Как решить уравнение с делением

Простые уравнения на умножение и деление. 2 класс.

Большие затруднения для младшего школьника вызывает умение решать данный вид уравнений.

Мы уже знаем, что простые уравнения – это равенства, где есть одна переменная (неизвестное число).

Во 2 классе дети учатся решать простые уравнения на умножение и деление (5 • х = 10, х: 3 = 12, 12 : х = 4)
Для решения этих уравнений правила о части и целом использовать нельзя, потому что второй множитель (х • 3 = 12) — это не часть, а число равных частей, на которое разбили целое.

Сегодня мы рассмотрим несколько вариантов решения:

1. Как никогда не путаться в выборе действий.

Если вы видите уравнение х: 4 = 8 и сомневаетесь, нужно х = 8 • 4 или х = 8 : 4, поступайте так: пишите на черновике простой пример на то действие, которое хочет вас запутать. Действие у нас – деление. Давайте напишем 6 : 2 = 3 и закроем число, которое в нашем уравнении неизвестно — это первое число, значит, закрываем число 6. И как шестерку найти, имея 2 и 3? Надо – перемножить тройку с двойкой. Значит, и в нашем уравнении нужно перемножать числа, но никак не делить:

Этот способ выручает, когда мы решаем вот такие уравнения: 4857 + у = 10208.
Большие числа часто пугают, а они живут по тем же законам, что и маленькие числа. Поэтому пишем, например 4 + 1 = 5. И закрываем число 1. Чтобы его найти, нужно из 5-и вычесть 1. Значит, 10208 – 4857:
у = 10208 — 4857
у = 5351

2. Зная правила нахождения стороны и площади прямоугольника.

3. Используя взаимосвязи между компонентами действий.

Этот способ необходим при ответе у доски.
Ученики младших классов обязаны овладеть математической речью, а для этого нужно знать, как называются компоненты при различных действиях:
Слагаемое, слагаемое, сумма.

Уменьшаемое, вычитаемое, разность.

Множитель, множитель, произведение.

Делимое, делитель, частное.

Например, в решении уравнения x • 3 = 6 объясняем так: чтобы найти первый множитель, надо значение произведения разделить на второй множитель.

В уравнении неизвестно слагаемое:

чтобы найти второе слагаемое, надо из суммы вычесть первое слагаемое:

4. Использование памятки:

Использовать памятку – самый простой и легкий способ решать простые уравнения правильно.

Данная памятка – результат многолетней работы в школе.

Поэтому вы можете ее скачать, распечатать и постоянно ей пользоваться.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.9 / 5. Количество оценок: 75

Математика. 3 класс

Конспект урока

Математика 3 класс

Урок № 45. Решение уравнений на основе связи между

результатами и компонентами умножения и деления

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Какие правила помогают решать уравнения? на основе взаимосвязи между
2. Как связаны результаты и компоненты умножения и деления?
3. Как проверить правильность решения уравнения?

Глоссарий по теме:

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти

Множитель – это компонент умножения.

Произведение – это результат умножения и выражение а * b.

Делимое – компонент деления, число которое делят.

Делитель – компонент деления, число на которое делят.

Частное – это результат действия деления, а также выражение а : b

Обязательная литература и дополнительная литература:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для

общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 20.

1. Математика. 3 класс. Часть 2. / Л. Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2013 – 96 с.: ил. с. 77.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Неизвестное число в математике обозначают буквой латинского алфавита, например икс. В математике такое равенство с переменной называют уравнение. Уравнение – это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти, чтобы равенство было верным.

Если в уравнении неизвестен делитель, то, чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

Если в уравнении неизвестно делимое, то, чтобы его найти, нужно делитель умножить на частное.

Если в уравнении неизвестен множитель, то, нужно произведение разделить на известный множитель.

Выполним тренировочные задания

№1. Выберите уравнение из предложенных равенств:

Ответ: х ∙ 5 = 40 – уравнение.

№2. К каждому уравнению первого столбца подберите соответствующее значение х.

№3. Выделите цветом уравнения, которые решаются делением.

№ 4. Расшифруйте фамилию писателя, расставляя ответы в порядке возрастания:

Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Примеры *

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Определение

Рассмотрим произвольное уравнение вида

\[a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0=0 \qquad \qquad (1)\]

где \(a_n, a_,\dots,a_0\) – некоторые числа, причем \(a_n\ne 0\) , называемое алгебраическим уравнением (с одной переменной) \(n\) -ой степени.

Обозначим \(P_n(x)=a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0\) . Таким образом, сокращенно уравнение \((1)\) можно записать в виде \(P_n(x)=0\) .

Замечание

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна \(2\) , а линейное — степень которого равна \(1\) .
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

Теорема

Если уравнение \((1)\) имеет корень \(x=x_0\) , то оно равносильно уравнению

где \(P_(x)\) – некоторый многочлен степени \(n-1\) .

Для того, чтобы найти \(P_(x)\) , необходимо найти частное от деления многочлена \(P_n(x)\) на \((x-x_0)\)
(т.к. \(P_n(x)=(x-x_0)\cdot P_(x)\) ).

Следствие: количество корней уравнения

Любое алгебраическое уравнение степени \(n\) может иметь не более \(n\) корней.

Замечание

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.

Для того, чтобы найти частное от деления одного многочлена на другой, удобно пользоваться следующим способом, который мы рассмотрим на примере.

Пример

Известно, что \(x=2\) является корнем уравнения \(2x^3-9x^2+x^4-x+6=0\) . Найдите частное от деления \(2x^3-9x^2+x^4-x+6\) на \(x-2\) .

Решение.
Будем делить многочлен на многочлен в столбик. Запишем

Заметим, что записывать слагаемые в делимом необходимо по убыванию их степеней: в данном случае сначала \(x^4\) , затем \(2x^3\) и т.д.
Подбирать слагаемые в частном будем таким образом, чтобы при вычитании уничтожить сначала четвертую степень, затем третью и т.д.
Т.к. делитель \(x-2\) состоит из двух слагаемых, то при делении в столбик будем сносить по два слагаемых.

Посмотрим, на что необходимо домножить \(x-2\) , чтобы после вычитания из \(x^4+2x^3\) полученного многочлена уничтожилось слагаемое \(x^4\,\) .
На \(x^3\) . Тогда после вычитания \(x^4+2x^3-x^3(x-2)\) останется \(4x^3\) . Снесем слагаемое \(-9x^2\) :

Теперь посмотрим, на что необходимо домножить \(x-2\) , чтобы после вычитания из \(4x^3-9x^2\) полученного многочлена уничтожилось слагаемое \(4x^3\) .
На \(4x^2\) : \(\quad 4x^3-9x^2-4x^2(x-2)=-x^2\) .
Опять снесем следующее слагаемое \(-x\) :

Рассуждая аналогично, определяем, что третье слагаемое в частном должно быть \(-x\)

Четвертое слагаемое в частном должно быть \(-3\) :

Таким образом, можно сказать, что \(x^4+2x^3-9x^2-x+6=(x-2)(x^3+4x^2-x-3)\) .

Замечание

1) Если \(x=x_0\) действительно является корнем уравнения, то после такого деления в остатке должен быть \(0\) . В противном случае это означает, что деление в столбик выполнено неверно.

2) Если многочлен делится без остатка (то есть остаток равен \(0\) ) на \(x+a\) , то он также будет делиться без остатка на \(c(x+a)\) для любого числа \(c\ne 0\) . Например, в нашем случае, если бы мы поделили многочлен, к примеру, на \(2x-4\) , то получили бы в частном \(\frac12 x^3+2x^2-\frac12x-\frac32\) .
Заметим, что также происходит и с числами: если мы разделим \(10\) на \(2\) , то получим \(5\) ; а если разделим \(10\) на \(3\cdot 2\) , то получим \(\frac53\) .

3) Деление в столбик помогает найти другие корни уравнения: теперь для того, чтобы найти остальные корни уравнения \(x^4+2x^3-9x^2-x+6=0\) , необходимо найти корни уравнения \(x^3+4x^2-x-3=0\) .
Поэтому рассмотрим несколько фактов, часто помогающих подобрать корни алгебраического уравнения.

Теорема

Если число \(x=1\) является корнем уравнения \((1)\) , то сумма всех коэффициентов уравнения равна нулю:

Доказательство

Действительно, так как \(x=1\) является корнем уравнения \((1)\) , то после подстановки \(x=1\) в него мы получим верное равенство. Так как \(1\) в любой степени равен \(1\) , то слева мы действительно получим сумму коэффициентов \(a_i\) , которая будет равна нулю.

Пример

У уравнения \(x^2-6x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю: \(1-6+5=0\) . Следовательно, \(x=1\) является корнем этого уравнения. Это можно проверить просто подстановкой: \(1^2-6\cdot 1+5=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0\) .

Теорема

Если число \(x=-1\) является корнем уравнения \((1)\) , то сумма коэффициентов при четных степенях \(x\) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях \(x\) .

Доказательство

1) Пусть \(n\) – четное. Подставим \(x=-1\) :

\(a_n\cdot (-1)^n+a_\cdot (-1)^+a_\cdot (-1)^+\dots+a_1\cdot (-1)+a_0=0 \quad\Rightarrow\) \(a_n-a_+a_-\dots-a_1+a_0=0 \quad \Rightarrow\) \(a_n+a_+\dots+a_0=a_+a_+\dots+a_1\)

2) Случай, когда \(n\) – нечетное, доказывается аналогично.

Пример

В уравнении \(x^3+2x^2-8x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю:

Значит, число \(x=1\) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик \(x^3+2x^2-8x+5\) на \(x-1\) :

\[\begin x^3+2x^2-8x+5&&\negthickspace\underline<\qquad x-1 \qquad>\\ \underline \phantom<00000000>&&\negthickspace \quad x^2 + 3x -5\\[-3pt] 3x^2 — 8x\,\phantom<000>&&\\ \underline<3x^2 - 3x\,>\phantom<000>&&\\[-3pt] -5x + 5&&\\ \underline<-5x +5>&&\\[-3pt] 0&&\\ \end\]

Таким образом, \(x^3+2x^2-8x+5=(x-1)(x^2 + 3x -5)\) . Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения \(x^2+3x-5=0\) .

Таким образом мы нашли все корни исходного уравнения.

Пример

В уравнении \(x^3-x^2+x+3=0\) сумма коэффициентов при четных степенях \(-1+3=2\) , а при нечетных: \(1+1=2\) . Таким образом, число \(x=-1\) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик \(x^3-x^2+x+3\) на \(x+1\) :

\[\begin x^3-\,x^2+ \ x+3\phantom<0>&&\negthickspace\underline<\qquad x+1 \qquad>\\ \underline \phantom<00000000>&&\negthickspace \quad x^2 -2x +3\\[-3pt] -2x^2 + x\phantom<0000>&&\\ \underline<-2x^2 -\! 2x>\,\phantom<000>&&\\[-3pt] 3x + 3&&\\ \underline<3x +3>&&\\[-3pt] 0&&\\ \end\]

Таким образом, \(x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2 — 2x +3)\) . Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения \(x^2-2x+3=0\) .
Но это уравнение не имеет корней ( \(D ), значит, исходное уравнение имеет всего один корень \(x=-1\) .

Замечание

Подбор корней таким образом, деление в столбик и разложение многочлена на множители помогают найти корни уравнения.

Существует еще одна очень важная теорема, позволяющая подобрать рациональный корень алгебраического уравнения, если таковой имеется.

Теорема

Если алгебраическое уравнение

\[a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0=0,\] где \(a_n, \dots, a_0\) — целые числа,
имеет рациональный корень \(x=\dfrac pq\) , то число \(p\) является делителем свободного члена \(a_0\) , а число \(q\) — делителем старшего коэффициента \(a_n\) .

Пример

Рассмотрим уравнение \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3=0\) .

В данном случае \(a_0=-3, a_n=2\) . Делители числа \(-3\) — это \(\pm 1, \pm 3\) . Делители числа \(2\) – это \(\pm 1, \pm 2\) . Комбинируя из полученных делителей дроби, получаем все возможные варианты рациональных корней:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32\]

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что \(\pm1\) не являются корнями. Подставив \(x=-\dfrac12\) в уравнение, получим:

\[2\cdot \dfrac1<16>+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Значит, число \(x=-\frac12\) является корнем уравнения.

Можно перебрать остальные варианты: таким образом мы найдем еще один рациональный корень уравнения \(x=3\) . Значит, уравнение можно представить в виде

\[\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text<или>\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0\] (тогда \(P_2(x)=\frac12 Q_2(x)\) ). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями.

После деления в столбик \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3\) на \((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3\) :

получим, что \(P_2(x)=x^2+1\) . Данный многочлен не имеет корней, значит, уравнение имеет только два корня: \(x=-\frac12\) и \(x=3\) .

Замечание

Заметим, что если, пользуясь предыдущей схемой, не удалось подобрать рациональный корень уравнения, это вовсе не значит, что уравнение не имеет корней.
Например, уравнение \(x^3-2=0\) имеет корень — это \(x=\sqrt[3]2\) , и он не рациональный.
Для подбора иррациональных корней не существует универсального алгоритма.

Пример

Найдите корни уравнения \(4x^3-3x^2-\frac<23>6x-1=0\) .

Заметим, что в данном уравнении не все коэффициенты – целые числа (коэффициент при \(x\) равен \(-\frac<23>6\) ). Но мы можем преобразовать данное уравнение к нужному нам виду: необходимо умножить правую и левую части уравнения на \(6\) :

\[24x^3-18x^2-23x-6=0\]
Делители свободного члена: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\) .
Делители старшего коэффициента: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\) .
Получилось достаточно много \(:)\)
Выпишем некоторые возможные рациональные корни уравнения:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm \dfrac13, \ \pm \dfrac 16, \ \pm\dfrac18, \ \pm2, \ \pm\dfrac23, \ \pm \dfrac14, \ \pm3\quad \text<\small<и т.д.>>\]

Перебирая варианты, убеждаемся, что \(\frac32\) подходит. Значит, многочлен \(24x^3-18x^2-23x-6\) должен без остатка поделиться на \(x-\frac32\) . Для удобства разделим на \(2(x-\frac32)=2x-3\) (чтобы не работать с дробями):

Таким образом, \(24x^3-18x^2-23x-6=(2x-3)(12x^2 +9x +2)\) . Уравнение \(12x^2 +9x +2=0\) в свою очередь корней не имеет. Значит, \(x=\frac32\) – единственный корень исходного уравнения.

Теорема

Любой многочлен \(P_n(x)=a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0\) можно разложить на произведение множителей: линейных ( \(ax+b, a\ne 0\) ) и квадратичных ( \(cx^2+px+q, c\ne 0\) ) с отрицательным дискриминантом.

Следствие

Кубическое уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) всегда имеет как минимум один вещественный корень, т.к. его левую часть всегда можно представить как

Замечание

На самом деле, такой вывод можно сделать о любом алгебраическом уравнении нечетной степени. Но, как правило, в школьном курсе математики крайне редко встречаются уравнения степени выше \(4\) .

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.