Как решать системы уравнений с двумя переменными
Что такое система уравнений с двумя переменными
Системой уравнений в алгебре называется некое условие, смысл которого заключается в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (либо одной) переменных.
Это значит, что система представляет собой комплекс уравнений. Данные равенства могут содержать одну, две или более переменных. Основным условием понятия «система уравнений» является то, что все эти уравнения выполняются в одно время.
Объединить уравнения в систему можно с помощью фигурной скобки:
У р а в н е н и е 1 У р а в н е н и е 2 У р а в н е н и е 3 …
Графический метод решения
Принцип решения систем уравнений графическим способом заключается в построении графиков для каждого уравнения в общей системе координат. Тогда решения системы соответствуют точкам, в которых данные графики пересекаются. После объяснения решения ответ принято записывать, как координаты этих точек.
Разберем наглядный пример. Предположим, что дана некая система уравнений, решать которую нужно графическим способом. Выполним работу последовательно:
- Запишем систему.
- Выразим одну из переменных (пусть это будет у).
- Построим на координатной прямой графики функций.
- Найдем точки пересечения графиков.
2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7 ⇔ y = 4 — 2 3 x y = 3 x — 7
Заметим, что точка пересечения графиков имеет следующие координаты:
Графический метод решения систем уравнений уступает в точности другим способам. Использовать график целесообразно в том случае, когда в задаче записана система линейных уравнений. Подобные задачи встречаются в средних классах школы. Такие уравнения имеют вид y = a x + b без квадратных членов, а их графики являются прямыми.
Метод подстановки
Алгоритм решения системы уравнений с помощью метода подстановки:
- выражение одной переменной через другие;
- подстановка выражения, которое получилось, в начальные уравнения на место выраженной переменной;
- повторение второго шага до тех пор, пока не будут определены другие переменные.
Рассмотрим последовательность действий на практике. Предположим, что имеется некая система уравнений, которую требуется решить:
2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7
Выразим у из второго уравнения:
Выполним подстановку полученного выражения в первое равенство:
2 x + 3 3 x — 7 = 12
Для полученного уравнения с одной переменной несложно найти корни:
2 x + 3 3 x — 7 = 12
2 x + 3 · 3 x — 3 · 7 = 12
2 x + 9 x — 21 = 12
Зная х, выполним подстановку и найдем у:
y = 3 x — 7 = 3 · 3 — 7 = 2 .
Запишем в ответ значения двух переменных.
Ответ: x = 3 ; y = 2 , либо (3;2).
Метод сложения
При сложении левых частей пары (или более) уравнений выражение, полученное в результате, равно сложенным правым частям этих же равенств, согласно формуле:
a = b c = d ⇒ a + c = b + d
В обратную сторону записанное свойство не работает:
a + c = b + d ◃ ≠ ▹ a = b c = d
Таким образом, при решении систем уравнений можно увеличивать обе части уравнения на одинаковое число. Например, сложим первое уравнение с числом с:
a = b c = d ⇒ a + c = b + c
Исходя из того что c=d, можно выполнить замену c на d справа:
a = b c = d ⇒ a + c = b + c ⇒ a + c = b + d .
В качестве примера попробуем решить систему уравнений:
2 x + y = 12 3 x — y = 3
Следуя правилу, суммируем уравнения. В процессе левые части складываем друг с другом. Аналогичным образом поступим с правыми частями равенств. В результате:
2 x + y = 12 3 x — y = 3 ⇒ 2 x ¯ ¯ + y ¯ + 3 x ¯ ¯ — y ¯ = 15 ⇔ 5 x = 15 ⇔ x = 3 .
Получилось избавиться от переменной у. В итоге задача значительно упростилась. Подставим число 3 на место слагаемого с х:
2 x + y = 12 x = 3 ⇔ 2 · 3 + y = 12 x = 3 ⇔ y = 6 x = 3
В следующем примере система уравнений имеет следующий вид:
2 x + 3 y = 13 4 x + 5 y = 23
Заметим, что с помощью сложения задание не получится упростить. В этом случае можно воспользоваться умножением уравнения на какое-либо число, отличное от нуля. Важно выбрать такой множитель, который позволит избавиться от одной из переменных. В этом случае лучше использовать (-2):
2 x + 3 y = 13 · — 2 4 x + 5 y = 23 ⇔ — 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23
Приступим к сложению:
— 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23 ⇒ — 4 x — 6 y + 4 x + 5 y = — 26 + 23 ⇔ — y = — 3 ⇔
Выполним подстановку у=3 в первое уравнение:
2 x + 3 y = 13 y = 3 ⇔ 2 x + 9 = 13 y = 3 ⇔ x = 2 y = 3
Задания для самостоятельного решения
Нужно решить систему уравнений:
13 x + 6 y = 7 2 x — 4 y = 6
Выразим х с помощью второго уравнения:
Найти значения переменных:
2 x + 5 y = 10 8 y — 5 x = 57
Из первого равенства выразим х:
2 x + 5 y = 10 2 x = 10 — 5 y
Подставим полученное значение во второе уравнение и запишем ответ.
Дана система уравнений, которую требуется решить:
2 x + 5 y = 10 3 x — 2 y = 1
В данном случае следует умножить первое уравнение на число 2, а второе равенство умножить на число 5:
2 x + 5 y = 10 · 2 3 x — 2 y = 1 · 5 ⇔ 4 x + 10 y = 20 15 x — 10 y = 5
После сложения уравнений остается лишь определить х:
19 x = 25 ⇔ x = 25 19
При подстановке х в какое-либо из двух уравнений можно вычислить у и записать ответ.
Ответ: ( 25 19 ; 28 19 ) .
Требуется найти переменные:
3 y — 4 x = — 13 3 x + 7 y = 56
Здесь следует в первую очередь найти произведение первого уравнения и числа 3, умножить второе уравнение на множитель 4. Далее остается суммировать уравнения и записать ответ.
Нужно решить систему уравнений:
7 x + 3 y = 21 4 y — 5 x = — 15
Множителем для первого уравнения является число 4. Второе уравнение нужно умножить на -3. Полученные равенства следует сложить и записать ответ.
Решить систему уравнений:
6 x — 8 y = — 2 9 x + 10 y = 8
В данном случае предполагается умножение уравнений на дробные числа. Множителем для первого уравнения является дробь 1 4 . Второе уравнение следует умножить на 1 5 :
6 x — 8 y = — 2 · 1 4 9 x + 10 y = 8 · 1 5 ⇔ 6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5
Далее выполним сложение:
6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5 ⇔ 3 2 x + 9 5 x =-0,5+1,6 ⇔ ⇔ 15 10 x + 18 10 x = 1,1 ⇔ 33 10 x = 1 , 1 ⇔ ⇔ 33 = 11 x x = 3
Путем подстановки определим y:
6 3 — 8 y = — 2 x = 3 ⇔ — 8 y = — 4 x = 3 ⇔ y = 2 x = 3
Найти корни следующих систем уравнений:
2 x + 3 y = 11 3 x + 2 y = 9
3 x — y = 85 5 x + 2 y = 17
x — 3 y = 6 2 y — 5 x = — 4
y 4 — x 5 = 6 x 15 + y 12 = 0
y — x = 5 x + 3 y = 3
Ответ: (1; 3), (17; -34), (0; -2), (-15; 12), (-3; 2).
Как решать систему уравнений
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
Решите систему уравнений:
x − y = 4
x + 2y = 10
Выразим x из первого уравнения:
x − y = 4
x = 4 + y
Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10
Решим второе уравнение относительно переменной y:
4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2
Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
Решите систему линейных уравнений:
x + 5y = 7
3x = 4 + 2y
Сначала выразим переменную x из первого уравнения:
x + 5y = 7
x = 7 − 5y
Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:
3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
Решим второе линейное уравнение в системе:
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1
Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
Решите систему линейных уравнений:
x − 2y = 3
5x + y = 4
Из первого уравнения выразим x:
x − 2y = 3
x = 3 + 2y
Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:
5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1
Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:
x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Выразить у из первого уравнения:
Подставить полученное выражение во второе уравнение:
Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
- Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
- Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
- Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
- Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
Система координат в математике с примерами решения и образцами выполнения
Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.
Координаты на прямой
Если на прямой задано направление, то такую прямую называют направленной, а выбранное направление — положительным. Например, на горизонтальной прямой можно отметить направление вправо, тогда будем говорить, что направленная прямая имеет положительное направление вправо. Можно с таким же правом считать положительным и направление влево. Направление прямой будем указывать стрелкой (рис. 1).
Выберем на направленной прямой точку, которую назовем началом отсчета или началом координат, и будем обозначать ее буквой О.
Кроме того, выберем отрезок, длину которого будем считать единицей длины. Этот отрезок назовем единицей масштаба.
Определение:
Прямая линия, на которой указаны: начало отсчета, единица масштаба и направление отсчета, называется осью координат.
Рассмотрим отрезок, расположенный на оси координат. Если одну из точек, ограничивающих отрезок, назовем началом отрезка, а другую—его концом, то отрезок будем называть направленным отрезком. Направленный отрезок обозначают двумя буквами, например: АВ, СМ, КР, причем на первом месте ставят букву, обозначающую начало, на втором—букву, обозначающую конец. Таким образом, запись АВ показывает, что начало отрезка есть точка А, а конец — точка В. Направление отрезка считается от начала к концу.
Если направление отрезка совпадает с направлением оси, то отрезок называют положительно направленным; если же его направление противоположно направлению оси, то — отрицательно направленным. Таким образом, отрезки АВ и ВА имеют противоположные направления. Это записывают так:
Отметим, что положительный отрезок может находиться в любом месте координатной оси, только его направление должно совпадать с направлением оси.
Сложение направленных отрезков производится по следующему правилу:
Для того чтобы сложить два направленных отрезка, нужно к концу первого приложить начало второго; тогда отрезок, имеющий началом начало первого отрезка и концом конец второго, называют суммой двух направленных отрезков.
Из этого определения вытекает, что сумма отрезков АВ и ВС равна отрезку АС при любом расположении точек А, В, С, т. е. всегда:
Координатным отрезком точки А называется направленный отрезок, имеющий начало в точке О (т. е. в начале координат), а концом — рассматриваемую точку А.
Всякий направленный отрезок, лежащий на оси, можно выразить через координатные отрезки его начала и конца. В самом деле, рассмотрим направленный отрезок АВ. На основании равенства (2) можно написать
(здесь вместо точки В поставлена точка О, а вместо точки С точка В) или
Отрезок ОВ есть координатный отрезок (его начало есть точка О), но отрезок АО не является координатным, поскольку его начало не является началом координат. Но в силу равенства (1)
поэтому можно написать
Получен следующий результат:
Направленный отрезок равен разности координатного отрезка его конца и координатного отрезка его начала.
Это верно для любого отрезка, лежащего на координатной оси.
Теперь дадим одно из самых важных определений: Координатой точки на координатной оси называется число, равное по абсолютной величине длине координатного отрезка этой точки и по знаку совпадающее со знаком координатного отрезка.
Точку А, имеющую координатной число х, будем обозначать А (х).
Указанные на рис. 4 точки имеют следующие координаты:
Будем также писать
Если даны точки А(х1) и В(х2), то на основании формул (3) и (4) получим
т. е. направленный отрезок равен разности координат его конца и начала.
Отсюда сразу получаем, что длина отрезка равна абсолютной величине разности координат его конца и начала.
Длину отрезка будем обозначать, пользуясь знаком | |, т. е. знаком абсолютной величины. Таким образом, длина отрезка АВ будет записываться так:
Пример:
Если даны точки А (+4), В (+8), то отрезок АВ = (+8) — (+4), а его длина |АВ|= |+ 4 | = 4.
Если даны точки М (+5) и Р (+3), то отрезок МР = (+3)—(+5) = —2, а его длина |МР| = | —2| = 2. Даны две точки: Q (+ 3) и S (—4). Длина отрезка
Даны две точки R (— 6) и Т (—2); отрезок RТ = ( — 2) — (—6) = +4, а его длина | RТ | = 4.
Пример:
Начало отрезка АВ находится в точке А (—950), а конец—в точке В ( —1200); найти его направление и длину.
Отрезок АВ = ( — 1200)—( — 950) = —250. Так как он
получился отрицательным, то его направление противоположно направлению оси. Его длина равна | АВ | = | —250 | = 250.
Задача:
На координатной оси даны две точки: A (x1) и В (x2) Найти точку С, лежащую между ними и делящую отрезок АВ в отношении т : п.
Чтобы найти точку, надо найти ее координату. По условию задачи должно быть
Обозначая координату искомой точки С через х и выражая отрезки через координаты, т. е. применяя формулу (5), получим, что АС = х—х1, СВ = х2 — х. Подставляя эти выражения в равенство (6), будем иметь
Решая последнее уравнение относительно х, найдем:
Это и есть координата искомой точки.
Пример:
Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 1:2, если даны начало отрезка А (+ 3) и конец В ( + 5) (рис. 5).
Здесь т = 1, п = 2, х1=-3, х2 = 5. Применяя формулу (7), получим
Пример:
Найти точку М, делящую расстояние между точками Р ( — 2) и Q (—9) в отношении 3:4 (рис. 5). Здесь т = 3, п = 4, х1 = —2, х2 = —9. По формуле (7) находим
Если т = n т. е. точка С делит отрезок АВ пополам, тогда формула (7) перепишется так:
Таким образом, координата точки, делящей отрезок пополам, равна средней арифметической координат его начала и конца.
Пример:
Найдем середину отрезка, заключенного между точками А (—6) и B (4) (рис. 6).
Применяя формулу (8), получим, что
Координаты на плоскости
Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О. На каждой из этих прямых зададим направление, указав его стрелкой (рис. 7).
Установим масштаб, общий для обеих прямых, а за начало отсчета выберем точку О.
Определение:
Координатными осями на плоскости называются две взаимно перпендикулярные прямые, на которых установлены: 1) на-правления, 2) масштаб и 3) общая точка отсчета.
Назовем одну из осей осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью ординат. Точку их пересечения назовем началом координат.
Возьмем произвольную точку M, лежащую на плоскости, и опустим из нее перпендикуляры на оси координат, т. е. найдем ее проекции на оси. Обозначим проекцию на ось Ох через А, а проекцию на ось Оу через В. Обозначим координату точки А (по оси Ох) через х, а координату точки В (по оси Оу) через у. Введем определение:
Определение:
Абсциссой точки называется координата ее проекции на ось Ох. Ординатой точки называется координата ее проекции на ось Оу.
Абсциссу точки обычно обозначают буквой х, ординату— буквой у. Точку М, имеющую абсциссу х и ординату у, обозначают следующим образом: пишут скобку и в ней на первом месте ставят абсциссу, на втором ординату и разделяют эти два числа запятой или точкой с запятой. Таким образом, запись точки выглядит так: М(х, у).
Координатные оси разделяют плоскость на четыре части, которые называют четвертями.
Первой четвертью называется та часть плоскости, в которой абсцисса и ордината положительны.
Второй четвертью — та часть, в которой абсцисса отрицательна, а ордината положительна.
Третьей четвертью — та часть, в которой абсцисса и ордината отрицательны, и, наконец, четвертой, — та часть, в которой абсцисса положительна, а ордината отрицательна (рис. 7), На рис. 8 указаны точки M1 (5, 2), М2 ( — 1, 1), М3 (-1, -3), М4 (2, -3). Заметим, что абсцисса х = ОА по абсолютной величине равна расстоянию точки от оси ординат, так как ОА = ВМ (см. рис. 7), а ордината — расстоянию точки М от оси абсцисс, так как ОВ = АМ.
Пример:
Найти точку Р( — 4, 2) (рис. 9), Возьмем на оси Ох точку А с координатой —4, ее координатный отрезок ОА = —4. На оси Оу возьмем точку В с координатным отрезком ОВ= 2. Восставим перпендикуляры к осям из точек А и В, точка их пересечения и даст искомую точку Р.
Задача:
Найти расстояние между точками Р (х1, у1) и Q( х1, у1 ). Иначе говоря, нужно найти длину отрезка РQ(рис. 10).
Обозначим проекцию точки Р на ось Ох через А1, а ее проекцию на ось Оу — через В1. Проекцию точки Q на ось Ох обозначим через А2 и через В2— ее проекцию на ось Oy. Тогда ОА1 = х1, ОВ1 = y1, ОА2 = х2, ОВ2 = у2. Из точки Р проведем прямую, параллельную оси Ох, до пересечения с прямой A2Q в точке К. Рассмотрим треугольник PKQ. По теореме Пифагора имеем
Но РК = А1А2, KQ = B1B2, как противоположные стороны прямоугольников; кроме того, на основании формулы (3 из § 1) направленные отрезки А1А2 и В1В2 будут равны
Подставляя полученные выражения в (*), получим
т. е. расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей координат.
Примечание:
Расстояние между двумя точками, так же как длина отрезка, всегда положительно, поэтому в формуле (1) перед квадратным корнем берут только знак плюс.
Пример:
Найти расстояние между точками Р (— 2, — 1) и Q (2, 2). Применяя формулу (1), получим
Пример:
Найти длину отрезка MN, если даны М (8, 2) и N(2, 10). Применяя формулу (1), получим
Задача:
Найти точку С, делящую отрезок PQ в отношении т : п, если известны координаты точек Р (х1, у1) и Q (х2, у2). По условию задачи надо найти такую точку С, чтобы было выполнено равенство
Решение:
Обозначим, как и выше, проекции точки Р на оси через А1 и В1, а проекции точки Q—через А2 и В2; тогда ОА1 = х1 , OB1 = y1, ОА2 =х2, ОВ2=у2 (рис. 11). Кроме того, обозначим координаты искомой точки С через х и у, а ее проекции на оси — через А и В, т. е. ОА = х, ОВ = у.
Так как прямые А1Р, АС и А2Q параллельны между собой, то на основании теоремы о пропорциональных отрезках можно записать, что
Но А1А = ОА — ОА1 = х—х1, АА2 = ОА2 — ОА = х2—х; поэтому, подставляя в равенство (*), будем иметь уравнение
решая которое найдем абсциссу точки С:
Рассуждая аналогично о проекциях на ось Оу, т. е. о точках В1, В и В2, получим ординату точки С, делящей отрезок в отношении т : п,
Итак, искомая точка С имеет координаты, определяемые равенствами (2) и (3).
Пример:
Найти точку, делящую в отношении 1:2 отрезок PQ, где Р (4, —3) и Q (8, 0). Здесь х1 = 4, у1 = — 3, х2 = 8, у2 = 0, т = 1, п = 2. Применяя формулы (2) и (3), получим:
Пример:
Найти точку, делящую расстояние между точками А (4, 2) и B (8, 10) в отношении 3 : 1. Здесь х1=-4, у1 = 2, х2 = 8, у2= 10, т = 3, п = 1. По формулам (2) и (3) находим:
Следствие (из формул (2) и (3)). Если точка С делит отрезок РQ пополам, то т = n, поэтому
т. е. абсцисса середины отрезка равна средней арифметической абсцисс его начала и конца; ордината середины отрезка равна средней арифметической ординат его начала и конца.
Задача:
Даны три вершины треугольника: А (7, 0), В (4, 4) и С (7, 10). Найти длину биссектрисы угла A (рис. 12).
Найдем длины сторон АВ и АС. Для этого применим формулу (1):
Обозначим точку пересечения биссектрисы угла А с противоположной стороной ВС через М, а ее координаты—через х и у. Помня, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, можно утверждать, что точка М делит отрезок ВС в отношении 5 : 10 = 
; поэтому, применяя формулы (2) и (3), получим:
Теперь вычисляем длину биссектрисы между точками А(7, 0) и М(5, 6):
Задача:
Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(4, 6), В(—8, 10), С( —2, —6) (рис. 13).
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обозначим через М середину стороны АС; по формулам (4) и (5) можно найти ее координаты:
т. е. М(19 0). Точка Р пересечения медиан делит отрезок ВМ в отношении 2:1, поэтому ее координаты найдутся по формулам (2)
Итак, искомая точка
Задача:
Записать условие того, что точка М (х, у) находится на расстоянии По формуле (1) имеем
или, возводя обе части равенства в квадрат, получим
Это равенство есть уравнение с двумя неизвестными х и у. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на расстоянии 5 от точки С. Иначе говоря, ему удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей геометрическому месту точек, расстояние которых от точки С равно 5. Это геометрическое место есть окружность.
Следовательно, можно сказать, что уравнение (*) есть уравнение окружности с центром в точке С и радиуса 5.
В следующих главах будут рассмотрены уравнения с двумя неизвестными х и у и те линии (геометрические места), точки которых имеют координаты, удовлетворяющие этим уравнениям.
Числовая ось
Числовой осью называют направленную прямую, на которой указывается начальная точка О и задается некоторый «эталон» длины Е. Каждой точке 
этой прямой отвечает вещественное число, равное длине отрезка 
если расположено правее точки О, и равное этой
длине со знаком минус — в противном случае (см. рис. 1 а). Числовую ось будем обозначать 
(смысл этого обозначения прояснится ниже).
Указанное соответствие между точками числовой оси и множеством вещественных чисел 
является взаимно однозначным, т. е. каждой точке 
соответствует единственное число 
, обратно, каждому числу соответствует единственная точка Таким образом, множество . вещественных чисел можно отождествлять с числовой осью , чем мы будем впредь постоянно пользоваться.
Декартова система координат
Декартовой (прямоугольной) системой координат на плоскости называют две взаимно перпендикулярные числовые оси 
и 
, имеющие общее начало О и одинаковые единицы масштаба (см. рис. 1 б). Ось называют осью абсцисс, а ось — осью ординат. Плоскость 
называют координатной плоскостью и обозначают 
Пусть М — произвольная точка координатной плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ на оси и соответственно. Декартовыми координатами точки М называют числа, которым соответствуют точки А к В. Например, точка 
имеет декартовы координаты 
что записывается в виде 
Точка О имеет координаты (0,0).
Полярная система координат
В плоскости зададим луч — полярную ось, выходящий из точки О — полюса полярной системы координат (см. рис. 2 а). Произвольная точка М плоскости определяется парой чисел 
называемой ее полярными координатами, где р — длина отрезка ОМ, а 
— выраженный в радианах угол между ОМ и осью . Угол в считается положительным, если откладывается против часовой стрелки, и отрицательным в противоположном случае. Точка О имеет полярные координаты 
где — любой угол.
Полярные и декартовы координаты, заданные на одной плоскости (см. рис. 2 6), связаны очевидными равенствами:
Полярные координаты удобны для задания многих кривых. Например, уравнение р=2 описывает окружность, изображенную на рис. За. Уравнение 
описывает спираль Архимеда (рис . Уравнение 
описывает окружность с диаметром 1 и с центром в точке 
(рис. Зв).
Системы координат в пространстве
Декартова система координат в пространстве определяется тремя взаимно перпендикулярными осями , и 
, называемыми соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат (см. рис. 4 а). Проcтранство 
обозначают 
. Положение точки М в определяется тройкой чисел 
Аналогами полярной системы координат в пространстве служат цилиндрическая и сферическая системы координат.
Цилиндрическая система координат (рис. 4 б) представляет собой объединение полярной системы координат в плоскости с аппликатой z:
где 
Сферическая система координат (рис. 4 в) связана с декартовой системой равенствами
где 
Пространство
Пространство 
На плоскости и в пространстве положение точки в декартовых координатах полностью определяется соответственно, парой и тройкой чисел вида [
) и (x,y,z). Желая обобщить эти геометрические подходы, в анализе вводят понятие пространства
Упорядоченную систему из 
вещественных чисел 
называют -мерной точкой, а множество всех -мерных точек называют —мерным пространством или короче — пространством .
Понятие пространства естественно дополнить понятиями основных операций над его элементами. По определению полагают
Наконец, обобщая известную из аналитической геометрии формулу, определяют расстояние между двумя точками 
и 
Прямую, плоскость и пространство можно рассматривать как пространства , 
и соответственно. Ниже это будет практиковаться постоянно.
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-sistem-uravnenij
http://lfirmal.com/sistema-koordinat/