Как решить уравнение методом деления отрезка пополам

Как решить уравнение методом деления отрезка пополам

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Приближённое решение нелинейных алгебраических уравнений

1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x₁*, x₂*, x₃*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности <x_n>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |x_n – x*| / (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

X₁== 0.268;

X₂== 3.732;

Так как f / ()>0, то f / (x)>0 при , f / (x) / (x)>0 при . Кроме того, f()= 0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x₁)= 3x₁ 2 -12x₁+3=11.39; на интервале — убывает до f(x₂)= 3x₂ 2 -12x₂+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2)= -27 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

f(1)= 9>0, f(3)= -7 / (x) 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Метод бисекции

Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод приближённого нахождения корня уравнения.

Калькулятор, который находит приближенное решение уравнения методом бисекции или методом деления отрезка пополам. Небольшая теория под калькулятором.

Метод бисекции

Метод бисекции

Существует довольно очевидная теорема: «Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у нее есть корень (как минимум, один, но может быть и несколько)». На базе этой теоремы построено несколько методов численного нахождения приближенного значения корня функции. Обобщенно все эти методы называются методами дихотомии, т. е. методами деления отрезка на две части (необязательно равные).

Здесь уже были рассмотрены Метод хорд и Метод секущих, теперь дошла очередь и до самого простого метода дихотомии, называемого методом бисекции, или методом деления отрезка пополам. Как следует из названия, именно в этом методе отрезок делится каждый раз на две равные части. Середина отрезка считается следующим приближением значения корня. Вычисляется значение функции в этой точке, и, если критерий останова не достигнут, выбирается новый интервал. Интервал выбирается таким образом, чтобы на его концах значения функции по прежнему имели разный знак, то есть чтобы он по прежнему содержал корень. Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции — и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое — метод никогда не сойдется быстрее, т. е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.

Итерационная формула проста:

Метод бисекции является двухшаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями. Поэтому необходимо задавать два начальных приближения корня.
Метод требует, чтобы начальные точки были выбраны по разные стороны от корня (то есть корень содержался в выбранном интервале).

В качестве критерия останова берут один из следующих:

— значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.

— изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε. Поскольку интервал на каждом шаге уменьшается в два раза, вместо проверки x можно рассчитать количество требуемых итераций.

Метод деления отрезка пополам.

Постановка задачи. Пусть дана некоторая функция f(x). Необходимо найти с точностью до e такое x* , что f(x*)=0 . В том случае, когда решение не может быть найдено в явном виде, применяются численные методы. Наиболее распространенными из них являются метод деления отрезка пополам, метод простых итераций, метод касательных (Ньютона), метод секущих и метод хорд.

Рассмотрим метод деления отрезка пополам более подробно.

В соответствии с этим методом вначале необходимо приблизительно определить отрезок, на котором функция f(x) меняет знак. Для этого можно использовать графический способ, заключающийся в построении графика функции на экране компьютера и приблизительного визуального определения точек пересечения графика с осью абсцисс.

При отыскании корня методом половинного деления сначала вычисляются значения функции в точках a и b — соответственно f(a) и f(b), имеющие противоположные знаки. Далее по формуле x_ср=(a+b)/2 вычисляется координата центра отрезка [a, b] и находится значение функции в этой точке f(x_ср). Оно сравнивается со значениями функции на концах отрезка. Если функция меняет знак на отрезке [a, x_ср], то весь отрезок [a, b] усекается до его левой части, то есть x_ср становится правой границей отрезка (b). Аналогично, если функция меняет знак на отрезке [x_ср, b], отрезок [a, b] усекается до правой части. Эти операции повторяются до тех пор, пока разница между соседними значениями x не станет меньше или равной выбранной точности .

	· Простота; · Быстрое достижение результата.
	· Необходимо заранее знать отрезок, на котором функция меняет знак, что не совсем удобно. · Линейная сходимость.

Блок-схема

алгоритма поиска корня уравнения f(x)=0

Методом деления отрезка пополам

Метод хорд.

Является более быстрым способом нахождения корня уравнения f(x)=0 лежащего на отрезке [a;b], таком, что f(a)*f(b) 0. Разделим отрезок в отношении

Это даёт приближённое значение корня x₁=a+h₁ ,

Применяя этот приём, к тому из отрезков [a;x₁] или [x₁;b] на концах которого функция имеет противоположные знаки. Получим второе приближение корня x₂.

Геометрически, метод хорд эквивалентен замене кривой y=f(x) хордой проходящей через т. а и т. B.

Полагая, что х=х₁ и у=0, получим х₁=а — f(a)*(b-a)/(f(b)-f(a)), x₁ – первое приближение.

Для сходимости процессов корень должен быть отделён вторая производная должна сохранять знак на отрезке [a;b].

Процесс вычисления заканчивается когда разность между 2-мя значениями корня

Блок-схема

алгоритма поиска корня уравнения f(x)=0

методом хорд

Метод простой итерации.

Метод простой итерации используется для решения нелинейных уравнений. Метод основан на последовательном приближении к корню уравнения

при заданных начальных условиях : начальное приближение и точность вычисления. При использовании метода простой итерации , важным является выбор функции х = F(x) , при этом должно выполняться условие :

│f(x)│ 0 , то разделим первое уравнение на а11 и умножим

на а21 . Вычтем из второго уравнения преобразованное первое. Получим :

Сейчас легко находим v:

Аналогично для матриц большего порядка.

Метод итерации.

При большом числе неизвестных используют приближённо-численные методы.

|a11 a12 … a1n| |B1| |x1|

A=| a21 a22 … a2n| B= |B2 x=|x2|

|an1 an2 … ann| |Bn| |xn|

Предположим, что аii<>0. Разрешим первое уравнение относительно х1, второе относительно х2 и т.д.

Далее решаем методом последовательных приближений. За начальное приближение выбираем столбец свободных членов:

Алгоритм нахождения корней:

Вычисление заканчивается тогда, когда разность между 2-мя ближними итерациями значений корня будет 2 + a₃t 3 + a₄t 4 + … + a_nt n

по схеме Горнера представляется в виде

Данное разложение полинома удобно тем, что в нём отсутствует возведение в степень, что значительно ускоряет вычисление полинома.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.).

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: