Как решить уравнение относительно переменной

Как решить уравнение относительно переменной

В этом разделе обсуждается, как в символьном виде решать уравнения и системы уравнений. Команда Решить относительно переменной из меню Символика позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

В этом разделе описывается также, как в символьном виде решить систему уравнений, используя блоки решения уравнений. Для этого требуется Mathcad PLUS.

Решать уравнение символьно гораздо труднее, чем численно. Может оказаться, что в символьном виде решение не существует. Это может быть вызвано рядом причин, обсуждаемых в разделе “Ограничения символьных преобразований”.

Решение уравнения относительно переменной

Чтобы решить уравнение относительно переменной:

• Напечайте уравнение. Убедитесь, что для выведения знака равенства использована комбинация клавиш [Ctrl]=.
• Выделите переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щёлкнув на ней мышью.
• Выберите Решить относительно переменной из меню Символика

Mathcad решит уравнение относительно выделенной переменной и вставит результат в рабочий документ. Обратите внимание, что, если переменная возводилась в квадрат в первоначальном уравнении, при решении можно получить два ответа. Mathcad отображает их в виде вектора. Рисунок 20 показывает соответствующий пример.

Рисунок 20: Преобразование выражения для решения уравнения.

Можно также решать неравенство, использующее символы , и . Решения для неравенств будут отображаться в терминах булевых выражений Mathcad. Если имеется более одного решения, Mathcad помещает их в вектор. В Mathcad булево выражение типа x

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Метод решения относительно одной переменной

Методы решения нелинейных уравнений и неравенств в целых числах

При решении нелинейных уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Метод разложения на множители;

2. Метод решения относительно одной переменной;

4. Метод остатков;

6. Метод доказательства от противного;

7. Метод параметризации уравнения;

8. Функционально-графический метод.

Метод разложения на множители

· Вынесение общих множителей за скобку.

Задание 1. Решить в целых числах уравнение 2х 3 +ху-7=0

Решение: Приведем уравнение к виду: х(2х 2 +у)=7. Так как , то рассмотрим четыре системы уравнений:

Из каждой системы получаем решения.

· Применение формул сокращенного умножения.

Задание 2. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

Решение: Запишем условие задачи в виде уравнения n 2 -k 2 =55 или (n-k)(n+k)=55. Так как (n+k)>0, то (n-k)>0, причем (n+k)>(n-k). Поскольку , то возможны только два случая:

. Из каждой системы получаем решения

Задание 3. Решить в целых числах уравнение ху+3х-у=6..

Задание 3. Решить в целых числах уравнение ху+3х-у=6.

Решение: Запишем уравнение в виде х(у+3)-(у+3)=3 или (х-1)(у+3)=3. Так как , то рассмотрим четыре системы

Из каждой системы получаем решения.

Разложение квадратного трехчлена.

Задание 4. Решить в целых числах уравнение х 2 -3ху+2у 2 =11.

Решение: решим квадратное уравнение х 2 -3ху+2у 2 =11 относительно переменной х: х₁=у и х₂=2у. Тогда получаем: (х-у)(х-2у)=11. Так как … (продолжи решение)

Задание 5. Решить в целых числах уравнение 2х 2 -2ху++9х+у=2.

Решение: Перепишем уравнение в виде 2х 2 -х(2у-9)+у-2+а=аи разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно х. Найдем дискриминант D=4у 2 -44у+97-8а. Очевидно, если 97-8а=121, то дискриминант будет полным квадратом. При этом а=-3 и х= . Отсюда х₁=0,5 и х₂=у-5. Уравнение принимает вид (2х-1)(х-у+5)=-3. (продолжи решение)

Метод решения относительно одной переменной

· Выделение целой части.

Задание 6 (МГУ, 1997). Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению 3ху+14х+17у+71=0

Решение: выразим из данного уравнения у через х: . При этом следует отметить, что величина 3х+17 не равна нулю, так как х – целое число. Выделим из дроби в правой части этого равенства правильную Алгебраическую дробь (у которой степень числителя меньше степени знаменателя): . Умножим обе части последнего равенства на 3: или . Поскольку числа 3у и 14 – целые, то 3х+17 должно быть делителем числа 25, т.е. 3у+17= – всего 6 возможностей. Отсюда для х получаем три возможных значения: -4, -6, -14 (в остальных трех случаях х не является целым) Соответствующие значения у равны: -3, -13, -5.

Замечание: в данном примере суть выделения целой части состоит в избавлении переменной х из числителя. В решении был использован прием домножения обеих частей равенства на коэффициент при х в знаменателе. Этот прием домножения также удобно использовать при решении уравнений методом разложения на множители.

· Использование дискриминанта (неотрицательность).

Задание 7: Решить в целых числах уравнение 3(х 2 +ху+у 2 )=х+8у

Решение: Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: 3(х 2 +ху+у 2 )-х-8у=0. Найдем дискриминант D=-27у 2 +90у+1. Данное уравнение имеет корни, если , т.е. -27у 2 +90у+1 . Т.к. то получаем, что . Перебирая эти значения, получаем решения уравнения.

· Использование дискриминанта (полный квадрат).

Задание 7: Решить в целых числах уравнение х 2 -ху+у 2 =х+у

Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: х 2 –(у+1)х+у 2 -у=0. Его дискриминант D=-3у 2 +6у+1=t 2 должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение: 3у 2 -6у-1+ t 2 =0; 3(у-1) 2 + t 2 =4. Из последнего уравнения следует, что t 2 4, .

1. Если t 2 =0, то уравнение 3(у-1) 2 =4 не имеет целого решения у.

2. Если t 2 =1, то уравнение 3(у-1) 2 =3 имеет целые решения у₁=2 и у₂=0. При у=2 получаем квадратное уравнение х 2 -3х+2=0 с корнями х=1 или х=2. При у=0 получаем квадратное уравнение х 2 -х=0 с корнями х=0 или х=1.

3. Если t 2 =4, то уравнение 3(у-1) 2 =0 имеет одно целое решение у=1. При у=1 получаем квадратное уравнение х 2 -2х=0 с корнями х=0 или х=2.

Метод оценки

· Использование известных неравенств.

Задание 8: Решить в натуральных числах уравнение

Решение: Пусть для определенности . Проведем перебор для первых значений неизвестной х.

1. Если х=1, то получаем неверное равенство 1+ , так как 1+ при любых натуральных у.

2. Если х=2, то получаем неверное равенство + , так как + при любых натуральных у.

3. Если х=3, то получаем + ; , у=6.

4. Если х=4, то получаем + ; , у=4.

5. Если х=5, то получаем + ; , у= — не натуральное

6. Пусть . По условию , следовательно, . Тогда , а значит, . Таким образом, при исходное уравнение решений не имеет.

Заметим, что в уравнении неизвестные х и у равноправны, поэтому снимая условие имеем еще одно решение (6;3). Кроме того, можно сделать вывод, что при исходное уравнение не имеет решений.

Задание 9: Решить в целых числах уравнение

Решение: Можно найти вначале решения только в натуральных числах, так как если (х₀; у₀; z₀) – решение, то, изменив знак у любых двух чисел этой тройки, снова получим решение. Данное уравнение умножим на 2xyz и воспользуемся неравенством ,

6xyz=2x 2 y 2 +2x 2 z 2 +2y 2 z 2 =(x 2 y 2 +x 2 z 2 )+(x 2 y 2 +y 2 z 2 )+(x 2 y 2 +y 2 z 2 ) 2x 2 yz+2y 2 xz+2z 2 xy=2xyz(x+y+z), откуда x+y+z 3. Но х,у, z – натуральные, поэтому х=у= z=1 единственное решение в натуральных числах. Остальные решения в натуральных числах. Остальные решения исходного уравнения таковы: (-1; -1; 1); (1; -1; -1); (-1; 1; -1).

Ответ: (1; 1; 1); (-1; -1; 1); (1; -1; -1); (-1; 1; -1)

· Приведение к сумме неотрицательных выражений

Задание 10: Решить в целых числах уравнение х+у=х 2 -ху+у 2

Решение: приведем уравнение к виду (х-1) 2 +(у-1) 2 +(х-у) 2 =2. Так как (х-1) 2 2, то имеем (х-1) 2 =0 или (х-1) 2 =1. Отсюда получаем три значения х: 1, 0, 2. Подставляя эти значения в исходное уравнение, найдем значения у.