Статья «Будущее математики-это уравнение с пятью неизвестными»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
ГОУ СПО ЛНР «Луганский строительный колледж»
Л.В. Еськова, преподаватель математики
БУДУЩЕЕ МАТЕМАТИКИ — ЭТО УРАВНЕНИЕ С ПЯТЬЮ НЕИЗВЕСТНЫМИ…
Что ожидает математику в будущем? Эпоха великих математических открытий или математика от догматики определений перейдет к математике динамических систем? Н а стыке каких наук будет активно развиваться математика в ближайшие 20-30 лет?
Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук.
Такой прием исследования является для математиков некоторым образом профессиональным. Ведь они привыкли экстраполировать , т. е. выводить будущее из прошедшего и настоящего, а так как ценность этого приема хорошо известна, то велика вероятность надежности тех результатов, которые могут быть получены с его помощью.
Последнее время прогнозы развития цивилизации основываются на математических (компьютерных) расчётах, и часто эти прогнозы пессимистичны. Сбудутся эти прогнозы или нет, но будущее чистой математики должно разительно отличаться от ее прошлого. В 1875 году любой грамотный математик мог полностью усвоить доказательства всех существовавших на тот период теорем за несколько месяцев. В 1975 году, за год до того, как была доказана теорема о четырех цветах, об этом уже не могло быть и речи, однако отдельные математики еще могли теоретически разобраться с доказательством любой известной теоремы. К 2075 году многие области чистой математики будут построены на использовании теорем, доказательства которых не сможет полностью понять ни один из живущих на Земле математиков — ни в одиночку, ни коллективными усилиями. Многие математики будут по-прежнему доказывать теоремы традиционными методами, но это будут уже лишь отдельные ностальгические островки в океане новой математической дисциплины. Будет широко применяться формальная проверка сложных доказательств, однако достижение общественного консенсуса будет столь же распространенным условием для принятия того или иного результата, что и строгое доказательство. Возможно также, что к тому времени грань между математикой и другими науками сотрется настолько, что философские вопросы об уникальном статусе предмета математики станут анахронизмом.
Большая часть современных технологий основана на математике — когда мы говорим о цифровой экономике или новом технологическом укладе, надо понимать, что это потребует работы математиков и хорошей математической подготовки людей многих других профессий.
Доктор физико-математических наук, заведующий отделом моделирования нелинейных процессов Института прикладной математики РАМ им. Келдыша Г.Г. Малинецкий на конференции по математическому моделированию истории сказал: «Еще великий Гаусс хотел вывести уравнения для общественной жизни, чтобы прогнозировать будущее. И потом такие попытки предпринимались неоднократно, но безуспешно. История оказалась слишком сложной даже для всемогущей математики». Сейчас на альянс истории и математики появился спрос. Дело в том, что человечество становится все более могущественным, и каждое его неверное движение может привести уже в ближайшем будущем к последствиям, которые могут оказаться катастрофическими как для него, так и всей планеты. Поэтому нельзя и дальше учиться методом проб и ошибок. Нужно заранее знать, к чему приведет каждый шаг. Заглянуть в это будущее должен помочь союз математики и истории.
Великий философ Кант говорил: в каждой области знаний столько науки, сколько в ней математики. Конечно, наивно думать, что кто-то составит уравнение революций или проведения реформ. Но историк в союзе с математиком уже способны дать конкретные ответы на многие конкретные вопросы. Например, почему так часто были властные перевороты в Древнем Египте или Китае? Или почему Великий шелковый путь возникал и исчезал с удивительной периодичностью? Причем это будут не десять вариантов ответа, а всего 1-2. То есть история перестает быть наукой мнений, становится точной, формализованной. Нередко именно математики помогают историкам составлять модели исторических событий, основываясь на своем богатом опыте. Оказалось, что самые разные, вроде бы совсем далекие друг от друга процессы, скажем, в химии, биологии, социологии, астрономии, энергетике описываются одними и теми же уравнениями. Поэтому, увидев определенные аналогии, математик может подсказать специалисту, как строить модель событий. И результаты получаются совершенно неожиданные. Получается, что имея самую прекрасную модель прошлого, можно прогнозировать будущее.
Чтобы с помощью математических моделей заглядывать в будущее, надо найти в прошлом период, примерно аналогичный нынешнему. И имея для него математическую модель, проиграть на ней самые разные варианты событий, в зависимости от действий власти, общества, внешних факторов и т.д. Тогда можно выбирать тот путь развития, который представляется оптимальным.
Когда закончится экономический кризис? Наступит ли глобальное потепление? Когда начнется III мировая война? Обращаться к экстрасенсам или гадалкам не обязательно, на эти вопросы вполне может обоснованно ответить математическая статистика. Но при одном условии – наличии массива данных для анализа.
Когда в опытно-конструкторском бюро имени П.О. Сухого спросили: «Расскажите, какой самолет нужен через 30 лет?», то получили ответ: «Конструкторы не могут этого сделать. Это могут сделать только математики, специалисты по прогнозам». И эта работа была сделана. И эти самолеты сейчас летают.
Более того, оказалось, что математика, прикладная математика, она в состоянии найти месторождения, самые экзотические. Было найдено несколько крупных месторождений золота благодаря тому, что были предложены новые алгоритмы поиска. Это стало возможным благодаря построению компьютерной модели усилиями геологов и математиков.
Джею Форрестеру , американскому системному аналитику и его команде предложили заглянуть в будущее. Он сделал очень простую вещь. Он взял ключевые переменные, которыми характеризуют человечество, а именно: ресурсы, основные фонды, доля фондов в сельском хозяйстве, качество жизни, уровень загрязнения — и связал их системой уравнений. Он связал их так, чтобы они идеально повторяли траекторию до 1970 года. То, что он увидел, изображено на рис.1. Что происходит? При сохранении технологий ресурсов становится все меньше, нам нечем расплатиться за то, чтобы окружающую среду должным образом очищать и оберегать. Ну и дальше начинается коллапс. Среда становится хуже, ресурсы — дороже, ну и так далее. Коллапс к 2050 году.
Развитие всё более совершенного и мощного компьютерного программного обеспечения, не оставляет сомнений в том, что вероятность появления ученых, способных охватить умом все аспекты сложного математического доказательства, неуклонно стремится к нулю. Двадцатый век полностью обеспечил условия решительного и необратимого изменения природы математических исследований. Чистая математика всё еще остается наиболее достоверной отраслью знаний, но ее притязания на уникальный статус становятся всё менее обоснованными.
Вот почему постепенно все большую и большую роль в выполнении математических вычислений, начиная от самых простых и кончая самыми сложными, стали играть ЭВМ и позже ПК. Стало зарождаться новое понятие и направление на стыке математики и новых информационных технологий — компьютерная математика. Важно отметить, что компьютерная математика является частью прикладной и классической математики. Широкое распространение получили системы математического моделирования природных и общественных явлений, систем и устройств. Постепенно в сферу систем компьютерной математики проникают средства реализации виртуальной реальности, искусственного разума и искусственного интеллекта.
Применение систем компьютерной математики нередко становится именно той «палочкой-выручалочкой», которая столь необходима всем, кто не имеет возможности и времени регулярно практиковаться в математических расчетах, но кто хоть иногда нуждается в их эффективном применении. Однако всегда надо помнить, что это применение должно быть грамотным, что предполагает достаточно глубокие знания основ математики .
Возможность применять математические методы и компьютерные технологии для решения задач естествознания, техники, экономики, социальных наук и управления, создавать математические, информационные, имитационные модели систем и процессов и использовать математические и компьютерные методы исследований при анализе современных естественнонаучных, экономических, социально-политических процессов вот чем уже занимается математика будущего — компьютерная математика.
А возможно, что будущее математики в том, о чём пишет в своей книге «Эволюция, нейронные сети, интеллект» В.Г. Редько. Автор занимается эволюционным моделированием интеллекта, то есть восстановлением хода эволюции интеллекта, что в свою очередь является своеобразным способом познать работу интеллекта в принципе. И уже одна вещь, упоминаемая там, заставляет задуматься: он приводит замечание, что условный рефлекс, вырабатываемый животными, по своему устройству напоминает правило вывода modus ponens в логике. Уже на этом моменте можно выдвинуть гипотезу: может стоит искать начала логики и математики в природе нашего мозга? Даже Кант сомневался в том, что мозг черпает законы Природы из наблюдений за ней, и, что скорее, он ей предписывает свои (т.е. своей работы) законы. Впрочем, дальше можно длинно и глубоко философствовать.
«. То обстоятельство, что мы вступили в век автоматизации процессов познания, позволяет нам считать, что пройден рубеж, который искусственно сдерживал границы математики, когда лозунг развития естествознания гласил мир устроен просто».
Математические описания различных систем и их взаимозависимостей еще ждут своих первооткрывателей. Философия исчезнет, как мертворожденный пережиток прошлого. Математика, с присущей ей абсолютной абстрактностью, будет единственным центром объединения всех наук. Математика коренным образом изменит представление человека об окружающем мире.
В завершение зададимся вопросом, какие еще кризисы могут ждать математику в обозримом будущем. Одна из возможностей состоит во вскрытии внутреннего противоречия в математических рассуждениях такой сложности, о которой никто и помыслить не может. Можно попытаться представить себе противоречие в результате ошибки, заложенной на уровне глубже человеческого понимания или превышающем вычислительные возможности мощнейших компьютеров. Кто-то скажет, что до этого еще далеко, однако с компьютерными шахматными программами нечто подобное уже происходит: иногда они делают такие ходы, что никто из гроссмейстеров не находит им логического объяснения. Компьютер, конечно, обоснует любой свой ход тем, что из миллиардов рассмотренных комбинаций именно он с наибольшей вероятностью приводит к успеху в партии. Однако это не означает, что выбранный компьютером ход действительно лучший, поскольку варианты просчитывались по алгоритмам, заданным человеком. Если нечто подобное произойдет, нам останется лишь признать нашу ограниченность как биологического вида и очертить пределы возможностей нашего интеллекта — и не только в математике.
В. М. Глушков Гносеологические основы математизации науки. — Киев : Наук. думка. -25 с. 184
В. П. Дьяконов, И. В. Абраменкова, А. А. Пеньков Новые информационные технологии: Учебное пособие. Часть 3. Основы математики и математическое моделирование. Смоленск: СГПУ, 2003. — 192 с. с рис.
Г.Г.Малинецкий Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. М.: Либроком ,2009. – 132 с.
А. Пуанкаре. О науке. Наука и метод. М.: Наука. 1990
В. Г. Редько «Эволюция, нейронные сети, интеллект: Модели и концепции эволюционной кибернетики»
Калькулятор онлайн. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.
С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Ввод дробного числа в виде десятичной дроби. При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой : Ввод: -2.34 Результат: \( -2<,>34 \)
Ввод: -1,15 Результат: \( -1<,>15 \)
Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби. В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число. Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: / Ввод: -2/3 Результат: $$ -\frac<2> <3>$$
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: & Ввод: 5&8/3 Результат: $$ 5\frac<8> <3>$$ Помните, что на ноль делить нельзя!
RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax Сюда ввести строку с GET параметрами :
Немного теории.
Системы линейных алгебраических уравнений
Основные определения
Система \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида \( \left\< \begina_<11>x_1 + a_<12>x_2 + \cdots + a_<1n>x_n = b_1 \\ a_<21>x_1 + a_<22>x_2 + \cdots + a_<2n>x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_x_1 + a_x_2 + \cdots + a_x_n = b_m \end \right. \tag <1>\)
Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от \(n\) переменных \( x_1 , \ldots x_n \), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.
Числа \(a_ \in \mathbb \) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения \(i\) и номером неизвестного \(j\). Действительные числа \( b_1 , \ldots b_m \) называют свободными членами уравнений.
СЛАУ называют однородной, если \( b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 \). Иначе её называют неоднородной.
Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных \( x_1^\circ, \ldots , x_n^\circ \), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.
Решить СЛАУ — значит решить две задачи: — выяснить, имеет ли СЛАУ решения; — найти все решения, если они существуют.
СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.
Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При \(m=n\), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.
Формы записи СЛАУ
Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.
Рассматривая коэффициенты \(a_\) СЛАУ при одном неизвестном \(x_j\) как элементы столбца, а \(x_j\) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ: \( \begin a_ <11>\\ a_ <21>\\ \vdots \\ a_ \end x_1 + \begin a_ <12>\\ a_ <22>\\ \vdots \\ a_ \end x_2 + \ldots + \begin a_ <1n>\\ a_ <2n>\\ \vdots \\ a_ \end x_n = \begin b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end \) или, обозначая столбцы соответственно \( a_1 , \ldots , a_n , b \), \( x_1 a_1 + x_2 a_2 + \ldots + x_n a_n = b \tag <2>\)
Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.
Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).
Приведенные рассуждения показывают, что задачи : а) решения СЛАУ (1) б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\) являются просто различной формой записи одной и той же задачи.
Критерий совместности СЛАУ
«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).
Матрицу \( A = \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end \) называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу \( (A|B) = \left( \begina_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>& b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & b_m \end \right) \) расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.
Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ \(AX=B\) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы \(A\) был равен рангу её расширенной матрицы \( (A|B) \).
Формулы Крамера
Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера : $$ x_i = \frac<\Delta_i> <|A|>\;,\quad i=\overline <1,n>\tag <3>$$ где \(\Delta_i\) — определитель матрицы, получающейся из матрицы \(A\) заменой \(i\)-го столбца на столбец свободных членов.
Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.
Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.
Однородные системы
Теорема. Если столбцы \( X^<(1)>, X^<(2)>, \ldots , X^ <(s)>\) — решения однородной СЛАУ \(AX=0\), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.
Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.
Естественно попытаться найти такие решения \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(s)>\) системы \(AX=0\), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.
Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.
При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице \(A\) однородной СЛАУ \(AX=0\) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.
Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ \(AX=0\) с \(n\) неизвестными и \( \textA = r \). Тогда существует набор из \(k=n-r\) решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.
Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.
Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой : $$ X = c_1X^ <(1)>+ \ldots + c_kX^ <(k)>$$ где постоянные \( c_i \;, \quad i=\overline <1,k>\), принимают произвольные значения.
Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.
Неоднородные системы
Рассмотрим произвольную СЛАУ \(AX=B\). Заменив столбец \(B\) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ \(AX=0\), соответствующую неоднородной СЛАУ \(AX=B\). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.
Теорема. Пусть столбец \(X^\circ\) — некоторое решение СЛАУ \(AX=B\). Произвольный столбец \(X\) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление \(X = X^\circ + Y \), где \(Y\) — решение соответствующей однородной СЛАУ \(AY=0\).
Следствие. Пусть \(X’\) и \(X»\) — решения неоднородной системы \(AX=B\). Тогда их разность \( Y = X’ — X» \) является решением соответствующей однородной системы \(AY=0\).
Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.
Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение \(X^\circ\) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.
Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть \(X^\circ\) — частное решение СЛАУ \(AX=B\) и известна фундаментальная система решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) соответствующей однородной системы \(AX=0\). Тогда любое решение СЛАУ \(AX=B\) можно представить в виде $$ X = X^\circ + c_1 X^ <(1)>+ c_2 X^ <(2)>+ \ldots + c_k X^ <(k)>$$ где \( c_i \in \mathbb \;, \quad i=\overline <1,k>\). Эту формулу называют общим решением СЛАУ.
