Как решить уравнение приравненное к нулю

Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь .

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\).
Решение:

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку.

Уравнения равные нулю

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.

Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

(множителей может быть больше).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Это — уравнение типа «произведение равно нулю».

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:

Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:

Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:

Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Корень первого уравнения —

Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).

В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.

Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.

Еще один важный частный случай уравнений, равных нулю, рассмотрим позже.

13 комментариев

Показательное уравнение:
3^((x+2)/(3x-4))-2*3^((5x-10)/(3x-4))-7=0
Корень известен: x=2.
Подскажите, пожалуйста, как найти решение. Преобразовать в квадратное уравнение что-то не получается.

Произведение равно нулю

В каком случае произведение равно нулю?

произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю .

С помощью этого правила решают уравнения, в которых произведение нескольких множителей равно нулю. Уравнения вида «Произведение равно нулю» — одни из самых распространенных в математике. Их начинают изучать с 6 класса. В 6 классе множители представляют собой линейные уравнения.

Это уравнение вида «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому приравниваем к нулю каждый из множителей:

5x=0 или 2x-7=0 или 3x+18=0.

Теперь решаем каждое из уравнений. Первое — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Второе и третье — линейные уравнения. Алгоритм решения: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

2x=7 I :2 3x=-18 I :3

Замечания.

1) Это уравнение также можно рассмотреть как произведение четырех множителей:

Рассуждаем так: поскольку произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а первый множитель 5≠0, приравниваем к нулю остальные множители:

x=0 или 2x-7=0 или 3x+18=0.

2) Поскольку перед буквой и перед скобками знак умножения можно не писать, условие уравнений обычно выглядят так:

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

6x-7=o или 5x+9=0 или 4x+11=0 или 9x-6=0

6x=7 I:6 5x=-9 I:5 4x=-11 I:4 9x=6 I:9

x=7/6 x=-9/5 x=-11/4 x=6/9

В первом уравнении получили неправильную дробь. Выделяем из нее целую часть. Во втором и третьем уравнении ответ записываем в виде десятичной дроби. Для этого делим числитель на знаменатель уголком. В четвертом уравнении нужно сократить дробь в ответе

А как узнать, записать ответ в виде обыкновенной или в виде десятичной дроби? Любую ли обыкновенную дробь можно перевести в десятичную? Любую ли десятичную дробь можно перевести в обыкновенную? Об этом мы поговорим в следующий раз.

2 Comments

определение наверху неверное, т.к. произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда когда хотя-бы один из них равен нулю, а остальные не теряют смысла.

Мне понравился ход мысли Вашего учителя математики. Она расширила определение, чтобы ученики не забывали проверить, входят ли найденные корни в область допустимых значений уравнения (или неравенства).