Как решить уравнение по геометрии

Как решать задачи по геометрии. Часть 1

Геометрическая логика при решении задач

Геометрия… Страшное слово для бесчисленного множества учеников. Они знают свойства фигур и выучили определения и теоремы, но задачи по геометрии все равно остаются какой-то китайской грамотой.

Это про тебя? Тогда ты попал туда, куда нужно!

Проблема подавляющего большинства учеников в том, что они не умеют обдумывать задачу по геометрии. Их этому не научили (ну, или они не захотели научиться, когда была возможность). Именно в этой статье, я объясню саму технологию обдумывания и, в конечном счете, нахождения решения ПРАКТИЧЕСКИ ЛЮБОЙ задачи по геометрии.

Сразу оговорюсь — без знания теории в геометрии никак. В смысле, вообще никак, от слова «совсем». Чтоб тебе было полегче при чтении этой статьи, я буду внутри решений задач в скобках курсивом указывать используемые свойства и теоремы. Но помни: если вдруг в знании теории у тебя пробел – закрытие его за тобой! Бери учебник и читай. Причем главные вещи – заучивай (или понимай). Знать теорию – обязательно!

Ты играл когда-нибудь в квесты? Неважно в реальной жизни или в компьютере. Во всех квестах принцип один – у тебя есть что-то (вещи, знания, навыки) и есть цель (раскрыть какую-нибудь тайну, найти некий предмет, «спасти принцессу» и т.д.). При этом путь к цели – неизвестен. И зачем нужны эти самые имеющиеся у тебя «вещи, знания, навыки» – тоже непонятно. Что делать? Как достичь цели?

Известно как: использовать то, что есть, и искать, куда это применить, чтоб продвинуться к цели. То есть, делать шаги от своего текущего местонахождения – к цели. При этом понятно, что некоторые шаги будут вести нас не туда, куда надо, а совсем даже в тупик. А иногда мы будем находить вещи или информацию, вроде бы напрямую к цели не ведущие, но как выяснится в дальнейшем – необходимую.

Более того, порой можно логически двигаться и наоборот – от цели к твоей текущей позиции. Например, если нужно «спасти принцессу из замка», то понятно, что, скорее всего, надо будет как-то попасть в замок. А для этого надо оказаться на острове, где этот замок стоит. Как попасть? Может быть на лодке. Или найти телепорт. Или использовать магию. Но на остров – надо. Начинаем искать пути на остров. Это уже логические шаги от цели к текущей позиции.

К чему весь этот разговор? Решение задачи по геометрии это точно такой же «квест», только математический . Вдумайся: у нас всегда есть некоторые исходные данные и есть то, что нужно найти (или доказать – разницы на самом деле практически нет). И наша задача – построить логическую цепочку от исходных данных к цели. Строительным материалом при этом у нас будут данные (исходные и полученные при рассуждениях), а также теоремы и свойства.

Ладно, давай уже конкретный пример разберем.

Задача. В треугольнике \(ABC\) из точки \(B\) проведена высота \(BH\). Найти длину отрезка \(AH\), если известно, что сторона \(AC\; =\; 14\) см и угол \(A\) равен углу \(C\).

Так. С чего начинается решение геометрической задачи? Ну, а с чего начинается решение квеста? Правильно, осматриваемся по сторонам, изучаем, что у нас есть и куда нас жизнь закинула.

В геометрии это означает:

1. построить чертежа выделить из условия задачи исходные данные, то есть, выяснить, что нам дано.
2. выделить из условия задачи исходные данные, то есть, выяснить, что нам дано.

Хорошо. Значит, текущая ситуация у нас такова:

Давайте потихоньку развеивать туман. Нам известно, что углы \(А\) и \(С\) равны, а это значит, что треугольник \(АВС\) – равнобедренный с основанием АС (теория – «признак равнобедренного треугольника: равенство углов при одной из сторон. Она и является основанием»). Это новая информация, новые данные, изначально неизвестные. Делаем шаг.

Отлично. Теперь смотрим, что у нас есть еще? Еще у нас есть информация, что \(BH\) – высота. А раз треугольник \(ABC\) – равнобедренный, то значит \(BH\) еще и медиана (теорема о высоте в равнобедренном треугольнике: высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой). То есть, мы, используя новые, полученные на предыдущем шаге данные, а также исходные данные и знание теории, делаем еще один шаг и опять получаем новую информацию.

А что мы знаем про медиану? Она делит противоположную сторону на две равные части (определение медианы: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Но тогда получается, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам. То есть \(AH = HC\).

Стоп. Так у нас же есть длина стороны \(AC\)! И если мы знаем, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам, значит, \(AH\) равен половине \(AC\)! Таким образом, получаем, что \(AH = AC/2 = 14/2=7\) см.

Готово. Ответ получен.

Естественно, такие конструкции с «пятном тумана» рисовать каждый раз не нужно, эта схема показывает логическую цепочку решения у нас в голове. А записывается примерно так:

«Классические» схемы для решения задач по геометрии

Многие старшеклассники считают, что геометрия сложнее алгебры. «В алгебре все просто, — говорят они. – Есть способы решения уравнений. Есть типы задач – на движение, на работу, на проценты – и для каждой свои приемы решения. А задачи геометрии друг на друга не похожи».

Так ли это? Может быть, и в планиметрии есть схемы, на которых строится множество задач?

Да, есть. Я называю их «классические схемы планиметрии». Учимся узнавать их и использовать в задачах! И возможно, что на ЕГЭ вам встретится задача, «ключиком» к которой будет одна из этих схем. Конечно, на ЕГЭ эти утверждения надо доказывать.

Вот 5 полезных схем для решения задач по планиметрии.

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.

H – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если

1. Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
2. Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
3. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
4. , где R – радиус описанной окружности .

Схема 2. Пусть луч МА пересекает окружность в точках А и В, а луч МD – в точках С и D, причем МА > МВ, МD > МС. Тогда треугольники ВМС и DМА подобны.

Схема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.

Схема 4. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, углы В и М – прямые. Тогда точки А, В, С, М лежат на окружности, радиус которой равен половине АС.

Схема 5. Лемма о трезубце (трилистнике)

И несколько лайфхаков для сдающих ЕГЭ.

1) Любая задача из варианта ЕГЭ решается без сложных формул. И если вы не помните теорему Чевы, теорему Менелая и другую экзотику – вам это и не понадобится. Только то, что есть в нашем Супер-Справочнике . И полезные факты. Зато знать это надо наизусть.

2) Когда вы отлично знаете все теоремы, формулы, свойства геометрических фигур – у вас в голове выстраивается цепочка ассоциаций. Например, в условии задачи дан радиус вписанной окружности. В каких формулах он встречается? – Правильно, в теореме синусов и в одной из формул для площади треугольника.

3) Есть такие теоремы, которые вроде и входят в школьную программу – а попробуй их найди в учебнике. Например, теорема о секущей и касательной или свойство биссектрисы треугольника. А вы их знаете?

4) Как научиться решать задачи по геометрии? Если у вас маловато опыта – не стоит начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – задачи на доказательство. Тем более что в реальной задаче 16 из варианта ЕГЭ первый пункт – доказательство.

5) Если вы вдруг не можете решить пункт (а), но решили пункт (б), вы получите за него один балл. А это лучше, чем ничего. Но вообще пункт (а), как правило, бывает простым. Иногда вопрос в пункте (а) очень простой. И это не только для того, чтобы вы получили «утешительный» балл. Помните, что пункт (а) часто содержит подсказку, идею для решения пункта (б).

6) Среди стратегий подготовки к ЕГЭ есть эффективные. А есть откровенно проигрышные.

Пример плохой стратегии – когда старшеклассник принимает решение заниматься только алгеброй и считает планиметрию и тем более стереометрию слишком сложными для себя. И вот на ЕГЭ попадается сложное неравенство или «экономическая» задача. И всё, баллов не хватает! Тех самых баллов за планиметрию и стереометрию, которые можно было взять, не хватает для поступления!

Чтобы такого не случилось – занимаемся планиметрией как можно больше.

7) Стоит учесть, что задачи вариантов ЕГЭ по планиметрии и стереометрии бывают намного проще, чем по алгебре.

Геометрические задачи и методы их решения с примерами

Содержание:

Логическое построение геометрии

Геометрия — это наука о пространственной форме и количественных характеристиках предметов реального мира. Прочие свойства предметов изучают другие дисциплины. Если при изучении предмета учитывать только пространственную форму и размеры, то получим абстрактный объект, называемый геометрической фигурой.

Слово «геометрия» — греческого происхождения и в переводе означает землеизмерение. Геометрию, изучаемую в школе, называют евклидовой по имени древнегреческого ученого Евклида. Геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости, а стереометрия — в пространстве (рис. 1).

Чтобы отличать геометрические фигуры друг от друга, их свойства описывают в виде утверждения, которое называют определением. Однако, определить вес геометрические фигуры невозможно. Некоторые из них, первоначальные, вынуждены принять без определения. Принимаем их за неопределяемые, начальные (основные) геометрические фигуры. Логическое построение геометрии осуществляют в следующем порядке: 1. Вначале принимают основные (начальные) геометрические фигуры без определения; 2. Принимают основные свойства этих фигур без доказательств;

3. Определяют другие геометрические фигуры через основные фигуры и их свойства, а затем доказывают свойства этих фигур и утверждений, истинность которых устанавливается путем доказательств, опираясь на известные.

Такое построение науки называют аксиоматическим построением. Свойства фигур, принятые без доказательства, называют аксиомами.

В планиметрии, которую мы изучали до сих пор основными геометрическими фигурами были точка и прямая. Их приняли без определения. Но определили отрезок, луч, треугольник и другие геометрические фигуры. Точно так же следующие свойства (утверждения) мы принимаем без доказательств в качестве аксиом:

I. Аксиомы принадлежности

1.1. Какова бы ни была прямая на плоскости, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

II. Аксиомы расположения

2.1. Из трех точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Любая прямая делит плоскость на две части: на две полуплоскости.

III. Аксиомы измерения

3.1. Любой отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2. Любой угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера развернутого угла равна 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

IV. Аксиомы откладывания

4.1. На любом луче от его начальной точки можно отложить единственный отрезок, равный данному.

4.2. От любого луча в определенную полуплоскость можно отложить единственный угол, равный данному, не развернутому углу.

4.3. Для любого треугольника существует единственный равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

V. Аксиома параллельности

5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Вывод некоторого утверждения с помощью логических размышлений называют доказательством. Утверждение, верность которого установлена с помощью доказательства, называют теоремой. Обычно теорема состоит из условия и заключения. В первой части теоремы — условии объясняют что задано. А во второй части — заключении формулируют что требуется доказать.

Доказать теорему — эго значит, используя ее условие, опираясь на принятые и доказанные ранее свойства, рассуждая, привести к правильности предложения, сформулированного в заключении.

Уточнение условия и заключения теоремы — разъясняет ее, облегчает понимание и доказательство теоремы.

Древнегреческий ученый Платон отмстил удивительную закономерность в геометрии: из свойств, изученных и доказанных ранее, логически размышляя и обдумывая, можно получить новые свойства. Следовательно, используя эти удивительные возможности, можно формулировать остальные свойства в виде теорем, которые доказывают с помощью логических размышлений, аксиом, а также свойств, доказанных до этого.

В процессе размышления запрещается использование недоказанных свойств, даже если их правильность очевидна.

Таким образом, если рассматривать геометрию как одно здание, начальные понятия и аксиомы составляют его фундамент. Кирпичи, уложенные на этом фундаменте — это новые определяемые понятия и свойства, доказанные в виде теорем.

В формировании геометрии в качестве самостоятельной науки большой вклад внесли древнегреческие ученые. Например, Гиппократ Хиосский дал разъяснения о первых геометрических понятиях. Наибольший вклад в этой области принадлежит великому древнегречеcкому ученому Евклиду (356-300 годы до нашей эры). Его основной труд «Начала» содержит планиметрию, стереометрию и некоторые вопросы теории вероятностей, кроме того, алгебру, основы теории отношений, способы вычисления площадей и объемов и также элементы теории пределов. Евклид в «Началах» собрал все достижения древнегреческих математиков того времени и создал основу для дальнейшего развития математики.

«Начала» состоят из 13 книг и содержат переработанные труды древнегреческих ученых V — IV веков до нашей эры. В нем приведены 23 определения, 5 постулатов и 9 аксиом. В этом труде даны правильные определения прямоугольника, квадрата и окружности. Для точки и прямой приведены следующие определения: «Точка-это то, что не имеет частей», «Линия-это длина без ширины».

В «Началах» приведены 9 аксиом — высказывания, принятые без доказательства. Также приведены следующие 5 математических умозаключений (постулатов), позволяющие осуществлять геометрические построения:

I. Через любые две точки можно провести только одну прямую.

II. Отрезок прямой можно бесконечно продолжить.

III. Из любой точки можно построить окружность произвольныго радиуса.

IV. Все прямые углы равны между собой.

V. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересеченные третьей, образуют внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то при продолжении вышеупомянутых прямых они пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых углов.

Упомянутый труд получил огромную славу и признание. Особенно V постулат стал причиной большой научной дискуссии. Если обозначить внутренние углы в V постулате а и (3 (рис. 1), а прямые а и b, то по смыслу этого постулата а+(3

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.