ;

a = 1

Ответ : a = 1

;

6  ;

Решим задачу.(если времени не останется, то устно)

Велосипедист проехал в первый час пути, во второй пути, а в третий час пути. Какую часть пути он проехал за 3 часа? Какую часть ему еще осталось проехать?

1) + + = = = (часть пути велосипедист проехал за 3 часа)

2) 1- = (часть велосипедисту еще осталось проехать)

Основные методы решения уравнений в целых числах

Введение

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень). В то же время в школьном курсе математики данная тема практически не рассматривается, поэтому школьники, участвуя в математических олимпиадах или сдавая профильный ЕГЭ по математике, обычно сталкиваются со значительными трудностями при выполнении подобного рода заданий. В связи с этим целесообразно выделить систему основных методов решения уравнений в целых числах, тем более что в изученной математической литературе этот вопрос явно не оговаривается. Описанная проблема определила цель данной работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;

2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;

4) Составить несколько тренировочных заданий по данной теме;

5) Применяя разработанные задания, определить степень готовности учащихся девятых классов МБОУ СОШ №59 к решению подобного рода задач и сделать практические выводы.

Основная часть

Анализ разнообразной математической литературы показывает, что среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:

1. Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
2. Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
3. Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
4. Использование Малой и Великой теорем Ферма;
5. Метод бесконечного спуска;
6. Выражение одной неизвестной через другую;
7. Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;
8. Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.

Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.
В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2013 году (задание С6).

Задача. Решить в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k 2 .

Решение. Заметим, что оканчивается нулём при n > 4. Далее, при любых n ∈ N оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при n > 4 левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение n = 2, k = 5.

В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.

Теперь приведём комплекс авторских задач.

Задача 1. Решить в целых числах уравнение n 2 — 4y! = 3.

Решение. Сначала перепишем исходное уравнение в виде n 2 = 4y! + 3. Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.

Задача 2. Решить в целых числах уравнение 8z 2 = (t!) 2 + 2.

Решение. Непосредственная проверка показывает, что t = 0 и t = 1 не являются решениями уравнения. Если t > 1, то t! является чётным числом, то есть, оно представимо в виде t! = 2s. В таком случае уравнение можно преобразовать к виду 4z 2 = 2s 2 + 1. Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное.

Ключевая идея – применение свойств факториалов.

Задача 3. Решить в целых числах уравнение x 2 + y 2 – 2x + 6y + 5 = 0.

Решение. Исходное уравнение можно переписать следующим образом: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

Из условия следует, что (x – 1), (y + 3) – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.

Задача 4. Решить в целых числах уравнение zt + t – 2z = 7.

Решение. Исходное уравнение можно преобразовать к виду (z + 1) (t – 2) = 5. Числа (z + 1), (t – 2) являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:

Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения.

Ключевая идея – представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.

Задача 5. Решить в целых числах уравнение n(n + 1) = (2k + 1)‼

Решение. Число (2k + 1)‼ нечётно при всех неотрицательных значениях k согласно определению (при отрицательных k оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу n(n + 1), которое чётно при всех целых значениях k. Противоречие.

Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.

Задача 6. Решить в целых числах уравнение xy + x + 2y = 1.

Решение. Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:

Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка y = –1 в первоначальное уравнение приводит к абсурдному равенству –2 = 1. Согласно условию, x – целое число. Иначе говоря, тоже целое число. Но тогда число обязано быть целым. Дробь является целым числом тогда и только тогда, когда числитель делится на знаменатель. Делители числа 3: 1,3 –1, –3. Следовательно, для неизвестной возможны четыре случая: y = 0, y = 2, y = –2, y = –4. Теперь можно вычислить соответствующие значения неизвестной x. Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).

Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.

Задача 7. Решить в целых числах уравнение 5 m = n 2 + 2.

Решение. Если m = 0, то уравнение примет вид n 2 = –1. Оно не имеет целых решений. Если m 0. Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае n 2 при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.

Задача 8. Решить в целых числах уравнение (x!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .

Решение. Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему: (x!) 4 + |y – 1| 4 = |z + 1| 4 . Тогда x!, |y – 1|, |z + 1| – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах.

Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.

Задача 9. Решить в целых числах уравнение x 2 + 4y 2 = 16xy.

Решение. Из условия задачи следует, что x – чётное число. Тогда x 2 = 4x₁ 2 . Уравнение преобразуется к виду x₁ 2 + y 2 = 8x₁y. Отсюда вытекает, что числа x₁, y имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.

1 случай. Пусть x₁, y – нечётные числа. Тогда x₁ = 2t + 1, y = 2s + 1. Подставляя эти выражения в уравнение, получим:

Выполним соответствующие преобразования:

Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?

В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.

2 случай. Пусть x₁, y – чётные числа. Тогда x₁ = 2x₂ + 1, y = 2y₁. Подставляя эти значения в уравнение, получим:

Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения: . Но величины n и k не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему. То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа x, y бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что x = y = 0. Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение (0; 0).

Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.

Задача 10. Решить в целых числах уравнение 5x 2 – 3xy + y 2 = 4.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде 5x 2 – (3x)y + (y 2 – 4) = 0. Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной x. Вычислим дискриминант этого уравнения:

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть Отсюда имеем следующие возможности для y: y = 0, y = 1, y = –1, y = 2, y = –2.

Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения: (0;2), (0;–2).

Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.

Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся девятых классов были предложены разработанные задания с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. В эксперименте приняли участие 64 ученика. Полученные результаты представлены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

Количество учащихся, справившихся с заданием (в процентах)