Как решить уравнение с косинусом и тангенсом

Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ. Именно поэтому так важна данная тема.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Уравнения и

Напомним, что — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу , а — её ордината.

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения и имеют решения только при условии .

Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

. .
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что — это множество целых чисел.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой :

Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

. .
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой :

И записываем ответ:

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение. Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Эти точки соответствуют углам Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — прибавлением целого числа углов (полуоборотов):

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ). Начинаем с косинуса.

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой :

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе серии решений можно описать одной формулой:

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :

Углы, отвечающие правой точке:

Углы, отвечающие левой точке:

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она дает обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных . Если , то

Мы получили первую серию решений . А если — нечетно, , то

Это вторая серия .

Обратим внимание, что в качестве множителя при обычно ставится правая точка, в данном случае .

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Линия тангенсов.

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников и имеем:

Мы рассмотрели случай, когда находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла равен ординате точки , которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой , соединяющей точку с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда находится во второй четверти. Тангенс угла отрицателен.

Уравнение

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение имеет решения при любом .

.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

Имеем диаметральную пару:

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
уравнение равносильно уравнению ;

при уравнение равносильно уравнению .

Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.

Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

\(\blacktriangleright\) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large>\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm\,x, \mathrm\, x\) ,
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к квадратному уравнению.

Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: \[\begin <|ccc|>\hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm\, \alpha \cdot \mathrm\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm\, \alpha=\dfrac<\sin \alpha><\cos \alpha>&&\mathrm\, \alpha =\dfrac<\cos \alpha><\sin \alpha>\\&&\\ 1+\mathrm^2\, \alpha =\dfrac1 <\cos^2 \alpha>&& 1+\mathrm^2\, \alpha=\dfrac1<\sin^2 \alpha>\\&&\\ \hline \end\]
формулы двойного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline \sin <2\alpha>=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos<2\alpha>=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin <2\alpha>&& & \cos<2\alpha>=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos<2\alpha>=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<2\mathrm\, \alpha><1-\mathrm^2\, \alpha> && & \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<\mathrm^2\, \alpha-1><2\mathrm\, \alpha>\\&&&\\ \hline \end\]

Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)

С помощью формулы \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) уравнение сводится к виду:
\(6\sin^2x+13\sin x+7=0\) . Сделаем замену \(t=\sin x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:

\(6t^2+13t+7=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\) .

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>2+2\pi n, n\in\mathbb\) .

Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)

С помощью формулы двойного угла для косинуса \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) имеем:
\(\cos4x=1-2\sin^22x\) . Сделаем эту подстановку и получим:

\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\) . Сделаем замену \(t=\sin 2x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:

\(2t^2+5t+2=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\) .

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену: \(\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac<\pi><12>+\pi n, \ x_2=-\dfrac<5\pi><12>+\pi n, n\in\mathbb\) .

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm\, x+3\mathrm\,x+4=0\)

Т.к. \(\mathrm\,x\cdot \mathrm\,x=1\) , то \(\mathrm\,x=\dfrac1<\mathrm\,x>\) . Сделаем замену \(\mathrm\,x=t\) . Т.к. область значений тангенса \(\mathrm\,x\in\mathbb\) , то \(t\in\mathbb\) . Получим уравнение:

\(t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac=0\) . Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом:

Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large>\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm\,x, \mathrm\, x\) ,
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к кубическому уравнению.

Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin <3\alpha>=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha &&& \cos<3\alpha>=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end\]

Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)

При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\) :

\(12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0\) . Сделаем замену \(\sin x=t, \ t\in[-1;1]\) :

\(6t^3-11t^2+t+4=0\) . Подбором находим, что один из корней равен \(t_1=1\) . Выполнив деление в столбик многочлена \(6t^3-11t^2+t+4\) на \(t-1\) , получим:

\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\) .

Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad <\Large>, \quad a\ne 0,c\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin^2 x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\) . Разделим, например, на \(\cos^2 x\) :

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm\,x\) сводится к квадратному уравнению:

\(at^2+bt+c=0\) , способ решения которого вам известен.

Уравнения вида \[I’. \quad <\Large>, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]

Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде

\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)

Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)

Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:

\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\) . Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\) :

\(\mathrm^2\,x+3\mathrm\,x-4=0\) и сделаем замену \(t=\mathrm\,x, \ t\in\mathbb\) . Уравнение примет вид:

\(t^2+3t-4=0\) . Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\) . Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\) . Разделим, например, на \(\cos x\) :

\(a \ \dfrac<\sin x><\cos x>+b \ \dfrac<\cos x><\cos x>=0\) , откуда имеем \(a\mathrm\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm\, x=-\dfrac ba\)

Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\) :

\(1+\mathrm\, x=0 \Rightarrow \mathrm\, x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>4+\pi n, n\in\mathbb\)

\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: \(<\large<\sin x=2\sin<\dfrac x2>\cos<\dfrac x2>, \qquad \cos x=\cos^2 <\dfrac x2>-\sin^2 <\dfrac x2>,\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 <\dfrac x2>+\cos^2 <\dfrac x2>\Big)>>\) данное уравнение сведется к уравнению \(I\) :

Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\) . Тогда уравнение примет вид:

\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\) . Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm\,x=t\) сводится к:

\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) . Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac<\sqrt3-1><\sqrt3+1>=2-\sqrt3\) . Сделаем обратную замену:

2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin<\alpha>=\dfrac<2\mathrm\, \dfrac<\alpha>2><1+\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2> &&& \cos<\alpha>=\dfrac<1-\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2><1+\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2>\\&&&\\ \hline \end\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm\, \dfrac x2\)

Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

\(\dfrac<(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3><1+t^2>=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\) , то есть всегда \(\ne 0\) )

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[<\large\,\sin (x+\phi),>> \quad \text <где >\cos \phi=\dfrac a<\sqrt>\]

Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin<(\alpha\pm \beta)>=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha &&& \cos<(\alpha\pm \beta)>=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &&&\\ \hline \end\]

Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt<1^2+(-\sqrt3)^2>=2\) :

\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac<\sqrt3>2\cos 2x=-\dfrac12\)

Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac<\sqrt3>2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac<\pi>3, \ \dfrac<\sqrt3>2=\sin \dfrac<\pi>3\) . Тогда уравнение примет вид:

\(\sin 2x\cos \dfrac<\pi>3-\sin \dfrac<\pi>3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac<\pi>3\right)=-\dfrac12\)

Решениями данного уравнения являются:

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.

\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[<\Large>, \text <где >a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[<\large<(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x>> \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.

Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\) , тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac2\) .

Заметим, что формула \((*)\) есть не что иное, как формула сокращенного умножения \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) при подстановке в нее \(A=\sin x, B=\cos x\) .

Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\) .

Вынесем общий множитель за скобки в правой части: \(3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)\) .
По формулам двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x\) имеем: \[3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x\] Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену \(t=\sin 2x+\cos 2x\) , тогда \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac2\) . Тогда уравнение примет вид: \[3t=2t^2-2 \Rightarrow 2t^2-3t-2=0\] Корнями данного уравнения являются \(t_1=2, t_2=-\dfrac12\) .

По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)\) , следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin \begin &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=2\\[1ex] &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac12 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin &\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=\sqrt2\\[1ex] &\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac1 <2\sqrt2>\end \end \right.\] Первое уравнение корней не имеет, т.к. область значений синуса находится в пределах от \(-1\) до \(1\) . Значит: \(\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac1 <2\sqrt2>\Rightarrow \left[ \begin \begin &2x+\dfrac<\pi>4=-\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+2\pi n\\[1ex] &2x+\dfrac<\pi>4=\pi+\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+2\pi n \end \end \right. \Rightarrow \)
\(\Rightarrow \left[ \begin \begin &x=-\dfrac12\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>-\dfrac<\pi>8+\pi n\\[1ex] &x=\dfrac<3\pi>8+\dfrac12\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+\pi n \end \end \right. \ \ n\in\mathbb\)

\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:

\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) :

\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)

\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :

\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)

\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\) :

\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)

\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)

\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\) :

\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\) (по первой формуле)

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a>=cos \varphi`, ` \frac b> =sin \varphi`, `\frac c>=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac <1+cos x>=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.