Как решить уравнение по д1 — Решение уравнений

Как найти дискриминант квадратного уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:

13 = 12 — противоречие.

Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:

12 = 12 — верное равенство.

Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.

Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.

Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.

Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные

Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.

Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.

Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.

D = 0, значит уравнение имеет один корень:

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.

Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

D > 0, значит уравнение имеет два корня:

Ответ: два корня x₁ = 5, x₂ = -1.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.

Урок по алгебре на тему: «Решение квадратных уравнений по формуле D1»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Алгебра, 8 класс Урок 49

Тема урока: «Решение квадратных уравнений по формуле D 1 »

предоставить учащимся возможности познакомиться и изучить алгоритм решения полных квадратных уравнений по формуле;

способствовать пониманию и первичному закреплению алгоритма в ходе решения уравнений;

воспитывать внимательность, аккуратность, настойчивость;

повышение коммуникативной активности учащихся;

формирование умения аргументировать свою точку зрения;

разумно оценивать работу своего товарища;

1. развитие умений ставить цель, планировать и регулировать свою деятельность через решения заданий, преодолевать трудности.

2. развитие логического мышления, памяти, внимательности;

3. развивать способности учащихся к усвоению новой информации,

4. формировать умение сравнивать, анализировать, кратко и четко выражать свое мнение.

Тип урока: комбинированный урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: ПК, проектор, доска, карточки, презентация.

Организационный момент (отметить отсутствующих).

Постановка целей и задач. Мотивация учебной деятельности

Сегодня у нас с вами урок изучения нового материала «Решение квадратных уравнений по формуле».

Цель урока познакомиться с алгоритмом решения полного квадратного уравнения. Девизом урока будут слова: хочу, могу, умею, делаю.

МОГУ: ребята, на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться (задавать вопросы).

УМЕЮ: мы умеем решать неполные квадратные уравнения, полные квадратные уравнения выделением квадрата двучлена.

ХОЧУ: познакомиться с алгоритмом решения полного квадратного уравнения.

ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит правильный путь решения». Желаю всем удачи!

3. Проверка домашнего задания.

4. Актуализация знаний учащихся.

1. Фронтальная работа с классом (в это время 3 учащихся у доски работают по индивидуальным карточкам и целью контроля выполнения домашней работы (задания – аналогичны дом. заданию).

Необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме «Квадратные уравнения» (что же мы умеем):

— Что такое уравнение? Что такое корень уравнения? Что значит решить уравнение?

— Какие уравнения мы называем линейными? Какие уравнения мы называем квадратными? Приведите примеры

— Сколько корней может иметь линейное уравнение (квадратное) уравнение? Примеры.

— Какие виды неполных квадратных уравнений вам известны? Приведите примеры.

— Какой общий вид имеет полное квадратное уравнение? Приведите пример.

— Какие квадратные уравнения мы с Вами умеем решать? Приведите примеры

1. Докажите, что -1 является корнем уравнения:

х 3 +1=0; х 2 -1=0; х 2 +х =0; х 2 +3х+2=0.

2. Укажите коэффициенты квадратного уравнения:

2х 2 -5х+10 = 0; 2+х+х 2 =0; х 2 +3х -0,5 =0; 5х 2 -4х =3; 0,5х 2 –х -3 =0; 8х -7 =х 2

1-3х-2х 2 =0; 11-2х 2 =4х.

3. Замените уравнение равносильным ему приведённым квадратным уравнением:

3х 2 -6х -12 =0; -х 2 +2х -2 =0;

Проверка работы по индивидуальным карточкам. Комментарии учащихся класса (по цепочке) решенных уравнений у доски. Оценка работы учащихся у доски

5. Усвоения новых знаний.

Из предыдущих уроков видно, что при решении квадратных уравнений приходилось выделять полный квадрат двучлена. Чтобы постоянно не выполнять таких преобразований, достаточно один раз выполнить эти преобразования для общего вида квадратного уравнения и получить формулу корней квадратного уравнения. Вывести формулу корней квадратного уравнения (на доске). Ввести понятие дискриминанта квадратного уравнения. Рассмотреть различные случаи решения квадратного уравнения в зависимости от значения дискриминанта (D 1 ).

Решение квадратных уравнений

D=b 2 – 4ac = 4k 2 – 4 ас =4(k 2 – ас ),

D 1 = k 2 – ас; если D 1 >0, то

х _1,2 = = = , где D 1 = k 2 – ас ,

Привести вторую запись данной формулы при условии , если в приведенном квадратном уравнении второй коэффициент чётный:

х_1,2 = (формула II ).

6. Физкультминутка (включить спокойную музыку)

Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1 -4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

Не поворачивая головы, посмотреть направо и зафиксировать взгляд на счет 1-4, затем посмотреть вдаль прямо на счет 1-6. Аналогичным образом проводятся упражнения с фиксацией взгляда влево, вверх и вниз. Повторить 3-4 раза.

Перенести взгляд быстро по диагонали: направо вверх — налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1 -6; затем налево вверх — направо вниз и посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

7. Первичная проверка понимания

Работа с готовыми решениями. Комментарии трех учащихся с места

Привести пример решения квадратных уравнений.

Решить на доске : №539 (а,б)

а) 3х 2 -14х+16=0 б) 5х 2 -16х+3=0

D ₁ =7 2 -3·16=1, х _1,2 = = 2 ; 2. D ₁ =8 2 -15=49, х _1,2 = = ; 3.

8. Решение упражнений

В парах по заранее приготовленным заданиям на доске проверяют правильность выполненных уравнений.

№ 542 а) 5х 2 = 9х+2;

D = b 2 – 4 ac =81+40=121,

D >0, 2 корня: х _{1, 2} = = = 2;-0,2.

D = b 2 – 4 ac =25+56= 81; Д >0, 2 корня:

х _1,2 = = = — 7; 2

D = b 2 – 4 ac =35+36=72; Д >0, 2 корня:

х _1,2 = = = 3+3 ;3 — 3 ;

D = b 2 – 4 ac =1+80=81; D >0, 2 корня:

х _1,2 = = = 5 ; — 4

D = b 2 – 4 ac =2704 -2304=400; D >0, 2 корня:

х _1,2 = = = 36 ; -16

е) 15 у 2 -30 =22у +7;

15 у 2 -22у -37 =0;

D = b 2 – 4 ac =484 +2220=2704; D >0, 2 корня:

х _1,2 = = = -1; 2

ж) 25 p 2 -10 p +1=0;

D = b 2 – 4 ac =100-100=0; Д =0, 1 корень:

х= = 0,2 .

з) 299х 2 +100х =500- 101х 2 ;

400х 2 +100х-500 =0| : 100;

D = b 2 – 4 ac =1+80 =81; D >0, 2 корня:

х _1,2 = = = 1; -1 .

D = b 2 – 4 ac =676-100 =576; Д >0, 2 корня:

х _1,2 = = = 25 ; 1 .

D = b 2 – 4 ac =841+120= 961; D >0, 2 корня:

х _1,2 = = = -10 ; .

D = b 2 – 4 ac =16+384= 400; D >0, 2 корня:

х _1,2 = = = -8 ;12

D = b 2 – 4 ac =100-36= 64; D >0, 2 корня:

х _1,2 = = = 3 ; .

D = b 2 – 4 ac =1600+400= 2000; D >0, 2 корня:

х _1,2 = = = 20+10 ; 20 -10 ;

е) 25х 2 -13 х =10х 2 -7;

D = b 2 – 4 ac =169 -420= -259; D

9. Домашнее задание.

П. 23, читать, № 545(а-д).

10. Итог урока. Рефлексия. Выставление оценок учащимся.

Напишите формулу нахождения дискриминанта квадратного уравнения.

Напишите формулу корней квадратного уравнения

Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего это зависит?

Что означает D ₁ ?

На уроке я успел сделать…

В результате я узнал и научился…

Я не понял, у меня не получилось…

Кому на уроке все было понятно встаньте и похлопайте в ладоши, у крого остались вопросы и не все получалось сразу сидя похлопайте в ладоши, у кого не получилось решить последнее уравнение

С урукин А.Н., Сочилов С.В., ЗелеРуС .А. Теляковский. Учебник. Алгебра — 8, М.: Просвещение, 2013

Урок в 8-В классе по теме «Решение квадратных уравнений по формуле D 1 » мною был проведен комбинированный урок изучения и первичного закрепления новых знаний по данной теме. В дальнейшем при изучении данной темы в 8 классе, а также сдачи ЕГЭ в 9 классе пригодятся знания, полученные на этом уроке.

Все этапы урока были направлены на достижение целей и задач, поставленных в начале урока. Урок был достаточно динамичным, насыщенным. Начало урока позволило мобилизовать учащихся класса, настроить их на восприятие нового материала. Темп работы учащихся на уроке позволяет проводить урок в достаточно быстром темпе.

Содержание учебного материала полностью соответствует программе и уровню знаний учащихся по предмету. Цели и задачи урока соответствуют плану и конспекту урока и были достигнуты.

Особенно интересно для обучающихся и продуктивно для меня на уроке получилась работа в парах. Учащиеся аргументировано отстаивали свое верное решение. Сами смогли найти ошибки одноклассников. И совместными усилиями получить верный ответ.

Во время урока большая нагрузка легла на плечи учащихся, учитель выступал в качестве координатора, несмотря на то, что это был урок «открытия» нового знания, что наиболее актуально, в связи с предстоящим введением в средней школе ФГОСов.

На уроке я использовала современные образовательные технологии: технология критического мышления – на всех этапах урока, проблемное обучение – на этапе мотивации учащихся была поставлена проблема поиска наиболее рационального способа решения полных квадратных уравнений, технология обучения в сотрудничестве (работа в парах) – взаимопомощь, взаимопроверка, информационно-коммуникативные технологии – использование во время урока презентации(авторская разработка) и, конечно, здоровьесберегающая технология – физкультминутка (гимнастика для глаз).

В целом урок в 8-В классе прошел успешно. Цели и задачи, поставленные в начале урока, были достигнуты. Учащиеся ушли с урока с хорошим настроением.

Линейное диофантово уравнение и 4 способа его решения

Разделы: Математика

Првило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.

Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Х_о ; у_о) уравнения ах + ву = 1; числа СХ_о , Су_о составляют решение уравнения ах + ву = с.

Решить в целых числах (х,у) уравнение

Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.

Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)

имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Х_о = 7; у_о =2.

Итак, пара чисел (7;2) — частное решение уравнения (1).

Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)

Вопрос: Как имея одно решение записать все остальные решения?

Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у — 2) =0.

Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

n Z.

Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х — 8у = 19 х = .

Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.

Если у = 0, то х = =.

Если у =1, то х = =.

Если у = 2, то х = = = 7 Z.

Если у =3, то х = =.

Если у = 4 то х = =.

Итак, частным решением является пара (7;2).

Тогда общее решение: n Z.

Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.

Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.

1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.

2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.

8 = 5 1 + 3.