Как решить уравнение син квадрат

Простейшие тригонометрические уравнения

п.1. Решение простейших тригонометрических уравнений

Про аркфункции (обратные тригонометрические функции) и их свойства – см. §9-11 данного справочника.
Обобщим результаты решения простейших уравнений, полученные в этих параграфах.

Частные случаи, для которых запись результата отличается от общей формулы:

\begin sinx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ x=(-1)^k arcsin\frac<\sqrt<2>><2>+\pi k=(-1)^k\frac\pi4+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin x_1=\frac\pi4+2\pi k\\ x_2=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \end

\begin ctgx=3\\ x=arcctg3+\pi k\Leftrightarrow x=arctg\frac13+\pi k \end

п.2. Решение уравнений с квадратом тригонометрической функции

К простейшим также можно отнести уравнения вида:

\begin cos^x=\frac14\\ x=\pm arccos\frac12+\pi k=\pm\frac\pi3+\pi k \end

\begin tg^2x=1\\ x=\pm arctg1+\pi k=\pm\frac\pi4+\pi k \end

п.3. Различные формы записи решений

Как известно, в тригонометрии все функции связаны между собой базовыми отношениями (см. §12 данного справочника). Если нам известна одна из функций, мы можем без труда найти все остальные. Преобразования в уравнениях приводят к тому, что решение может быть записано через любую из этих функций.
Кроме того, понижение степени или универсальная подстановка (см. §15 данного справочника) приводят к увеличению или уменьшению исходного угла в 2 раза, и ответ может оказаться очень непохожим на решения, полученные другими способами для того же уравнения.

Решим уравнение \(sin^2x=0,64\) Для квадрата синуса решение имеет вид: \begin x=\pm arcsin\sqrt<0,64>+\pi k=\\ =\pm arcsin0,8+\pi k \end На числовой окружности этому решению соответствуют 4 базовых точки, которые можно представить по-разному: \begin x=\pm arcsin0,8+\pi k=\\ =\pm arccos0,6+\pi k=\\ =\pm arctg\frac43+\pi k \end

Если решать уравнение с помощью формулы понижения степени, получаем: \begin sin^2x=\frac<1-cos2x><2>=0,64\Rightarrow 1-cos2x=1,28\Rightarrow cos2x=-0,28\Rightarrow\\ \Rightarrow 2x=\pm arccos(-0,28)+2\pi k\Rightarrow x=\pm\frac12 arccos(-0,28)+\pi k \end Если же решать уравнение с помощью универсальной подстановки: \begin sin^2x=\left(\frac<2tg\frac<2>><1+tg^2\frac<2>>\right)^2=0,64\Rightarrow\frac<2tg\frac<2>><1+tg^2\frac<2>>=\pm 0,8\Rightarrow 1+tg^2\frac<2>=\pm 2,5tg\frac<2>\Rightarrow\\ \left[ \begin tg^2\frac<2>+2,5tg\frac<2>+1=0\\ tg^2\frac<2>-2,5tg\frac<2>+1=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \left(tg\frac<2>+2\right)\left(tg\frac<2>+\frac12\right)=0\\ \left(tg\frac<2>-2\right)\left(tg\frac<2>-\frac12\right)=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin tg\frac<2>=\pm 2\\ tg\frac<2>=\pm\frac12 \end \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin x=\pm arctg2+2\pi k\\ x=\pm 2arctg\frac12+2\pi k \end \right. \end Таким образом, решая одно и то же уравнение, мы получаем очень разные по виду ответы. Однако, при проверке, все полученные множества решений совпадают.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение обычным способом и с помощью универсальной подстановки. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) \(sin x=\frac<\sqrt<3>><2>\)

Обычный способ: \begin x=(-1)^k arcsin\frac<\sqrt<3>><2>+\pi k=(-1)^k\frac\pi3 +\pi k \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left[ \begin x=\frac\pi3+2\pi k\\ x=\frac<2\pi><3>+2\pi k \end \right. \end 2 базовых точки на числовой окружности.

Универсальная подстановка: \begin sinx=\frac<2tg\frac<2>><1+tg^2\frac<2>>\Rightarrow 1+tg^2\frac<2>=\frac<2tg\frac<2>><\sqrt<3>/2>\Rightarrow tg^2\frac<2>-\frac<4><\sqrt<3>>tg\frac<2>+1=0\\ D=\left(-\frac<4><\sqrt<3>>\right)^2-4=\frac<16><3>-4=\frac43,\ \ tg\frac<2>=\frac<\frac<4><\sqrt<3>>\pm\frac<2><\sqrt<3>>><2>\Rightarrow \left[ \begin tg\frac<2>=\frac<1><\sqrt<3>>\\ tg\frac<2>=\sqrt <3>\end \right. \\ \left[ \begin \frac<2>=\frac\pi6+\pi k\\ \frac<2>=\frac\pi3+\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi3+2\pi k\\ x=\frac<2\pi><3>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k\frac\pi3+\pi k \end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \((-1)^k\frac\pi3+\pi k\)

Обычный способ: \begin 2x=\pm arccos\frac12+2\pi k\Rightarrow\\ x=\pm\frac12\left(arccos\frac12+2\pi k\right)=\\ =\pm\frac12\cdot\frac\pi3+\pi k=\pm\frac\pi6+\pi k \end 4 базовых точки на числовой окружности.

Универсальная подстановка: \begin cos2x=\frac<1-tg^2x><1+tg^2x>=\frac12\Rightarrow 2(1-tg^2x)=1+tg^2x\Rightarrow 3tg^2x=1\Rightarrow tgx=\pm\frac<1><\sqrt<3>>\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(\pm\frac\pi6+\pi k\)

в) \(sin\left(\frac<2>+\frac\pi3\right)=1\)
Обычный способ: \begin \frac<2>+\frac\pi3=\frac\pi2+2\pi k\Rightarrow \frac<2>=\frac\pi2-\frac\pi3+2\pi k=\frac\pi6+2\pi k\Rightarrow x=\frac\pi 3+4\pi k \end Одна базовая точка на числовой окружности с периодом \(4\pi\).
Универсальная подстановка: \begin sin\left(\frac<2>+\frac\pi3\right)=\frac<2tg\frac<\frac<2>+\frac\pi3><2>><1+tg^2\frac<\frac<2>+\frac\pi3><2>>=1\Rightarrow tg^2\left(\frac<4>+\frac\pi6\right)-2tg\left(\frac<4>+\frac\pi6\right)-2tg\left(\frac<4>+\frac\pi6\right)+1=0\Rightarrow\\ \left(tg\left(\frac<4>+\frac\pi6\right)-1\right)^2=0\Rightarrow tg\left(\frac<4>+\frac\pi6\right)=1\Rightarrow \frac<4>+\frac\pi6=\frac<\pi><4>+\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow \frac<4>=\frac\pi4-\frac\pi6+\pi k\Rightarrow \frac<4>=\frac<\pi><12>+\pi k\Rightarrow x=\frac\pi3+4\pi k \end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(\frac\pi3+4\pi k\)

г*) \(tg\left(3x+\frac\pi3\right)=0\)
Обычный способ: \begin 3x+\frac\pi3=arctg0+\pi k=\pi k\Rightarrow 3x=-\frac\pi3+\pi k\Rightarrow x=-\frac\pi9+\frac<\pi k> <3>\end Универсальная подстановка: \begin tg\left(3x+\frac\pi3\right)=\frac<2tg\frac<3x+\frac\pi3><2>><1-tg^2\frac<3x+\frac\pi3><2>>=0\Rightarrow tg\frac<3x+\frac\pi3><2>=0\Rightarrow\frac<3x+\frac\pi3><2>=\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow 3x+\frac\pi3=2\pi k=3x=-\frac\pi3+2\pi k\Rightarrow=-\frac\pi9+\frac<2\pi> <3>\end При использовании универсальной подстановки потеряна половина корней (период увеличился в 2 раза). Это связано с тем, что мы отбросили еще одно решение: \(tg\frac<3x+\frac\pi3><2>\rightarrow\infty\) — значение тангенса у асимптот. Действительно, в этом случае дробь стремится к 0, что удовлетворяет уравнению. Получаем: \begin \frac<3x+\frac\pi3><2>=\frac\pi2+\pi k\Rightarrow 3x+\frac\pi3=\pi+2\pi k\Rightarrow 3x=\frac<2\pi><3>+2\pi k\Rightarrow x=\frac<2\pi><9>+\frac<2\pi k> <3>\end Таким образом, мы получили два семейства решений: \begin \left[ \begin x=-\frac\pi9+\frac<2\pi k><3>\\ x=\frac<2\pi><9>+\frac<2\pi> <3>\end \right. \end Представим последовательности решений в градусах, подставляя возрастающие значения \(k\): \begin \left[ \begin x=-20^<\circ>+120^<\circ>k=\left\<. -20^<\circ>,100^<\circ>,220^<\circ>. \right\>\\ x=40^<\circ>+120^<\circ>k=\left\<. 40^<\circ>,160^<\circ>,280^<\circ>. \right\> \end \right. \end Теперь представим полученное обычным способом решение в градусах: $$ x=-\frac\pi9+\frac<\pi k><3>=-20^<\circ>+60^<\circ>k=\left\<. -20^<\circ>,40^<\circ>,100^<\circ>,160^<\circ>,220^<\circ>,280^<\circ>. \right\> $$ Получаем, что: \begin \left[ \begin x=-\frac\pi9+\frac<2\pi k><3>\\ x=\frac<2\pi><9>+\frac<2\pi> <3>\end \right. \Leftrightarrow x=-\frac\pi9+\frac<\pi k> <3>\end Ответы и множества решений после учета значений у асимптот совпадают.
Ответ: \(-\frac\pi9+\frac<\pi k><3>\)

Вывод: при использовании универсальной подстановки нужно быть аккуратным и помнить о возможности потерять корни. Семейство бесконечных решений для тангенса \(\frac<2>=\frac\pi2+\pi k\), т.е. \(x=\pi+2pi k\) нужно проверять как возможное решение для исходного уравнения отдельно.

При использовании универсальной подстановки можно потерять часть корней исходного тригонометрического уравнения.
Поэтому вместе с универсальной подстановкой проверяется также дополнительное возможное решение для бесконечного тангенса половинного угла: \(x=\pi+2\pi k\). \begin f(sin(x), cos(x). )=0\Leftrightarrow\\ \left[ \begin f\left(tg\left(\frac<2>\right)\right)=0\\ (?) x=\pi+2\pi k \end \right. \end где слева – исходное уравнение, а справа – универсальная подстановка и дополнительное возможное (не обязательное) семейство решений.

Пример 2. Решите уравнение обычным способом и с помощью формул понижения степени. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) \(sin^2x=\frac34\)

Обычный способ: \begin x=\pm arcsin\sqrt<\frac34>+\pi k=\pm arcsin\frac<\sqrt<3>><2>+\pi k=\pm\frac\pi3+\pi k \end

Формулы понижения степени: \begin sin^2x=\frac<1-cos2x><2>=\frac34\Rightarrow 1-cos2x=\frac32\Rightarrow cos2x=-\frac12\Rightarrow\\ \Rightarrow 2x=\pm arccos\left(-\frac12\right)+2\pi k=\pm\frac<2\pi><3>+2\pi k\Rightarrow x=\pm\frac\pi3+\pi k \end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(\pm\frac\pi3+\pi k\)

Обычный способ: \begin 2x=\pm arccos\sqrt<1>+\pi k=\pm 0+\pi k=\pi k\Rightarrow x=\frac<\pi k> <2>\end Формулы понижения степени: \begin cos^2 2x=\frac<1+cos4x><2>=1\Rightarrow 1+cos4x=2\Rightarrow\\ cos4x=1\Rightarrow 4x=0+2\pi k=2\pi k\Rightarrow x=\frac<\pi k> <2>\end

Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(\frac<\pi k><2>\)

Обычный способ: \begin \frac<2>+\frac\pi3=\pm arcsin\sqrt<\frac14>+\pi k=\pm arcsin\frac12+\pi=\pm\frac\pi6+\pi k\\ \frac<2>=-\frac\pi3\pm\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin \frac\pi2+\pi k\\ -\frac\pi6+\pi k \end \right. \Rightarrow x= \left[ \begin -\pi+2\pi k\\ -\frac\pi3+2\pi k \end \right. \end

Формулы понижения степени: \begin sin^2\left(\frac<2>+\frac\pi3\right)=\frac<1-cos\left(2\left(\frac<2>+\frac\pi3\right)\right)><2>=\frac14\Rightarrow 1-cos\left(x+\frac<2\pi><3>\right)=\frac12\Rightarrow\\ \Rightarrow cos\left(x+\frac<2\pi><3>\right)=\frac12\Rightarrow x+\frac<2\pi><3>=\pm arccos\left(\frac12\right)+2\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow x=-\frac<2\pi><3>\pm\frac\pi3+2\pi k= \left[ \begin -\pi+2\pi k\\ -\frac\pi3+2\pi k \end \right. \end Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(-\pi+2\pi k,\ \ -\frac\pi3+2\pi k\)

Обычный способ: \begin x+\frac\pi4=\pm arctg\sqrt<1>+\pi k=\pm\frac\pi4+\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow x=-\frac\pi4\pm\frac\pi4+\pi k= \left[ \begin -\frac\pi2+\pi k\\ \pi k \end \right. \end

Формулы понижения степени: \begin cos^2\left(x+\frac\pi4\right)=\frac<1><1+\underbrace_<=1>>=\frac12\\ cos^2\left(x+\frac\pi4\right)=\frac<1+cos\left(2\left(x+\frac\pi4\right)\right)><2>=\frac12 \Rightarrow cos\left(2x+\frac\pi2\right)=0\Rightarrow\\ \Rightarrow -sin2x=0\Rightarrow sin2x=0 \Rightarrow 2x=\pi k\Rightarrow x=\frac<\pi k> <2>\end Из чертежа видно, что \begin \left[ \begin -\frac\pi2+\pi k\\ \pi k \end \right. \Leftrightarrow x=\frac<\pi k> <2>\end Оба решения соответствуют 4 базовым точкам на числовой окружности через каждые 90°. Множества решений совпадают. Ответы не совпадают, но являются равнозначными.
Ответ: \(\frac<\pi k><2>\)
Вывод: формулы понижения степени не расширяют и не урезают множество корней исходного уравнения. Полученные ответы либо совпадают, либо нет, но всегда являются равнозначными.

sin^2x (уравнение)

Найду корень уравнения: sin^2x

Решение

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_ <1>= \frac <\sqrt— b><2 a>$$
$$w_ <2>= \frac <- \sqrt— b><2 a>$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 0$$
, то

Т.к. D = 0, то корень всего один.

$$w_ <1>= 0$$
делаем обратную замену
$$\sin <\left(x \right)>= w$$
Дано уравнение
$$\sin <\left(x \right)>= w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname<\left(w \right)>$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname <\left(w \right)>+ \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname<\left(w \right)>$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname <\left(w \right)>+ \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_ <1>= 2 \pi n + \operatorname <\left(w_<1>\right)>$$
$$x_ <1>= 2 \pi n + \operatorname<\left(0 \right)>$$
$$x_ <1>= 2 \pi n$$
$$x_ <2>= 2 \pi n — \operatorname <\left(w_<1>\right)> + \pi$$
$$x_ <2>= 2 \pi n — \operatorname <\left(0 \right)>+ \pi$$
$$x_ <2>= 2 \pi n + \pi$$

Синус в квадрате

Синус (sin) — это тригонометрическая функция, геометрически представляющая отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

sin 2 (x)=sin(x)*sin(x)

Значение синуса находится в диапазоне от -1 до +1.

Смотрите также калькулятор вычисления синуса угла.

Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления квадрата синуса (синуса в квадрате). С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить квадрат синуса любого угла.