Как решить задачу без составления уравнения

Решаем задачи без уравнений.

Сапаргалиев Марат Тилеулиевич,

учитель математики средней

школы-гимназии №16 города Талдыкорган.

Решаем задачи без уравнений.

Приведенные ниже задачи, на первый взгляд, — почти типовые. Большинство из них не представляют особой сложности для способного ученика, однако если репетитору по математике поставить перед ребенком условие не использовать уравнения, то задачи сразу же перейдут в категорию олимпиадных. Одновременно с увеличением уровня их сложности репетитор расширяет диапазон возрастов, для которых можно эти решения показывать.

Попробуйте справиться с задачами самостоятельно. Если не получится — приходите ко мне на занятия.

1) За ручку, тетрадь и пенал заплатили 20 рублей. Ручка стоит на 9 рублей больше тетради, а ручка вместе с тетрадью стоят на 16 рублей больше, чем пенал. Сколько стоит отдельно каждая вещь?

2) В банке живут пауки и жуки. Всего их 18 штук. У паука 8 лапок, а у жука 6 лапок. Сколько живет в банке пауков и сколько жуков, если у них всего 120 лапок?

3) Из металлического прута можно нарезать или 80 равных кусочков или 120. В первом случае каждый кусочек будет на 5 г тяжелее. Найдите вес прута.

4) Лыжник прикинул, что если о будет бежать на лыжах со скоростью 10км/ч, то опаздает к полудню ровно на час, а если со скоростью 15 км/ч, придет раньше на час. С какой скоростью ему бежать дистанцию, если нужно прибыть в конечную точку ровно в полдень?

5) Стас и Олег живут в одном доме. Первый успевает дойти до дома репетитора по математике за 20 мин, а второй за 30 минут. За какое время Стас догонит Олега, если Олег выйдет к репетитору на 5 минут раньше?

6) Если Таня идет до дома бабушки пешком, а братно едет на трамвае, то тогда на всю дорогу она тратит полтора часа. Если она едет в обе стороны на трамвае, то на весь путь уходит 30 минут. Сегодня трамваи не ходят. Сколько времени уйдет на дорогу до бабушки и обратно, если идти в оба конца пешком?

7) Заработок мастера за один рабочий день совтавляет 1300р вместе с надбавкой. Основная плата на 1000 рублей больше надбавки. Найдите величину заработной планы без надбавки.

8) Две груши и один банан весят вместе 260г, а три таких же груши и тот же банан уже 420г. Сколько весит одна груша вместе с одним бананом?

9) На двух полках у преподавателя математики 24 учебника. На каждую из них он дополнительно поставил столько же учебников, сколько стояло на соседней. Какое количество учебников теперь у него стоит на двух полках?

Просмотр содержимого документа
«Решаем задачи без уравнений.»

Решаем задачи без уравнений.

Попробуйте справиться с задачами самостоятельно. Если не получится — приходите ко мне на занятия.

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
Решают уравнение.
Истолковывают результат.

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7\cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7\cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48\cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700\cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15\cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3\cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3\cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=\frac<15><10>=\frac<3><2>$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5\cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3\cdot 2x-0,3\cdot 10=65$$

$$2x+0,3\cdot 2x=65+10+0,3\cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

Как научиться решать задачи по математике без особых усилий?

В курсе математики обязательно встречаются разного рода уравнения и задачи, но у многих они вызывают затруднения. Все дело в том, что необходимо отработать и автоматизировать эти процессы. Как научиться решать задачи по математике, понимать их, вы узнаете в данной статье.

Простейшие задачи

Начнем с самого легкого. Чтобы получить правильный ответ на задачу, необходимо понять ее суть, поэтому тренироваться необходимо на простейших примерах для младшей школы. Как научиться решать задачи по математике, мы опишем вам в данном разделе на конкретных примерах.

Пример 1: Ваня и Дима ловили вместе рыбу, но у Димы клевало плохо. Какой улов у ребят? Дима поймал на 18 рыб меньше, чем весь улов, у одного из ребят на 14 рыб меньше, чем у другого.

Данный пример взят из курса математики за четвертый класс. Чтобы решить задачу, необходимо понять ее суть, точный вопрос, что в итоге необходимо найти. Этот пример решается в два простых действия:

18-14=4 (рыбы) — поймал Дима;

18+4=22 (рыбы) — поймали ребята.

Теперь можно смело записывать ответ. Вспоминаем главный вопрос. Какой общий улов? Ответ: 22 рыбы.

Летят воробей и орел, известно, что воробей за два часа пролетел четырнадцать километров, а орел за три часа пролетел 210 километров. Во сколько раз скорость орла больше.

Обратим внимание на то, что в этом примере два вопроса, записывая итог, не забываем указывать два ответа.

Переходим к решению. В этой задаче необходимо знать формулу: S=V*T. Она, наверняка, известна многим.

14/2=7 (км/ч) — скорость воробья;

210/3=70 (км/ч) — скорость орла;

70/7=10 — во столько раз скорость орла превосходит скорость воробья;

70-7=63 (км/ч) — на сколько скорость воробья меньше скорости орла.

Записываем ответ: в 10 раз скорость орла превосходит скорость воробья; на 63 км/ч орел быстрей воробья.

Более сложный уровень

Как научиться решать задачи по математике, используя таблицы? Все очень просто! Как правило, таблицы используются для упрощения и систематизации условия. Чтобы понять суть данного метода, разберем пример.

Перед вами книжный шкаф с двумя полками, на первой книг в три раза больше, чем на второй. Если с первой полки убрать восемь книг, а на вторую поставить 32, то их станет поровну. Ответьте на вопрос: сколько книг было первоначально на каждой полке?

Как научиться решать текстовые задачи по математике, сейчас все наглядно покажем. Для упрощения восприятия условия составим таблицу.

Условие

1 полка	2 полка
Было	3х	х
Стало	3х-8	х+32

Теперь можем составить уравнение:

х=20 (книг) — было на второй полке;

20*3=60 (книг) — было на первой полке.

Вот наглядный пример решения задачи на составление уравнения с использованием вспомогательной таблицы. Она значительно упрощает восприятие.

Логика

В курсе математики встречаются и более сложные задания. Как научиться решать логические задачи по математике, мы рассмотрим в данном разделе. Для начала вчитываемся в условие, оно состоит из нескольких пунктов:

Перед нами лист с числами от 1 до 2009.
Мы вычеркнули все нечетные числа.
Из оставшихся вычеркнули числа, стоящие на нечетных местах.
Последнее действие выполняли до тех пор, пока не осталось одно число.

Вопрос: какое число осталось не зачеркнутым?

Как быстро научиться решать задачи по математике на логику? Для начала не спешим писать все эти числа и вычеркивать по одному, поверьте, это очень долгое и глупое занятие. Задачу данного типа несложно решить и в несколько действий. Предлагаем вместе поразмыслить над решением.

Ход решения

Давайте предположим, какие числа останутся после первого действия. Если исключить все нечетные, то остаются: 2, 4, 6, 8, . , 2008. Заметим, что все они кратны двум.

Убираем числа на нечетных местах. Что у нас остается? 4, 8, 12, . , 2008. Замечаем, что все они кратны четырем (то есть делятся без остатка на четыре).

Далее убираем числа на нечетных местах. Мы в итоге имеем числовой ряд: 8, 16, 24, . , 2008. Наверное, вы уже догадались, что все они кратны восьми.

Нетрудно догадаться о наших последующих действиях. Далее оставляем числа кратные 16, затем 32, далее 64, 128, 256.

Когда мы дошли до чисел, кратных 512, то у нас остаются всего три числа: 512, 1024, 1536. Следующим этапом оставляем число, кратное 1024, оно в нашем списке одно: 1024.

Как видите, задача решается элементарно, без особых усилий и массы потраченного времени.

Олимпиада

В школе существует такое понятие, как олимпиада. Туда попадают дети с особыми навыками. Как научиться решать олимпиадные задачи по математике, и что они собой представляют, рассмотрим далее.

Начать стоит с более низкого уровня, далее его усложняя. Отработать навыки решения олимпиадных задач предлагаем на примерах.

Олимпиада, 5 класс. Пример.

На нашей ферме живет девять свиней, они за три дня съедают двадцать семь мешков корма. Сосед фермер попросил оставить пять своих свиней на пять дней. Сколько же нужно корма пяти свиньям на пять дней?

Олимпиада, 6 класс. Пример.

Большой орел пролетает три метра за одну секунду, а орленок один метр за полсекунды. Они одновременно стартовали с одной вершины на другую. Сколько взрослому орлу придется ждать своего детеныша, если расстояние между вершинами 240 метров?

Решения

В прошлом разделе мы рассмотрели две простых олимпиадных задачи за пятый и шестой класс. Как научиться решать задачи по математике олимпиадного уровня, предлагаем рассмотреть прямо сейчас.

Начнем с пятого класса. Что нужно нам для начала? Узнать сколько мешков съедают девять поросят за один день, для этого сделаем простейшее вычисление: 27:3=9. Мы нашли количество мешков для девяти поросят на один день.

Теперь вычисляем сколько необходимо мешков одному поросенку на один день: 9:9=1. Вспоминаем, что говорилось в условии, сосед оставил пять свиней на пять дней, следовательно, нам необходимо 5*5=25 (мешков корма). Ответ: 25 мешков.

Решение задачи за шестой класс:

240:3=80 секунд летел взрослый орел;

орленок за 1 секунду пролетает два метра, следовательно: 80*2=160 метров пролетит орленок за 80 секунд;

240-180=80 метров останется пролететь орленку, когда взрослый орел уже приземлился на скалу;

80:2=40 секунд еще потребуется орленку, чтобы долететь до взрослого орла.

источники:

http://reshu.su/algebra/06/

http://fb.ru/article/262909/kak-nauchitsya-reshat-zadachi-po-matematike-bez-osobyih-usiliy