Как решить уравнение x ag x

Алгебра

План урока:

Простейшие показательные уравнения а х = b

Его называют показательным уравнением, ведь переменная находится в показателе степени. Для его решения представим правую часть как степень числа 2:

Тогда уравнение будет выглядеть так:

Теперь и справа, и слева стоят степени двойки. Очевидно, что число 3 будет являться его корнем:

Является ли этот корень единственным? Да, в этом можно убедиться, если построить в координатной плоскости одновременно графики у = 2 х и у = 8. Второй график представляет собой горизонтальную линию.

Пересекаются эти графики только в одной точке, а потому найденное нами решение х = 3 является единственным.

Так как любая показательная функция является монотонной, то есть либо только возрастает (при основании, большем единицы), либо только убывает (при основании, меньшем единицы), то в общем случае ур-ние а х = b может иметь не более одного решения. Это является следствием известного свойства монотонных функций – горизонтальная линия пересекает их не более чем в одной точке.

Сразу отметим, что если в ур-нии вида а х = b число b не является положительным, то корней у ур-ния не будет вовсе. Это следует из того факта, что область значений показательной функции – промежуток (0; + ∞), ведь при возведении в степень любого положительного числа результат всё равно остается положительным. Можно проиллюстрировать это и графически:

Решая простейшее показательное уравнение

мы специально представляли правую часть как степень двойки:

После этого мы делали вывод, что если в обеих частях ур-ния стоят степени с равными основаниями (2 = 2), то у них должны быть равны и показатели. Это утверждение верно и в более общем случае. Если есть ур-ние вида

то его единственным решением является х = с.

Задание. Найдите решение показательного уравнения

Решение. У обоих частей равны основания, значит, равны и показатели:

Задание. Найдите корень уравнения

Решение. Заметим, что число 625 = 5 4 . Тогда ур-ние можно представить так:

Отсюда получаем, что х = 4.

Видно, что основной метод решения показательных уравнений основан на его преобразовании, при котором и в правой, и в левой части стоят степени с совпадающими основаниями.

Задание. При каком х справедливо равенство

Решение. Преобразуем число справа:

Теперь ур-ние можно решить:

Задание. Решите ур-ние

Решение. Любое число при возведении в нулевую степень дает единицу, а потому можно записать, что 1 = 127 0 . Заменим с учетом этого правую часть равенства:

Уравнения вида а f( x) = a g ( x)

Рассмотрим чуть более сложное показательное ур-ние

Для его решения заменим показатели степеней другими величинами:

Теперь наше ур-ние принимает вид

Такие ур-ния мы решать умеем. Надо лишь приравнять показатели степеней:

При решении подобных ур-ний введение новых переменных опускают. Можно сразу приравнять показатели степеней, если равны их основания:

В общем случае использованное правило можно сформулировать так:

Задание. Найдите корень ур-ния

Решение. Представим правую часть как степень двойки:

Тогда ур-ние примет вид

Теперь мы имеем право приравнять показатели:

Задание. Укажите значение х, для которого выполняется условие

Решение. Здесь удобнее преобразовать не правую, а левую часть. Заметим, что

С учетом этого можно записать

Основания у выражений слева и справа совпадают, а потому можно приравнять показатели:

Задание. Укажите корень показательного уравнения

Решение. Для перехода к одному основанию представим число 64 как квадрат восьми:

Тогда ур-ние примет вид:

Задание. Найдите корень ур-ния

Решение. Здесь ситуация чуть более сложная, ведь число 2 невозможно представить как степень пятерки, а пятерки не получится выразить как степень двойки. Однако у обеих степеней в ур-нии совпадают показатели. Напомним, что справедливы следующие правила работы со степенями:

С учетом этого поделим обе части ур-ния на выражения 5 3+х :

Задание. При каких х справедлива запись

Можно сделать преобразования, после которых в ур-нии останется только показательная функция 5 х . Для этого произведем следующие замены:

Перепишем исходное ур-ние с учетом этих замен:

Теперь множитель 5 х можно вынести за скобки:

Рассмотрим чуть более сложное ур-ние, которое может встретиться на ЕГЭ в задании повышенной сложности №13.

Задание. Найдите решение уравнения

Решение. Преобразуем левое слагаемое:

Перепишем начальное ур-ние, используя это преобразование

Теперь мы можем спокойно вынести множитель за скобки:

Получили одинаковые основания слева и справа. Значит, можно приравнять и показатели:

Это квадратное уравнение, решение которого не должно вызывать у десятиклассника проблем:

Задачи, сводящиеся к показательным уравнениям

Рассмотрим одну прикладную задачу, встречающуюся в ЕГЭ по математике.

Задание. Из-за радиоактивного распада масса слитка из изотопа уменьшается, причем изменение его массы описывается зависимостью m(t) = m₀ • 2 – t/ T , где m₀ – исходная масса слитка, Т – период полураспада, t – время. В начальный момент времени изотоп, чей период полураспада составляет 10 минут, весит 40 миллиграмм. Сколько времени нужно подождать, чтобы масса слитка уменьшилась до 5 миллиграмм.

Решение. Подставим в заданную формулу значения из условия:

m₀ = 40 миллиграмм;

m(t) = 5 миллиграмм.

В результате мы получим ур-ние

из которого надо найти значение t. Поделим обе части на 40:

Далее решим чуть более сложную задачу, в которой фигурирует сразу 2 радиоактивных вещества.

Задание. На особо точных рычажных весах в лаборатории лежат два слитка из радиоактивных элементов. Первый из них весит в начале эксперимента 80 миллиграмм и имеет период полураспада, равный 10 минутам. Второй слиток весит 40 миллиграмм, и его период полураспада составляет 15 минут. Изначально весы наклонены в сторону более тяжелого слитка. Через сколько минут после начала эксперимента весы выровняются? Масса слитков меняется по закону m(t) = m₀ • 2 – t/ T , где m₀ и Т – это начальная масса слитка и период его полураспада соответственно.

Решение. Весы выровняются тогда, когда массы слитков будут равны. Если подставить в данную в задаче формулу условия, то получится, что масса первого слитка меняется по закону

а масса второго слитка описывается зависимостью

Приравняем обе формулы, чтобы найти момент времени, когда массы слитков совпадут (m₁ = m₂):

Делим обе части на 40:

Основания равны, а потому приравниваем показатели:

Уравнения с заменой переменных

В ряде случаев для решения показательного уравнения следует ввести новую переменную. В учебных заданиях такая замена чаще всего (но не всегда) приводит к квадратному ур-нию.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Заметим, что в уравнении стоят степени тройки и девятки, но 3 2 = 9. Тогда введем новую переменную t = 3 x . Если возвести ее в квадрат, то получим, что

C учетом этого изначальное ур-ние можно переписать:

Получили обычное квадратное ур-ние. Решим его:

Мы нашли два значения t. Далее необходимо вернуться к прежней переменной, то есть к х:

Первое ур-ние не имеет решений, ведь показательная функция может принимать лишь положительные значения. Поэтому остается рассмотреть только второе ур-ние:

Задание. Найдите корни ур-ния

Решение. Здесь в одном ур-нии стоит сразу три показательных функции. Попытаемся упростить ситуацию и избавиться от одной из них. Для этого поделим ур-ние на выражение 4 4х+1 :

Так как 1 4х+1 = 1, мы можем записать:

Обратим внимание, что делить ур-ние на выражение с переменной можно лишь в том случае, если мы уверены, что оно не обращается в ноль ни при каких значениях х. В данном случае мы действительно можем быть в этом уверены, ведь величина 4 4х+1 строго положительна при любом х.

Вернемся к ур-нию. В нем стоят величины (9/4) 4х+1 и (3/2) 4х+1 . У них одинаковые показатели, но разные степени. Однако можно заметить, что

9/4 = (3/2) 2 , поэтому и (9/4) 4х+1 = ((3/2) 4х+1 ) 2 . Это значит, что перед нами уравнение с заменой переменных.

Произведем замену t = (3/2) 4х+1 , тогда (9/4) 4х+1 = ((3/2) 4х+1 ) 2 = t 2 . Далее перепишем ур-ние с новой переменной t:

Снова получили квадратное ур-ние.

Возвращаемся к переменной х:

И снова первое ур-ние не имеет корней, так как при возведении положительного числа в степень не может получится отрицательное число. Остается решить второе ур-ние:

Графическое решение показательных уравнений

Не всякое показательное уравнение легко или вообще возможно решить аналитическим способом. В таких случаях выручает графическое решение уравнений.

Задание. Найдите графическим способом значение х, для которого справедливо равенство

Решение. Построим в одной системе координат графики у = 3 х и у = 4 – х:

Видно, что графики пересекаются в одной точке с примерными координатами (1; 3). Так как графический метод не вполне точный, следует подставить х = 1 в ур-ние и убедиться, что это действительно корень ур-ния:

Получили верное равенство, значит, х = 1 – это действительно корень ур-ния.

Задание. Решите графически ур-ние

Решение. Перенесем вправо все слагаемые, кроме 2 х :

Слева стоит показательная функция, а справа – квадратичная. Построим их графики и найдем точки пересечения:

Видно, что у графиков есть две общие точки – это (0;1) и (1; 2). На всякий случай проверим себя, подставив х = 0 и х = 1 в исходное ур-ние:

Ноль подходит. Проверяем единицу:

И единица тоже подошла. В итоге имеем два корня, 0 и 1.

Показательные неравенства

Рассмотрим координатную плоскость, в которой построен график некоторой показательной ф-ции у = а х , причем а > 0. Пусть на оси Ох отложены значения s и t, и t t и a s на оси Оу. Так как

является возрастающей функцией, то и величина a t окажется меньше, чем a s . Другими словами, точка a t на оси Оу будет лежать ниже точки а s (это наглядно видно на рисунке). Получается, что из условия t t s . Это значит, что эти два нер-ва являются равносильными.

С помощью этого правила можно решать некоторые простейшие показательные неравенства. Например, пусть дано нер-во

Представим восьмерку как степень двойки:

По только что сформулированному правилу можно заменить это нер-во на другое, которое ему равносильно:

Решением же этого линейного неравенства является промежуток (– ∞; 3).

Однако сформулированное нами правило работает тогда, когда основание показательной ф-ции больше единицы. А что же делать в том случае, если оно меньше единицы? Построим график такой ф-ции и снова отложим на оси Ох точки t и s, причем снова t будет меньше s, то есть эта точка будет лежать левее.

Так как показательная ф-ция у = а х при основании, меньшем единицы, является убывающей, то окажется, что на оси Оу точка a s лежит ниже, чем a t . То есть из условия t t > a s . Получается, что эти нер-ва равносильны.

Например, пусть надо решить показательное неравенство

Выразим число слева как степень 0,5:

Тогда нер-во примет вид

По рассмотренному нами правилу его можно заменить на равносильное нер-во

В более привычном виде, когда выражение с переменной стоит слева, нер-во будет выглядеть так:

а его решением будет промежуток (3; + ∞).

В общем случае мы видим, что если в показательном нер-ве вида

основание a больше единицы, то его можно заменить равносильным нер-вом

Грубо говоря, мы просто убираем основание степеней, а знак нер-ва остается неизменным. Если же основание а меньше единицы, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел или переменных t и s используются произвольные функции f(x) и g(x). Сформулируем это правило:

Таким образом, для решения показательных неравенств их следует преобразовать к тому виду, при котором и справа, и слева стоят показательные ф-ции с одинаковыми показателями, после чего этот показатель можно просто отбросить. Однако надо помнить, что при таком отбрасывании знак нер-ва изменится на противоположный, если показатель меньше единицы.

Задание. Решите простейшее неравенство

Представим число 64 как степень двойки:

теперь и справа, и слева число 2 стоит в основании. Значит, его можно отбросить, причем знак нер-ва останется неизменным (ведь 2 > 1):

Задание. Найдите промежуток, на котором выполняется нер-во

Решение. Так как основание степеней, то есть число 0,345, меньше единицы, то при его «отбрасывании» знак нер-ва должен измениться на противоположный:

Это самое обычное квадратное неравенство. Для его решения нужно найти нули квадратичной функции, стоящей слева, после чего отметить их на числовой прямой и определить промежутки, на которых ф-ция будет положительна.

Нашли нули ф-ции. Далее отмечаем их на прямой, схематично показываем параболу и расставляем знаки промежутков:

Естественно, что в более сложных случаях могут использоваться всё те же методы решения нер-ва, которые применяются и в показательных ур-ниях. В частности, иногда приходится вводить новую переменную.

Задание. Найдите решение нер-ва

Решение. Для начала представим число 3 х+1 как произведение:

Теперь перепишем с учетом этого исходное нер-во:

Получили дробь, в которой есть одна показательная ф-ция 3 х . Заменим её новой переменной t = 3 x :

Это дробно-рациональное неравенство, которое можно заменить равносильным ему целым нер-вом:

которое, в свою очередь, решается методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего слева

Отмечаем найденные нули на прямой и расставляем знаки:

Итак, мы видим, что переменная t должна принадлежать промежутку (1/3; 9), то есть

Теперь произведем обратную замену t = 3 x :

Так как основание 3 больше единицы, просто откидываем его:

Итак, мы узнали о показательных уравнениях и неравенствах и способах их решения. В большинстве случаев необходимо представить обе части равенства или неравенства в виде показательных степеней с одинаковыми основаниями. Данное действие иногда называют методом уравнивания показателей. Также в отдельных случаях может помочь графический способ решения ур-ний и замена переменной.

Определение показательных уравненийю конспект

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Определение показательных уравнений

Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. Сегодня мы будем изучать показательные уравнения и неравенства.

Определение. Уравнения вида: a f(x) =a g(x) , где a>0 , a≠1 называются показательными уравнениями.

Вспомнив теоремы, которые мы изучали в теме «Показательная функция», можно ввести новую теорему:
Теорема. Показательное уравнение a f(x) =a g(x) , где a>0 , a≠1 равносильно уравнению f(x)=g(x) .

Примеры показательных уравнений

Пример.
Решить уравнения:
а) 3 3x−3 =27 .
б) ( 23 ) 2x+0,2 = 5 √ 23 .
в) 5 x 2 −6x =5 −3x+18 .
Решение.
а) Мы хорошо знаем, что 27=3 3 .
Перепишем наше уравнение: 3 3x−3 =3 3 .
Воспользовавшись теоремой выше, получаем, что наше уравнение сводится к уравнению 3х−3=3 , решив это уравнение, получим х=2 .
Ответ: х=2 .

б) 5 √ 23 =( 23 ) 15 .
Тогда наше уравнение можно переписать: ( 23 ) 2x+0,2 =( 23 ) 15 =( 23 ) 0,2 .
2х+0,2=0,2 .
х=0 .
Ответ: х=0 .

в) Исходное уравнение равносильно уравнению: x 2 −6x=−3x+18 .
x 2 −3x−18=0 .
(x−6)(x+3)=0 .
x 1 =6 и x 2 =−3 .
Ответ: x 1 =6 и x 2 =−3 .

Пример.
Решить уравнение: (0,25) x−0,5 √4 =16 ∗ (0,0625) x+1 .
Решение:
Последовательно выполним ряд действий и приведем обе части нашего уравнения к одинаковым основаниям.
Выполним ряд операций в левой части:
1) (0,25) x−0,5 =( 14 ) x−0,5 .
2) √4=4 12 .
3) (0,25) x−0,5 √4 = ( 14 ) x−0,5 4 12 = 14 x−0,5+0,5 = 14 x =( 14 ) x .
Перейдем к правой части:
4) 16=4 2 .
5) (0,0625) x+1 = 116 x+1 = 14 2x+2 .
6) 16 ∗ (0,0625) x+1 = 4 2 4 2x+2 =4 2−2x−2 =4 −2x = 14 2x =( 14 ) 2x .
Исходное уравнение равносильно уравнению:
( 14 ) x =( 14 ) 2x .
x=2x .
x=0 .
Ответ: х=0 .

Пример.
Решить уравнение: 9 x +3 x+2 −36=0 .
Решение:
Перепишем наше уравнение: (3 2 ) x +9 ∗ 3 x −36=0 .
(3 x ) 2 +9 ∗ 3 x −36=0 .
Давайте сделаем замену переменных, пусть a=3 x .
В новых переменных уравнение примет вид: a 2 +9a−36=0 .
(a+12)(a−3)=0 .
a 1 =−12 и a 2 =3 .
Выполним обратную замену переменных: 3 x =−12 и 3 x =3 .
На прошлом уроке мы узнали, что показательные выражения могут принимать только положительные значения, вспомните график. Значит, первое уравнение не имеет решений, второе уравнение имеет одно решение: х=1 .
Ответ: х=1 .

Давайте составим памятку способов решения показательных уравнений:
1. Графический метод. Представляем обе части уравнения в виде функций и строим их графики, находим точки пересечений графиков. (Этим методом мы пользовались на прошлом уроке).
2. Принцип равенства показателей. Принцип основан на том, что два выражения с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда, когда равны степени (показатели) этих оснований. a f(x) =a g(x) f(x)=g(x) .
3. Метод замены переменных. Данный метод стоит применять, если уравнение при замене переменных упрощает свой вид и его гораздо легче решить.

Пример.
Решить систему уравнений: <27 y ∗ 3 x =1,4 x+y −2 x+y =12. .
Решение.
Рассмотрим оба уравнения системы по отдельности:
27 y ∗ 3 x =1 .
3 3y ∗ 3 x =3 0 .
3 3y+x =3 0 .
x+3y=0 .
Рассмотрим второе уравнение:
4 x+y −2 x+y =12 .
2 2(x+y) −2 x+y =12 .
Воспользуемся методом замены переменных, пусть y=2 x+y .
Тогда уравнение примет вид:
y 2 −y−12=0 .
(y−4)(y+3)=0 .
y 1 =4 и y 2 =−3 .
Перейдем к начальным переменным, из первого уравнения получаем x+y=2 . Второе уравнение не имеет решений. Тогда наша начальная система уравнений, равносильна системе: Вычтем из первого уравнения второе, получим: <2y=−2,x+y=2. .
Ответ: (3;−1) .

Перейдем к неравенствам. При решении неравенств необходимо обращать внимание на основание степени. Возможны два варианта развития событий при решении неравенств.

Теорема. Если а>1 , то показательное неравенство a f(x) >a g(x) равносильно неравенству f(x)>g(x) .
Если 0 , то показательное неравенство a f(x) >a g(x) равносильно неравенству f(x) . (Знак неравенства меняется на противоположный).

Пример.
Решить неравенства:
а) 3 2x+3 >81 .
б) ( 14 ) 2x−4 116 .
в) 0,3 x 2 +6x ≤0,3 4x+15 .
Решение.
а) 3 2x+3 >81 .
3 2x+3 >3 4 .
Наше неравенство равносильно неравенству:
2x+3>4 .
2x>1 .
x>0,5 .

б) ( 14 ) 2x−4 116 .
( 14 ) 2x−4 14 ) 2 .
В нашем уравнении основание при степени меньше 1, тогда при замене неравенства на эквивалентное необходимо поменять знак.
2x−4>2 .
x>3 .

в) Наше неравенство эквивалентно неравенству:
x 2 +6x≥4x+15 .
x 2 +2x−15≥0 .
(x−3)(x+5)≥0 .
Воспользуемся интервальным методом решения:
Ответ: (−∞;−5]U[3;+∞) .
Пример.
Решить неравенство: 4 ∗ 3 x −103 x+1 −1 .
Решение.
4 ∗ 3 x −103 ∗ 3 x −1 .

Введем новую переменную y=3 x .
4y−103y−1 .

y−93y−1 .
Решение неравенства будет промежуток 13 .
Введем обратную замену: 13 x .
3 −1 x 2 .
−1 .
Ответ: −1 .

Задачи для самостоятельного решения

1.Решить уравнения:
а) 4 5x−2 =64 .
б) ( 23 ) 3x−0,2 = 7 √ 23 .
в) 3 x 2 −6x =3 −7x+6 .
2. Решить уравнение: (0,5) 2x−0,3 √2 =16 ∗ (0,25) 3x+1 .
3. Решить уравнение: 16 x +4 x+2 −80=0 .
4. Решить систему уравнений: <64 y ∗ 4 x =4,9 x+y −3 ∗ 3 x+y =54. .
5. Решить неравенства:
а) 2 5x−8 >64 .
б) ( 13 ) 3x−4 181 .
в) 0,3 x 2 −9x ≥0,3 −7x+35 .
6. Решить неравенство: 2 ∗ 2 x −52 x+2 −1 .

Показательные уравнения и неравенства

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств. В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.

Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике «Методическая копилка репетитора по физике и математике» в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Показательная функция

Что такое показательная функция?

Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = a x :