Как решить уравнение с логарифмом и синусом

Задача C1: логарифмы и тригонометрия в одном уравнении

19 февраля 2014

Сегодня у нас будет насыщенный урок, потому что уравнение, которое мы будем сегодня разбирать, содержит в себе и логарифмическую, и тригонометрическую функцию. Но все по порядку.

Задача C1. Решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.

На первый взгляд, задача кажется весьма нестандартной: тут и логарифмы, и тригонометрия. Но если разобраться, то окажется, что уравнения такого типа вполне под силу большинству учеников.

Решение логарифмического уравнения

Итак, нужно решить уравнение:

log₅ (cos x − sin 2 x + 25) = 2

Как видим, в первую очередь перед нами логарифмическое уравнение. Вспоминаем: как мы решаем логарифмическое уравнение? Очевидно, приводим его к каноническому виду, а именно:

log _a f ( x ) = log _a g ( x )

В нашем случае слева уже стоит логарифм по основанию 5. Следовательно, двойку тоже нужно представить в виде логарифма по тому же самому основанию 5. Вспоминаем, как это делается. С помощью нашей замечательной формулы:

Разумеется, мы можем подставить любое число b , удовлетворяющее требованиям, которые накладываются на основание логарифма:

Иначе наш логарифм просто не имеет смысла. Но какое именно b выбрать? Очевидно, что основание логарифма по нашей канонической записи должно быть равно основанию уже имеющегося логарифма, т. е. 5. Т.е. в нашем случае запишем:

Перепишем Все уравнение с учетом этого факта:

log₅ (cos x − sin 2 x + 25) = log₅ 25

Перед нами каноническое логарифмическое уравнение. В нем мы можем смело убрать знаки логарифма (т.е. просто приравнять аргументы логарифмов). Получим:

cos x − sin 2 x + 25 = 25

Решение тригонометрического уравнения

Перед нами тригонометрическое уравнение. Переносим 25 влево и получаем:

cos x − sin 2 x = 0

Теперь нам нужно решить обычное тригонометрическое уравнение. Все тригонометрические уравнения должны быть сведены к простейшему уравнению одного из трех видов:

Подобно тому, как в логарифмах есть каноническая запись, точно так же и в тригонометрии есть каноническая запись уравнений. Давайте еще раз посмотрим на наше уравнение:

cos x − sin 2 x = 0

Что-то канонической записью тут не пахнет. Во-первых, аргументы у наших тригонометрических функций разные. И это первая проблема. Следовательно, надо каким-то образом избавится от аргумента 2 x и свести его к х. Или, наоборот: сделать так, чтобы вместо переменной x стояло 2 x .

Еще раз: когда мы видим тригонометрическое уравнение, первое, что нам нужно — это постараться сделать так, чтобы во всех тригонометрических функциях были одинаковые аргументы: везде либо х, либо 2х. Любыми правдами и неправдами, любыми преобразованиями функций мы должны добиться того, чтобы аргументы были равными.

При решении тригонометрических уравнений сводите все функции к одному и тому же аргументу.

Формула синуса двойного угла

В данном случае все очень легко. Вспоминаем формулу синуса двойного угла:

sin 2 x = 2sin x · cos x

Подставляем это выражение в наше уравнение:

cos x − 2sin x · cos x = 0

Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом есть cos x . Выносим его за скобку:

cos x (1- 2sin x · 1) = 0

Кто-то скажет, что 1 в скобках писать излишне. Да, я не спорю, можно сразу записать так:

cos x (1- 2sin x ) = 0

Однако если вы только разбираетесь в тригонометрических уравнениях, то лучше использовать эту избыточность и записать ту самую единицу. Почему? Да потому что если вы не запишете 1 в конце перед скобкой, то велика вероятность, что вы забудете про единицу и в начале. В итоге у вас получится неверное выражение и, соответственно, мы получим неверный ответ.

А вот так, с дополнительной единичкой, никаких проблем не возникнет. В общем, запомните правило: если из какого-то выражения выносим переменную или функцию, вместо этой нее мы везде пишем единицу. И лишь затем, после того, как мы запишем эту конструкцию в скобках, мы можем убрать лишние единицы, если это возможно.

Рекомендую оставлять единицы на месте <<всех>> общих множителей, которые выносятся за скобку. Так вы застрахуете себя от обидных ошибок.

Разложение уравнения на множители

В нашем случае все возможно. Получим:

cos x (1- 2sin x ) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: либо cos x = 0, либо 1 − 2sin x = 0

Перед нами совокупность из двух простейших тригонометрических уравнений:

cos x = 0; 1 = 2sin x = 0.

Однако cos x = 0 — это уже каноническая запись вида cos x = a — именно так, как нужно для решения задачи. А вот второе уравнение — 1− 2sin x — нужно преобразовать. Предлагаю выразить отсюда sin x :

-2sin x = -1;
sin x = 1/2.

Мы получили окончательную совокупность:

cos x = 0; sin x = 1/2.

Таким образом, перед нами два канонических уравнения, которые легко решаются. Вспоминаем, что cos x = 0 — это частный случай, поэтому x = π/2 + π n , n ∈ Z .

Особенности решения тригонометрических уравнений с синусом

С другой стороны, sin x = 1/2 — это не частный, а общий случай. Кроме того, всем своим ученикам я рекомендую расписывать решения уравнений вида sin x = a через совокупность двух множеств:

sin x = a ⇒
x = arcsin a + 2π n , n ∈ Z;
x = π − arcsin a + 2π n , n ∈ Z .

Обратите внимание: в обоих вариантах периодом будет именно величина 2π, т.е. полный оборот на тригонометрическом круге! В нашем случае получим:

Итого мы получили совокупность из трех наборов корней:

Область определения логарифмов — считать или не считать?

Внимательные ученики наверняка заметят: изначально мы решали логарифмическое уравнение и, следовательно, должны учесть область определения логарифма. Потому что если где-то в уравнении встречается выражение вида log _a f ( x ) = log _a g ( x ), мы обязаны проверить, что f ( x ) > 0.

Почему же при решении данного уравнения мы нигде это не записали? Это же ошибка! Спокойно: в данном случае никакой ошибки нет. Требование к логарифму, чтобы аргумент был больше нуля, выполняется автоматически на следующем шаге:

cos x − sin 2 x + 25 = 25

Получается, что выражение под знаком логарифма в нашем случае должно быть равно 25. А 25 заведомо больше нуля, т. е. область определения автоматически выполняется для всех корней, которые мы получим в процессе решения уравнения.

И вообще, запомните: когда в уравнении присутствует лишь один логарифм, в аргументе которого имеется функция переменного х, можно вообще не заморачиваться с проверкой области определения, потому что эта область определения будет автоматически выполняться в процессе решения уравнения. Но это работает только для уравнений и только в том случае, если логарифм с функцией присутствует лишь в одном экземпляре на все уравнение.

Требования к области определения выполняются автоматически, если функция стоит в аргументе логарифма, а сам логарифм встречается в уравнении лишь один раз.

В нашем случае это требование выполняется, потому что мы решаем именно уравнение, а не неравенство, и логарифм с функцией в аргументе встречается только один. Собственно, исходное уравнение вообще содержит только один логарифм, поэтому считать область определения в данном случае излишне. Следовательно, мы решили уравнение — получили ответ к первой части задачи.

Отбор корней на отрезке

Переходим ко второй части задачи и находим корни, лежащие на заданном отрезке [2π; 7π/2]. Искать корни будем с помощью тригонометрического круга.

Первым делом обозначаем все три корня на тригонометрическом круге. Кроме того, отметим концы отрезка: 2π и 7π/2. Точка 2π совпадает с точкой началом отсчета, а в числе 7π/2 давайте выделим целую часть — по аналогии с обычными дробями:

Отметим полученное число на тригонометрическом круге. Теперь проведем лучи из начала координат в каждую точку. После этого ставим маркер в точку 2π и начинаем двигаться к точке 7π/2 против часовой стрелки. Получим:

1. Самый первый корень: 2π + π/6;
2. Затем — второй корень: 2π + π/2;
3. Следующий корень: 2π + 5π/6;
4. Наконец, последний корень совпадает с концом отрезка: 7π/2.

Особенности вычисления дробных корней

Ключевой момент в решении задачи таким методом состоит в том, каким образом мы отбираем корни. В первую очередь мы ставим маркер (ручку, карандаш или что там к вас) в самый левый конец отрезка — в нашем случае это 2π. Затем мы начинаем двигаться против часовой стрелки, т. е. в положительном направлении отсчета на тригонометрическом круге.

Первая точка, которую мы встречаем на своем пути, будет x = π/6. Чтобы записать корень, мы добавляем π/6 к началу отсчета 2π — это мы и записали. Идем дальше и прибавляем π/2. Потом, если идти еще дальше, мы попадаем точку 5π/6. И когда мы дойдем до конца, то обнаружим еще один корень — точку 7π/2.

Осталось посчитать те три корня из четырех, которые мы записали в виде выражения, потому что оставлять их в таком нерассчитанном виде нехорошо. Давайте посчитаем:

С последним корнем 7π/2 никаких дополнительных преобразований проводить не нужно — он уже рассчитан. Итого при отборе корней из всего бесконечного множества, разделенного на три набора, которые мы получили при решении нашего уравнения, остались лишь четыре конкретных корня:

Заключительные выкладки

Вот и все — задача решена. Как ни странно, решение получилось довольно простым, хотя изначально уравнение выглядело весьма угрожающе: в нем есть и логарифм, и тригонометрические функции. А получилось, что любой среднестатистический ученик вполне в состоянии справится с такими уравнениями.

И это правда. Достаточно помнить два простых факта:

1. Логарифмические уравнения мы всегда стараемся привести к каноническому виду: log_a f(x) = log_a g(x) — основания должны быть одинаковыми.
2. Тригонометрические уравнения тоже сводятся к каноническому виду. Точнее, к одной из трех моделей: sin x = a; cos x = a; tg x = a.

Однако нашем случае на пути к каноническому виду есть одна заминка. Дело в том, что в одной из функций, а именно sin 2 x , присутствует аргумент 2 x , в то время как в cos x есть только переменная х. Следовательно, придется вспомнить формулу двойного угла: sin 2 x = 2sin x · cos x — и уже на основании этой формулы наше исходное уравнение легко раскладывается на множители, откуда возникают канонические уравнения.

В общем, все, что требуется для решения уравнений подобного вида — это научиться работать с логарифмами, выучить несколько тригонометрических формул (особенно это касается формул синуса и косинуса двойного угла) и, конечно, не бояться преобразовать наше уравнение для того, чтобы получить красивые и легко решаемые конструкции.

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

Опубликовано 16.09.2020Подготовка к ЕГЭ

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

На сегодняшний день ЕГЭ по математике проходит в форме решения заданий, содержащихся в контрольно-измерительных материалах, при этом, ответы на задания выносят на отдельный бланк.

Уравнения могут быть следующих видов:

В данной статье рассмотрена профильная математика, а именно раздел по видам и системам рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений.

При решении уравнений нужно помнить основные термины:

— Корнем уравнения называют неизвестное число, которое нужно найти;

— Решение уравнения предполагает нахождение его корня;

— Уравнения, у которых совпадают решения называют равносильными;

— ОДЗ – область допустимых значений;

— Если возможно заменить переменные, то нужно это выполнить;

— После решения уравнения необходимо провести проверку на правильность нахождения корня.

Итак, рассмотрим каждый вид уравнений по отдельности, включая примеры решения.

1. Рациональные уравнения – уравнения, у которых, как правило, слева расположено рациональное выражение, а справа – ноль.

Рациональным уравнением называют уравнение вида r(х)=0.

Если обе части уравнения являются рациональными выражениями, то рациональные уравнения называют целыми.

Дробно-рациональным называют уравнение, которое содержит дробное выражение.

Порядок действий при решении данного вида уравнения должен быть следующий:

— Все члены должны быть переведены в левую часть уравнения;

— Данную часть уравнения нужно представить в виде дроби p(x)/q(x);

— Для полученного решения нужно провести проверку, то есть.

При решение этого рационального уравнения понадобится формула (а-в)2=а2-2ав+в2.

Рассмотрим ещё один пример решения рационального уравнения:

На основе примеров показано, что рациональные уравнения могут быть с разным количеством переменных.

Иррациональными уравнениями считают уравнения с переменной под корнем. Для того, чтобы определить является ли уравнение иррациональным нужно просто посмотреть на корень переменной. Следует учитывать, что в некоторых учебниках по математике иррациональное уравнение определяют другим способом.

Способы решения таких уравнений:

— Возвести в степень обе части уравнения;

— Ввести новые переменные;

Пример решения уравнения по первому способу:

Пример решения по второму способу:

1. Показательные уравнения

Показательные уравнения – уравнение, содержащее неизвестный показатель.

В учебниках по математике разных авторов определение показательного уравнения может отличаться. Обычно такие отличия касаются незначительных деталей.

Как правило, это уравнения вида af(x)=ag(x), где а не равно одному и число а больше нуля. Из этого следует, что f(x)=g(x).

— Уравнение с одним основанием;

— Уравнение с равными основаниями.

Существует следующие способы решения таких уравнений:

— Использовать метод логарифмов;

— Привести уравнение к квадратному виду;

— Вынести за скобку общий множитель;

— Ввести новую переменную.

Итак, как решить показательное уравнение? Любое по сложности уравнение нужно привести в простую форму.

Рассмотрим наиболее простой пример решения показательного уравнения:

Для решения данного уравнения следует 2 возвести во вторую степень.

Решение даже простейших показательных уравнений имеет большую значимость. Поэтому далее вам будет легче решать уравнения более сложного уровня.

Данная тема является одной из самых сложных, поэтому следует внимательно подойти к изучению данной темы. Известны три формулы тригонометрических уравнений, запомнить которые не составляет особой сложности.

Наиболее простое тригонометрическое уравнение имеет вид sin x=a, cos x=a, tg x=а, а – число действительное.

Способы решения таких уравнений:

— Решение с помощью форму и приведение к простейшему;

— Ввод других переменных;

— Разложить уравнение по множителям.

Пример решения тригонометрического уравнения:

Здесь нужно рисовать окружность, далее выделить точки с координатой ½, соответственно, это точки 5п/6 и п/6. Если пройти по окружности, исходя из данных точек, то х=п/6+2пk, x=5п/6+2пn. При этом синус и косинус принадлежат промежутку [-1;1]. Если при решении уравнения в его правой части стоит число не принадлежащее промежутку, считается, что уравнение не имеет решения.

Также рассмотрим пример решения уравнения, разложив его по множителям.

Нужно применить формулу sin2x = 2sinxcosx.

2sinxcosx – sinx = 0.

sinx (2cosx – 1) = 0.

Таким образом, если один из множителей равен нулю, то решение уравнения также равно нулю.

Далее, sinx=0, x=пk.

1. Логарифмические уравнения

Особое значение имеет подготовка ЕГЭ по математике логарифмы, это обусловлено тем, что в КИМах чаще всего встречаются именно этого вида уравнения.

Логарифмическое уравнение – это уравнение с неизвестной величиной, находящейся внутри логарифма.

Примерами логарифмических уравнений являются уравнения следующего вида:

Способы решения уравнений данного вида:

— Применять способ уравнивания к единице;

— Применять способ умножать на единицу;

— Применять доступные правила логарифмов;

— Введение другого основания;

— Возвести в степень.

Самым простым логарифмическим уравнением принято считать уравнение вида log a x = b, при этом основание a>0,a≠1.

Пример решения уравнения:

Сначала следует найти значение области, то есть ОДЗ. При этом нужно помнить, что под логарифмом выражение всегда положительное. Воспользуемся логарифмическим определением, представим х степью основания 2 логарифма, степень будет равна 3.

Решение уравнения является ОДЗ, то есть корень уравнения найден.

Таким образом, подобное задание ЕГЭ по математике легко можно решить, зная логарифмы и способы их решения.

Оставить Комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Выбери тему

Самые популярные записи

• Наука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (3 293)
• ЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (2 238)
• Строение растения. Стебель, лист и цветок. (2 196)
• Свобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (2 189)

StudyWay

Помощь

© 2021 StudyWay. Все права защищены.

Ты можешь попробовать 3 наших закрытых занятия из курса «Прорыв».

Записаться можно через Instagram

Для этого напиши в Direct (в личку) кодовое слово «Пробный«

Что за курс и что тебя там будет ждать?

12 мощнейших онлайн занятий по 2 часа в формате вебинаров.
Содержание вебинара: повторение предыдущей темы, теория, перерыв и практика.

Воркбук (рабочая тетрадь)абсолютно к каждому уроку со всей необходимой теорией к этой теме и практикой.

Личный куратор — это твой помощник во всех учебных вопросах.
Они занимаются проверкой твоих домашних заданий, поддерживают и мотивируют двигаться дальше, даже когда хочется сдаться.

На собственной онлайн платформе тебя ждут
Домашние задания, которые необходимо решать после каждого занятия.
Все задания построены на базе создателей ЕГЭ — Котова / Лискова.

К каждому тестовому вопросу будет подробный разбор от главного куратора.
А задания, где необходимо оценить ответ (вторая часть) — будет проверять твой личный куратор и писать подробный комментарий про ошибки

Общий чат единомышленников, поделенный на команды.
Название даете совместно (например «Воробушки»)

Ты будешь двигаться сообща с однокурсниками, поддерживая и мотивируя друг друга.
За лучшую командную успеваемость всей команде будут выделены призы в конце каждого месяца (скидка на обучение, стикерпаки и т.д).

Личный помощник — это твой верный друг и помощник, который поможет тебе со всеми техническими вопросами, ответит на вопросы про поступление, да и просто может обсудить какие-то личные вопросы, поделиться переживаниями.

Доступ к уникальной «Академии косатиков».

Там ты сможешь найти:
Банк теории, банк планов, банк аргументов, курсы по работе со всей второй частью, термины, курсы по саморазвитию, полезные лайфхаки и всю подробную информация о ЕГЭ.

Игровая система на нашей платформе StudyWay👇

За выполнение заданий получаешь баллы (XP).

При достижении нового уровня у тебя открываются новые персонажи из Marvel, DC Comics, Игра престолов и Star Wars, а также на каждом новом уровне тебя ждут призы от нашей школы.

Основная ценность курса
1. Изучение теории и практики с учетом изменений в ЕГЭ 2022
2. Заложение фундамента и основы предмета
3. Прохождение всей теории для первой части
4. Нарешивание всех возможных типов заданий
5. Повышение результата с 0 до 60 баллов

Отличия тарифа «Стандарт от «Профи».

Дополнительные домашние задания
необходимо выполнять. Это значительно повысит твою успеваемость и улучшит показатели.

Дополнительное объяснение
твой личный куратор объяснит тебе тему повторно, если останется что-то не понятным

Групповые зачеты
у тебя будут зачеты с твоим личным куратором в мини группах по 5 человек. Там спрашиваются пройденные темы, термины и так далее.

Карта памяти
будешь восполнять все пройденные в удобной интеллект карте и в конце учебы у тебя выйдет файл с полноценной теорией по всем темам и разделам.

Персональный звонок куратору
1 раз в месяц ты можешь позвонить своему куратору и обсудить все волнующие тебя вопросы в течении 20 минут.

Секретный квест
1 раз в месяц ты будешь созваниваться с другим учеником курса и проводить совместные зачеты, тем самым познакомишься с новыми ребятами из других городов, уберешь страхи знакомства, повторишь и закрепишь пройденные темы.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение логарифмических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение. Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> ln(b) или log(b) или log(e,b) — натуральный логарифм числа b
log(10,b) — десятичный логарифм числа b
log(a,b) — логарифм b по основанию a

Введите логарифмическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Логарифмическая функция. Логарифмы

Задача 1. Найти положительный корень уравнения x 4 = 81
По определению арифметического корня имеем \( x = \sqrt[4] <81>= 3 \)

Задача 2. Решить уравнение 3 x = 81
Запишем данное уравнение так: 3 x = 3 4 , откуда x = 4

В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3 x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
Уравнение a x = b, где a > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа b no основанию a и обозначают log_ab
Например, корнем уравнения 3 x = 81 является число 4, т.е. log₃81 = 4.

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, \( a \neq 1 \), называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b

log₇7 = 1, так как 7 1 = 7

Определение логарифма можно записать так:

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.

Вычислить log₆₄128
Обозначим log₆₄128 = х. По определению логарифма 64 x = 128. Так как 64 = 2 6 , 128 = 2 7 , то 2 6x = 2 7 , откуда 6x = 7, х = 7/6.
Ответ log₆₄128 = 7/6

Вычислить \( 3^ <-2\log_3 5>\)
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

Решить уравнение log₃(1-x) = 2
По определению логарифма 3 2 = 1 — x, откуда x = -8

Свойства логарифмов

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть а > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

Десятичные и натуральные логарифмы

Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
lg b вместо log₁₀b

Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо log_eb

Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
$$ e = 1 + \frac<1> <1>+ \frac<1> <1 \cdot 2>+ \frac<1> <1 \cdot 2 \cdot 3>+ \dots + \frac<1> <1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n>+ \dots $$

Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию.
Для этого используется формула замены основания логарифма:

Следствия из формулы замены основания логарифма.
При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
$$ \log_a b = \frac<\lg b> <\lg a>, \;\; \log_a b = \frac<\ln b> <\ln a>$$

Логарифмическая функция, её свойства и график

В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
y = log_ax
где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1 \)

Логарифмическая функция обладает свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.

2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

3) Логарифмическая функция не является ограниченной.

4) Логарифмическая функция y = log_ax является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если a > 1,
и убывающей, если 0 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при х > 1,
отрицательные при 0 1.

Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = log_ax

Отметим, что график любой логарифмической функции y = log_ax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Логарифмическая функция y = log_ax и показательная функция y = a x , где a > 0, \( a \neq 1 \), взаимно обратны.

Логарифмические уравнения

Решить уравнение log₂(x+1) + log₂(x+3) = 3
Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма верно равенство
log₂((x+1)(x+3)) = 3
Из этого равенства по определению логарифма получаем
(x+1)(x+3) = 8
х 2 + 4х + 3 = 8, т.е. х 2 + 4x — 5 = 0, откуда x₁ = 1, х₂ = -5
Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.
Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.
Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем
log₂(1+1) + log₂(1+3) = log₂2 + log₂4 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого уравнения.
Ответ x = 1

Решить уравнение lg(2x 2 — 4x + 12) = lg x + lg(x+3)
По свойству логарифмов
lg(2x 2 — 4x + 12) = lg(x 2 + 3x)
откуда
2x 2 — 4x + 12 = x 2 + 3x
x 2 — 7x + 12 = 0
x₁ = 3, х₂ = 4
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x₁ = 3, х₂ = 4

Решить уравнение log₄(2x — 1) • log₄x = 2 log₄(2x — 1)
Преобразуем данное уравнение:
log₄(2x — 1) • log₄x — 2 log₄(2x — 1) = 0
log₄(2х — 1) • (log₄ x — 2) = 0
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
1) log₄ (2х — 1) = 0, откуда 2х — 1 = 1, х₁ = 1
2) log₄ х — 2 = 0, откуда log₄ = 2, х₂ = 16
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x₁ = 1, х₂ = 16