Как решить уравнение теорема безу

Об уравнениях высших степеней

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:

Возвратные биквадратные уравнения

Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:

В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:

Как видно, решать такие уравнения совсем не просто. Но я всё равно разберу и этот случай. Начинается решение с деления всего уравнения на x^2. Далее мы группируем, здесь я специально ввёл дополнительную строку для ясности. После этого мы совершаем хитрость, и вводим в первую скобку 2, которую мы сначала прибавляем, а после вычитаем, сумма всё равно не изменится, зато теперь мы можем свернуть эту скобку в квадрат суммы.

Уберём -2 из скобки, предварительно домножив его на a, после чего вводим новую переменную, t и получаем квадратное уравнение.

А теперь перейдём к примеру:

Основная часть так же как и в обобщённом алгоритме, делим на x^2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.

Алгебра и начало анализа. Теорема Безу. 11-й класс

Класс: 11

Презентация к уроку

Цель урока:

способствовать развитию навыков деления многочлена на многочлен и использованию схемы Горнера;
закрепить навыки работы в электронных таблицах OpenOffice.org Calc;
организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию новых знаний;
разобрать и доказать теорему Безу при решении проблемной ситуации: можно ли разложить многочлен третьей степени на множители;
рассмотреть использование теорему Безу для решения уравнений высших степеней;
содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать самостоятельно.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку, компьютерный класс.

«Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше рассуждать, чем заучивать».
Декарт (1596 -1650). Французский математик, физик, филолог, философ.

Ход урока

I. Организационный момент

Наша задача сегодня в совместной деятельности подтвердить слова Декарта (слайд 1). Тема нашего урока (слайд 2) «Теорема Безу» настолько значима, что даже используется в заданиях ЕГЭ и различных олимпиадах. Теорема Безу облегчает решение многих заданий, содержащих уравнения высших степеней. К сожалению, она изучается только на профильном уровне.

II. Возникновение проблемной ситуации

На этом уроке мы научимся решать уравнения высших степеней, а алгоритм решения выведем сами.

Решить уравнение: x 3 — 2x 2 — 6x + 4=0 (Слайд 3). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно представить левую часть уравнения в виде произведения, и так как произведение равно нулю, то приравнять к нулю каждый множитель. Для этого надо разложить многочлен 3-ей степени на множители. Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).

III. Актуализация опорных знаний

Вспомним, как разложить на множители многочлен х 2 — 5х — 6? (Слайд 4).

(По формуле разложения на множители квадратного трехчлена:

ах 2 + bх + с = a(x – x₁)(x-x₂), где х₁ и х₂ корни трехчлена).

Найдите корни трехчлена двумя способами. Какими?

(по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета).

Решают на доске от каждой группы по одному ученику. Остальные учащиеся в тетрадях. Получили: х 2 — 5х — 6 = (х — 6) (х + 1).

Это значит, что трехчлен делится на каждый из двучленов: х – 6 и х + 1.

Обратите внимание на свободный член нашего трехчлена и найдите его делители (±1, ±2, ±3, ±6).

Какие из делителей являются корнями трехчлена? (-1 и 6)

Какой вывод можно сделать? (Корни трехчлена являются делителями свободного члена).

IV. Выдвижение гипотезы

Так какой же одночлен поможет подобрать корни многочлена?

Р(х) = x 3 — 2x 2 — 6x + 4=0?

Выпишите его делители: ±1; ±2; ±4.

Найдите значения многочлена для каждого делителя. С помощью электронных таблиц и непосредственно:

Теорема Безу и ее применение в математике с примерами решения

Иллюстрация теоремы Безу на примерах:

Пусть требуется, например, разделить многочлен на двучлен х—2.

Можно предсказать, что остаток при этом делении будет равен 10. Проверим это:

Предсказание было сделано следующим образом.

Рассматривая делитель х—2, мы видим, что в нем из независимой переменной х вычитается число 2. Это число 2 мы подставили в делимое вместо переменного х и получили 10, т. е. как раз остаток.

Таким образом, оказалось, что остаток от деления многочлена на х—2 равен значению делимого при х = 2.

Это правило определения остатка, сформулированное в общем виде, и будет являться теоремой Безу.

При делении многочлена на х — 3 остаток будет равен:

(Проверьте это непосредственным делением.)

При делении многочлена на х + 2, т. е. на х—(— 2), остаток будет равен:

(Проверьте это непосредственным делением.)

При делении многочлена на х — i остаток равен т. е. единице (проверьте это непосредственно делением).

Приведенные примеры никак не могут рассматриваться как доказательства теоремы Безу: они даны лишь для того, чтобы облегчить понимание самой формулировки теоремы Безу.

Формулировка и доказательство теоремы Безу

При делении многочлена п-й степени относительно х, расположенного по убывающим степеням х, на двучлен (х — а остаток равен значению делимого при х = а
буква а может обозначать любое действительное или мнимое число, т. е. любое комплексное число).

Прежде чем доказывать теорему, сделаем несколько подготовительных пояснений.

1. В формулировке теоремы не случайно сказано: «расположенного по убывающим степеням х».

Если производить деление, расположив делимое и делитель по возрастающим степеням х, то тогда нельзя утверждать, что остаток всегда будет равен значению делимого при х = а.

Например, если многочлен расположить по возрастающим степеням х и делить его на 2 + х, т. е. производить деление так:

то мы никогда не получим остатка, равного числу 4, т. е. значению делимого при x = — 2.

2. Мы знаем, что существуют такие алгебраические выражения, которые теряют смысл при некоторых отдельных значениях входящих в него букв. Например, теряет смысл при x = 0; выражение теряет смысл при x = 5 и при x = — 5.

Заметим, что многочлен любой целой положительной степени никогда не теряет смысла. При всяком значении переменной он принимает определенное значение.

3. Произведение двух множителей, из которых один обращается в нуль, а другой принимает определенное значение, всегда равно нулю. Если же один множитель обращается в нуль, а другой теряет смысл, то о таком произведении нельзя говорить, что оно равно нулю. О таком произведении ничего определенного сказать нельзя. В каждом отдельном случае необходимо особое исследование.

Рассмотрим, например, произведение

При х = 1 первый множитель обращается в нуль, а второй теряет смысл. Нельзя утверждать, что это произведение при х = 1 равно нулю.

Итак, при х = 1 само произведение смысла не имеет. Но его предел имеет смысл, а именно равен , а не нулю, как это ошибочно можно было предположить.

Доказательство теоремы Безу

Пусть f(x) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной х, расположенный по убывающим степеням х, и пусть при делении на двучлен х — а получилось в частном q(x), а в остатке R (см. схему деления):

Очевидно, что q(х) будет некоторый многочлен (п — 1)-й степени относительно х, а остаток R будет величиной постоянной, т. е. не зависящей от х.

Если бы остаток R был многочленом хотя бы первой степени относительно х, то это означало бы, что процесс деления не доведен до конца. Итак, R от х не зависит

По свойству деления (делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток) получим тождество

Это равенство справедливо прн всяком значении х, значит, оно будет справедливым и при х = а.

Подставляя в левую и правую части этого равенства вместо переменной х число а, получим:

Здесь символ f(a) обозначает собой уже не f(x) т.е. не многочлен относительно х, а значение этого многочлена при х = a.
q(а) обозначает значение q(x) при х = а.

Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от х не зависит.

Произведение (а — a)q(a) равно нулю, так как множитель (а — а) равен нулю, а множитель q(a) есть определенное число. (Многочлен q(x) ни при каком определенном значении х не теряет смысла.)

Поэтому из равенства (I) получим:

что и требовалось доказать.

Пример:

При делении многочлена на х —i остаток равен т. е. нулю.

Следствия из теоремы Безу

Следствие 1. Если многочлен делится без остатка на х — а, то а необходимо будет корнем этого многочлена.

Следствие 2. Если а есть корень какого-либо многочлена, то это условие будет достаточным для делимости этого многочлена без остатка на х — а.

Эти два следствия можно объединить и выразить следующим образом:

Для делимости многочлена на x — а необходимо и достаточно, чтобы а было корнем этого многочлена.

Применения теоремы Безу

Поинтересуемся делимостью выражений вида на двучлены вида а±b (здесь п — натуральное число).

В выражении примем а за независимую переменную, а b за постоянную. Тогда выражение будет многочленом п-й степени относительно переменной а, расположенным по убывающим степеням этой переменной.

а) При делении на а + b остаток будет равен:

Значит, делится без остатка на а+b лишь тогда, когда п — число нечетное.

б) При делении на а — b имеем

Значит, не делится на а — b.

в) При делении на a+b имеем

Значит, делится на а + b лишь тогда, когда п — число четное.

г) При делении на а — b получаем

Значит, всегда делится на а — b.

Другие важные применения теоремы Безу изложены в следующих главах.

Правило Горнера. Правило Горнера позволяет вычислять коэффициенты частного и остаток при делении многочлена, расположенного по убывающим степеням х, на двучлен х — а, не производя самого деления. При делении многочлена

на двучлен x — а в частном получим многочлен степени (п — 1):

а в остатке — некоторое число R.

По свойству деления

Раскрыв скобки в правой части этого равенства и объединив члены с одинаковыми степенями х, получим тот же многочлен, что и в левой части.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем, что

Вычисления можно располагать так: коэффициенты делимого:

коэффициенты частного и остаток:

Примеры:

1. С помощью правила Горнера найти частное и остаток при делении многочлена

Решение:

2. Разделить

Решение:

Пользуясь правилом Горнера, легко найти частное

Отсюда вытекает формула

Аналогично можно получить и формулу

Теорема Гаусса

Если бы мы не знали никаких других чисел, кроме натуральных, то сказали бы, что уравнение 2х— 3 = 0 не имеет ни одного корня, так как нет ни одного натурального числа, которое удовлетворяло бы этому уравнению.

Уравнение 2х + 3 =0 не имеет ни одного корня в области положительных чисел.

Уравнение не имеет ни одного корня в области рациональных чисел.

Уравнение не имеет ни одного корня в области действительных чисел.

Выражение

в котором х есть независимая переменная, п — натуральное число и коэффициенты — любые комплексные числа, называется целой рациональной функцией п-й степени.

Корнем данной целой рациональной функции называется такое значение (действительное или мнимое) переменной х, при котором эта целая рациональная функция обращается в нуль.

В области действительных чисел не всякая целая рациональная функция имеет корень. Например, целая рациональная функция

не имеет ни одного действительного корня.

В связи с этим возникает следующий важный вопрос. Можно ли утверждать, что среди комплексных чисел найдется хоть одно число, являющееся корнем целой рациональной функции

Этот вопрос на протяжении длительного исторического периода оставался неразрешенным. В 1799 году Гаусс в возрасте 22 лет дал первое строгое доказательство теоремы о существовании корня целой рациональной функции.

Теорема Гаусса гласит: Всякая целая рациональная функция с любыми комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень (действительный или мнимый).

В настоящее время существует несколько различных доказательств этой фундаментальной теоремы алгебры, но все они сложны и не входят в курс элементарной алгебры.

Теорема Гаусса еще раз свидетельствует нам ту общность в решении различных вопросов, которую придает им введение в науку комплексных чисел.

Свойства целой рациональной функции

Теорема Гаусса позволяет открыть и доказать другие важные свойства целой рациональной функции.

1. Всякую целую рациональную функцию п-й степени можно представить в виде произведения коэффициента высшего члена на п линейных множителей, т. е.

Эти линейные множители могут быть все действительными или все мнимыми и могут быть частью действительными и частью мнимыми.

Доказательство:

обозначим для краткости буквой М. По теореме Гаусса М имеет по крайней. мере один корень х, (действительный или мнимый). Тогда по следствию из теоремы Безу многочлен М должен делиться без остатка на .

Обозначив буквой частное от этого деления, получим:

будет целой рациональной функцией (п— 1)-й степени с коэффициентом при высшем члене, равном .

По теореме Гаусса функция также будет иметь по крайней мере один корень.

Обозначив этот корень буквой получим:

Число может оказаться отличным от xv но может оказаться и равным ему. Для нас это безразлично.

Применяя такие же рассуждения к функции , получим:

Степени функций будут соответственно

Продолжая этот процесс, мы придем к равенству

где есть функция вида , где b — постоянная. Но

Обозначив корень функции буквой получим, что

Пользуясь полученными равенствами, найдем последовательно:

что и требовалось доказать.

Из равенства (I) непосредственно видно, что числа являются корнями данной целой рациональной функции.

Правая часть равенства (I) не может обратиться в нуль ни при каком значении переменной х, отличном от значений

Следовательно, целая рациональная функция п-й степени не может иметь более п корней.

Если все числа окажутся различными, то функция будет иметь ровно п различных корней.

Если же среди чисел окажутся равные, то различных корней будет меньше чем п.

Пусть оказалось, что

а остальные корни отличны от В этом случае говорят, что есть корень кратности k. Например, функция разлагается на множители

Значит, число — 1 есть простой ксрень, а число 4 есть корень кратности 2 или двукратный корень.

2. Если целая рациональная функция с действительными коэффициентами имеет комплексный корень то она обязательно будет иметь и корень

в котором —действительные числа, будет представлять собой некоторое комплексное число Р + Qi, т. е.

Заменив в последнем равенстве i числом —i, получим:

Теперь допустим, что есть корень целой рациональной функции

тогда окажется, что P + Qi = 0. Отсюда следует, что Р = 0 и Q = 0. Но в таком случае окажется равным нулю и выражение Р—Qi, т. е. окажется корнем целой рациональной функции (1) и число что и требовалось доказать.

3. Всякая целая рациональная функция с действительными коэффициентами степени выше 2-й разложима либо на действительные линейные множители, либо на действительные множители 2-й степени, либо на действительные множители, среди которых имеются и линейные и второй степени. (Доказательство 3-го свойства опускается.)

Примеры разложения целой рациональной функции с действительными коэффициентами степени выше второй на действительные неприводимые множители

Получилось разложение на действительные линейные множители.

Получилось разложение на действительные множители 2-й степени.

Получился один множитель линейный, а другой 2-й степени.

Теоретически доказано (как уже отмечалось), что всякая целая рациональная функция с действительными коэффициентами степени выше 2-й разложима на действительные множители 1-й и 2-й степени.

Однако осуществление этого разложения не всегда достигается легко. Например, попробуем разложить на множители

Решим эту задачу двумя способами.

(Полученные многочлены 2-й степени имеют мнимые корни, а потому неразложимы на действительные линейные множители.)

Изложенный способ носит слишком искусственный характер. Его трудно придумать.

Второй способ, изложенный ниже, будет менее искусственным.

2. Прежде всего исследуем характер корней многочлена или, что то же самое, характер корней уравнения

Переписав это уравнение в виде

построим графики функций (рис. 208). Графики не пересекаются. Следовательно, корни уравнения

а значит, и многочлена

будут все мнимыми. Поэтому среди действительных множителей, на которые разлагается этот многочлен, не может быть ни одного линейного.

Итак, выяснено, что действительными множителями разложения многочлена будут только многочлены 2-й степени. Таких множителей будет два, так как данный многочлен имеет 4-ю степень.

Таким образом, будем иметь, что

Остается определить а, b, р и q.

Перемножив многочлены, стоящие в правой части последнего равенства, получим:

Но поскольку нам необходимо, чтобы правая часть этого равенства превратилась в такой же многочлен, который стоит в левой части, потребуем выполнения следующих условий:

Получилась система четырех уравнений с четырьмя неизвестными a, b, р, q.

Из первого уравнения

Подставив во второе и третье уравнение — а вместо р, получим систему:

Из второго уравнения этой системы

Подставив это в первое уравнение, получим систему:

Обозначим b + q буквой z. Тогда первое уравнение последней системы примет вид:

Делителями числа 64 являются: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16; ± 32; ± 64.

Испытывая эти делители, обнаружим, что число 16 является корнем уравнения

Значит, мы можем взять b + q = 16. Кроме того, bq = 63. Отсюда примем b = 7 и q = 9. Пользуясь равенством

получим, что а = —4. Наконец, из равенства р = —а найдем, что р = — 4.

Теперь задача решена полностью. Мы получили:

Имея это разложение, мы легко обнаруживаем все корни многочлена или, что то же самое, все корни уравнения

Этими корнями будут комплексные числа

Формулы Виета

Было доказано, что целая рациональная функция разлагается иа множители по формуле:

где — суть корни целой рациональной функции. Выполняя умножение в правой части этой формулы, получим:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы х в левой и правой частях последнего равенства, получим формулы:

Эти формулы носят название формул Виета, по имени открывшего их замечательного французского математика Франсуа Виета. Оии связывают корни и коэффициенты целой рациональной функции. Например, для