Как найти дискриминант квадратного уравнения
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:
13 = 12 — противоречие.
Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:
12 = 12 — верное равенство.
Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.
Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные
Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.
Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
Ответ: корень уравнения 3.
Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, значит уравнение имеет два корня:
Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
Об отдельных случаях вычисления дискриминанта
Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.
Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант, многие начинают паниковать (без калькулятора).
А на ЕГЭ по математике, например, в задачах №11, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.
Нет безвыходных ситуаций!
На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта
Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же формулу дикриминанта 
для вычисления корней квадратного уравнения 
Тогда корни уравнения находим по формуле
Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным квадратным уравнением ( 
и 
– ненулевые).
I. Используем формулу «разность квадратов» + показать
Допустим, нам нужно решить уравнение 
Ясно, что дискриминант следующий: 
Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что 
, поэтому
Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…
II. Используем прием вынесения общего множителя за скобки + показать
Допустим, нам нужно решить уравнение 
(кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).
Ясно, что дискриминант следующий: 
Нет, мы не пойдем напролом!
Замечаем, что 
, а 
.
Мы можем вынести за скобку общий множитель 
Корни найти – уже не проблема…
III. Формула сокращенного дискриимнанта + показать
Допустим, нам нужно решить уравнение 
Вы знаете, что такое 
?
Его очень удобно применять в случае четности второго коэффициента (при 
).
Вот формулы дискриминанта и корней в этом случае:
для уравнения , где – четное
Тогда корни следующие: 
, то есть 
или 
Хоть на чуть-чуть, но упростили вычисления. Считаете, что неоправданно, – лишней формулой забивать голову… Выбор за вами.
IV. Вместо дискриминанта – т. Виета + показать
Допустим, нам нужно решить уравнение 
Вспоминаем теорему Виета:
Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при 
в котором равен единице) 
сумма корней равна коэффициенту 
, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену 
, то есть 
, 
Так вот, очевидно, на роль корней уравнения 
претендуют числа 
и 
, так как 
и 
Дискриминант квадратного уравнения
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.
| Вид уравнения | Формула корней | Формула дискриминанта |
|---|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  | b 2 — 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  | k 2 — ac |
| x 2 + px + q = 0 |  |  |
 | p 2 — 4q |
Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:
| Вид уравнения | Формула |
|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  , где D = b 2 — 4ac |
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  , где D = k 2 — ac |
| x 2 + px + q = 0 |  , где D = |
 , где D = p 2 — 4q |
Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:
- Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
- Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.
Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:
так как она относится к формуле:
,
которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений через дискриминант
Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.
Пример 1. Решить уравнение:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,
Уравнение имеет всего один корень:
Определим, чему равны коэффициенты:
D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,
http://egemaximum.ru/ob-otdelnyx-sluchayax-vychisleniya-diskriminanta/
http://izamorfix.ru/matematika/algebra/diskriminant.html