Как решить уравнение которое равно 0

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса!

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = — c,
• разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 9:

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на -1:

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Вынести х за скобки

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Уравнения равные нулю

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.

Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

(множителей может быть больше).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Это — уравнение типа «произведение равно нулю».

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:

Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:

Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:

Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Корень первого уравнения —

Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).

В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.

Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.

Еще один важный частный случай уравнений, равных нулю, рассмотрим позже.

13 комментариев

Показательное уравнение:
3^((x+2)/(3x-4))-2*3^((5x-10)/(3x-4))-7=0
Корень известен: x=2.
Подскажите, пожалуйста, как найти решение. Преобразовать в квадратное уравнение что-то не получается.

Произведение равно нулю

В каком случае произведение равно нулю?

произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю .

С помощью этого правила решают уравнения, в которых произведение нескольких множителей равно нулю. Уравнения вида «Произведение равно нулю» — одни из самых распространенных в математике. Их начинают изучать с 6 класса. В 6 классе множители представляют собой линейные уравнения.

Это уравнение вида «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому приравниваем к нулю каждый из множителей:

5x=0 или 2x-7=0 или 3x+18=0.

Теперь решаем каждое из уравнений. Первое — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Второе и третье — линейные уравнения. Алгоритм решения: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

2x=7 I :2 3x=-18 I :3

Замечания.

1) Это уравнение также можно рассмотреть как произведение четырех множителей:

Рассуждаем так: поскольку произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а первый множитель 5≠0, приравниваем к нулю остальные множители:

x=0 или 2x-7=0 или 3x+18=0.

2) Поскольку перед буквой и перед скобками знак умножения можно не писать, условие уравнений обычно выглядят так:

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

6x-7=o или 5x+9=0 или 4x+11=0 или 9x-6=0

6x=7 I:6 5x=-9 I:5 4x=-11 I:4 9x=6 I:9

x=7/6 x=-9/5 x=-11/4 x=6/9

В первом уравнении получили неправильную дробь. Выделяем из нее целую часть. Во втором и третьем уравнении ответ записываем в виде десятичной дроби. Для этого делим числитель на знаменатель уголком. В четвертом уравнении нужно сократить дробь в ответе

А как узнать, записать ответ в виде обыкновенной или в виде десятичной дроби? Любую ли обыкновенную дробь можно перевести в десятичную? Любую ли десятичную дробь можно перевести в обыкновенную? Об этом мы поговорим в следующий раз.

2 Comments

определение наверху неверное, т.к. произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда когда хотя-бы один из них равен нулю, а остальные не теряют смысла.

Мне понравился ход мысли Вашего учителя математики. Она расширила определение, чтобы ученики не забывали проверить, входят ли найденные корни в область допустимых значений уравнения (или неравенства).