Как решить уравнение на деление с остатком

Деление чисел с остатком

О чем эта статья:

Деление с остатком целых положительных чисел

Деление — это разбиение целого на равные части.

Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.

Теорема

a = b · q + r, где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток. 0 ⩽ r

Проверка деления с остатком

Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.

Формула деления с остатком

a = b * c + d,

где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.

Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.

Пример

Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).

В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.

Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:

Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!

Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.

Попрактикуемся в решении.

Пример

Разделить 14671 на 54.

Выполним деление столбиком:

Неполное частное равно 271, остаток — 37.

Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное

Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:

В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.

Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.

Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».

Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.

Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя
• получить неполное частное и остаток;
• записать число противоположное полученному.

Пример

Разделить 17 на −5 с остатком.

Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.

Проверка : a = b * q + r, 17 = −5 * (−3) + 2.

Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное

Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:

Чтобы получить неполное частное q при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток r будет вычисляться по формуле:

r = a − b * q

Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.

Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить по модулю;
• записать противоположное данному число и вычесть 1;
• использовать формулу для остатка r = a − b * q.

Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.

Пример

Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.

Разделим заданные числа по модулю.

Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.

Так как получили 3, противоположное ему −3.

Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.

Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, q = −4, тогда:

r = a − b * q = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.

Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.

Проверка: a = b * q + r, −17 = 5 * (−4) + 3.

Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).

Деление с остатком целых отрицательных чисел

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:

r = a − b * q

Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.

Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя;
• получить неполное частное и остаток;
• прибавить 1 к неполному частному;
• вычислить остаток, исходя из формулы r = a − b * q.

Пример

Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.

Применим алгоритм для деления с остатком.

Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.

Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим r = a − b * q = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.

Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.

Проверка: a = b * q + r, −17 = −5 * 4 + 3.

Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).

Деление с остатком с помощью числового луча

Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.

Пример 1

Рассмотрим выражение: 10 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.

Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).

Пример 2

Рассмотрим выражение: 11 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.

Деление с остатком. Формула деления с остатком и проверка.

Деление с остатком.

Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:

Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.

a=b⋅c+d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Остаток от деления

Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.

Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.

Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.

Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.

Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)

Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8

Решение:
а) Делим столбиком:

258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6 Category: 5 класс, Натуральные числа Leave a comment

Математика

План урока:

Здравствуйте, ребята. Я, Знайка, продолжаю учить вас математике.

Выражение «твердый орешек» означает трудную для решения задачу. Орешек знанья тверд, но мы не привыкли отступать, вместе его расколем. Пусть скорлупа ореха — символ знания, ядро — опыт человечества. Математика раскроет тайны деления двузначных чисел, если будем стараться. Французский ученый Декарт говорил: «Умейте использовать свой хороший ум, чтобы справиться с задачами».

Случаи деления 80 : 20, 87 : 29

Начнем с деления на двузначное число.

Приемы деления вида 80 : 20

Приемы деления вида 87 : 29

Найдите значения двух выражений:

Для решения посмотрите на цифры единиц. Делитель заканчивается на 9. Вспомните таблицу умножения девяти. Какое произведение имеет семерку на конце? 27.

Других вариантов в таблице умножения на девять нет. Ответ равен трем.

Внимательно посмотрите на цифры в единицах. Делимое заканчивается на четверку. Вспомните множитель, который при умножении шести в произведении дает последнюю цифру четверку.

Это два случая: четыре, девять. В значениях произведений четверка на конце. Какой множитель подходит? Давайте посмотрим. Девять — многовато.

Задания легко решать, если знаешь таблицу умножения.

Деление столбиком на двузначное число

Вы уже знаете, что для записи действия деления применяют математический символ в виде двоеточия (∶), обелюса (÷), дробной (–), косой (∕) черты. Сегодня мы используем знак, который похож на лежащую боком букву.

При делении столбиком очень важна аккуратность, поэтому возьмите листок в клеточку.

Как записать решение примера 32 : 16 столбиком? Запишите каждую цифру делимого 32 в отдельную клеточку. Отступите одну клеточку вправо, запишите делитель 16. Проведите вертикальную и горизонтальную черточку.

Подбираем частное. Посмотрите на цифры единиц 2 и 6. Вспомните табличные случаи.

Семерка нам не подойдет, потому что 16 ∙ 7 — это большая величина. Значит, выбираем двойку. Проверяем: 16 ∙ 2 = 32. Записываем двойку на место частного под чертой. Вычитаем 32 из делимого. Пишем нуль. 32 разделили нацело.

Хорошо. А знаете ли вы, что с древних времён замечено влияние грецкого ореха на работу мозга. Как будто природа создала его, по форме извилин напоминающим полушария головного мозга. Благодаря работе этого центрального органа мы справляемся с математическими задачами.

Деление с остатком

Ребята, я предлагаю вам отправиться в путешествие по реке на лодках. Прежде чем отплыть от берега, нам нужно разделить 9 спасательных кругов на 2 лодки. Как узнать, сколько кругов окажется в одной лодке?

Верно, надо разделить. Запишите решение. Сколько получилось в выражении?

У вас трудности. Что заметили?

9 на 2 нацело не делится.

Почему не можем найти значение данного выражения?

Потому что это не табличный случай. Мы не умеем решать такие выражения.

Ребята, оказывается, в примерах может получиться остаток. Это арифметическое действие, играющее большую роль в математике и криптографии — науке о защите информации. В компьютерной технике тоже часто решают данные выражения.

Напишите отрезок натурального ряда от 17 до 37.

Выпишите из этого отрезка числа, которые делятся на 9.

Проверьте, это — 18, 27, 36.

Остаток при делении натуральных чисел 19, 28, 37 на 9 равен единице, потому что они следующие при счете.

Запишите отрезок натурального ряда от 11 до 25. Обведите числа, которые делятся на шесть нацело.

Укажите остатки при делении на 6 тринадцати и четырнадцати. Запишите выражения.

Проверьте:

Объясните, как рассуждали.

15 — на третьем месте после 12, 16 — четвертое место, а 17 – пятое место после 12.

Какой самый большой остаток получается при делении на 6?

Это пять, так как между величинами, которые делятся на шесть нацело, находится пять чисел.

Интересно знать! В Древнем Египте кушать ядра грецких орехов могли только высшие, самые главные жрецы. Для всех остальных, особенно для простого народа — это было запрещено. Чтобы не становились умнее и не начали много думать. Но мы с вами знаем пользу орехов и хорошо соображаем, поэтому продолжаем урок.

Деление с остатком на однозначное число

Существует два способа решения примеров.

1 способ деления на 5, 6, 7, 8, 9

Первый способ подходит, когда делитель равен или больше пяти. Мы должны найти в делимом наибольшее число, чтобы разделить, например, на семерку.

Как его отыскать? Посчитайте семерками. Если бы делили на пять, то считали бы пятерками, на шесть – шестерками и так далее.

Разве 41 разделить на 7 — это пять? Нет, мы разделили только 35. Теперь найдем, сколько не разделили. Из 41 отнимите 35, получится шесть. Это искомый остаток.

Сделайте обязательный шаг — убедитесь, что остаток получился меньше чем делитель. Действительно 6 1 2