Как сделать замену в квадратном уравнении

Метод замены переменной

Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

Заменим выражение \(x+\frac<1>\) буквой \(t\).

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

Попробуем сделать замену здесь.

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

Примеры использования метода замены переменной

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

Теперь используем метод замены.

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

Ответ: \(±1\); \(±\) \(\frac<1><2>\) .

Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!

Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Приступим к решению.

Раскладываем левую часть неравенства на множители .

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называется уравнение вида:

$$ ax^4+bx^2+c = 0, a \neq 0 $$

Алгоритм решения биквадратного уравнения

Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 \ge 0$.

Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$

Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.

Если $D \gt 0$, $z_ <1,2>= \frac<-b \pm \sqrt> <2a>$. Проверить условие $z ≥ 0$, если положительных корней нет, решений нет, переход на шаг 4.

Если D = 0,$z_0 = -\frac<2a>$. Проверить условие $z \ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.

Если $D \lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.

Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = \pm \sqrt$.

Шаг 4. Работа завершена.

Шаг 1. $z = x^2 \ge 0, z^2+7z-30 = 0$

$z_1 = -10 \lt 0, z_2 = 3 \gt 0 $

Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_ <1,2>= \pm \sqrt<3>$

Метод разложения на множители

Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.

Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_ x^ + ⋯ + a_1 x+a_0$ если $P_n (x_0 ) = 0$.

Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.

Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_ (x)$, где $P_ (x)$ — многочлен степени n-1.

Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.

При разложении многочлена

• множители вида (x-a) называют линейными множителями ;
• множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D \lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями .

Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.

Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.

Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:

• вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
• группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
• формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
• метод неопределённых коэффициентов;
• выделение полного квадрата и т.п.

Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.

Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$

$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$

Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \frac<1><2>$

Метод замены переменной

Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:

$Исходное \quad сложное \quad уравнение \iff <\left\< \begin Новая \quad переменная \quad (урав. \quad связи \quad со \quad старой \quad переменной \\ Исходное \quad урав. \quad в \quad «упрощ.» \quad виде \end \right.>$

Например, для биквадратных уравнений:

$$ ax^4+bx^2+c = 0 \iff <\left\< \begin z = x^2 \ge 0 \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> $$

Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:

$$ ax+b \sqrt+c = 0 \iff <\left\< \begin z = \sqrt \ge 0 \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> $$

И, в общем виде, для любой рациональной степени n:

$$ ax^<2n>+bx^n+c = 0 \iff <\left\< \begin z = x^n \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> , n \in \Bbb Q $$

В других случаях замена переменной не настолько очевидна.

Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.

Раскроем скобки:$ x^2-x = \frac<24>$. Сделаем замену:

$$ z = \frac<24> \Rightarrow z(z-2) = 24 \Rightarrow z^2-2z-24 = 0 \Rightarrow (z-6)(z+4) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -4 \\ z_2 = 6 \end \right.$$

Возвращаемся к исходной переменной x:

$$ \left[ \begin x^2-x = -4 \\ x^2-x = 6 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2-x+4 = 0 \\ x^2-x-6 = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin D \lt 0, x \in \varnothing \\ (x-3)(x+2) = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -2 \\ x_2 = 3 \end \right. $$

При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.

Выделение полного квадрата

Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:

$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$

Такое разложение не всегда возможно.

Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:

$$ = a \Biggl(x+\frac <2a>\Biggr)^2 — \frac <4a>= a \Biggl(x+ \frac <2a>\Biggr)^2- \frac<4a>, D = b^2-4ac $$

Нами выделен полный квадрат $(x+\frac<2a>)^2$.

Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).

А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D \ge 0$.

Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$

Выделим полный квадрат и разложим на множители:

$$ \left[ \begin x^2+2-\sqrt <5>= 0 \\ x^2+2+\sqrt <5>= 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2 = \sqrt <5>-2 \gt 0 \\ x^2 = -(2+\sqrt<5>) \lt 0 \end \right. \Rightarrow x_1,2 = \pm \sqrt<\sqrt<5>-2> $$

Примеры

Пример 1. Решите биквадратные уравнения:

Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 \iff <\left\< \begin z = x^2 \ge 0 \\ 2z^2+7z-4 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$

$$ z = \frac<-7 \pm 9> <4>= \left[ \begin z_1 = -4 \lt 0 \\ z_2 = \frac<1> <2>\gt 0 \end \right. $$

Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:

Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 \iff <\left\< \begin z = (x+3)^2 \ge 0 \\ z^2-10z+24 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 \Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = 4 \\ z_2 = 6 \end \right.$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin (x+3)^2 = 4 \\ (x+3)^2 = 6 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x+3 = \pm \sqrt <4>\\ x+3 = \pm \sqrt <6>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_ <1,2>= -3 \pm 2 \\ x_ <3,4>= -3 \pm \sqrt <6>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -5 \\ x_2 = -1 \\ x_ <3,4>= -3 \pm \sqrt <6>\end \right. $$

Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:

Делаем замену: $x+4 \sqrt-60 = 0 \iff <\left\< \begin z = \sqrt \ge 0 \\ z^2+4z-60 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 \Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -10 \\ z_2 = 6 \end \right.$

Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:

Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 \iff <\left\< \begin z = (x-1)^3 \\ z^2-7z-8 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 \Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -1 \\ z_2 = 8 \end \right.$

При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin (x-1)^3 = -1 \\ (x-1)^3 = 8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x-1 = -1 \\ x-1 = 2 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 0 \\ x_2 = 3 \end \right. $$

Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:

Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:

$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 \Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 \Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -6 \\ z_2 = 7 \end \right.$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin x^2+6x = -6 \\ x^2+6x = 7 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+6x+6 = 0 \\ x^2+6x-7=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin D = 12, x = \frac<-6 \pm 2 \sqrt<3>> <2>\\ (x+7)(x-1) = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_ <1,2>= -3 \pm \sqrt <3>\\ x_3 = -7 \\ x_4 = 1 \end \right. $$

Делаем замену: $ \frac<4> + \frac<5> = 2 \iff \left[ \begin z = x^2+3 \ge 3 \\ \frac<4> + \frac<5> = 2 \end \right.$

Решаем уравнение относительно z:

$$ \frac<4> + \frac<5> = 2 \Rightarrow \frac<4(z+1)+5z> = \frac<2> <1>\Rightarrow 4(z+1)+5z = 2z(z+1) $$

$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 \Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$

$$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$

$$ z = \frac<7 \pm 9> <4>= \left[ \begin z_1 = — \frac<1> <2>\lt 3 \\ z_2 = 4 \gt 3 \end \right. $$

Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:

$$ x^2+3 = 4 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_ <1,2>= \pm 1$$

Пример 4*. Решите уравнения:

Приведём это уравнение к биквадратному.

В линейных множителях (x+a) выберем все a =

Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)

Замена переменных $z = x+a_$:

Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:

$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 \Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 \Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$

Получили биквадратное уравнение.

Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 \iff <\left\< \begin t = z^2 \ge 0 \\ t^2-10t-936 = 0 \end \right.> $

Решаем квадратное уравнение:

$$ D = 100+4 \cdot 936 = 3844 = 62^2, t = \frac<10 \pm 62> <2>= \left[ \begin t_1 = -26 \lt 0 \\ t_2 = 36 \gt 0 \end \right. $$

Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:

$$ z = \pm \sqrt= \pm \sqrt <36>= \pm 6 $$

Возвращаемся к исходной переменной x:

$$ x = z-4 = \pm 6-4 = \left[ \begin x_1 = -10 \\ x_2 = 2 \end \right. $$

$$ z- \frac<1> =2,1 |\times z (z \neq 0) $$

$$ z^2-2,1z-1 = 0 \Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = \frac<2,1 \pm 2,9> <2>= \left[ \begin z_1 = -0,4 \\ z_2 = 2,5 \end \right. $$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin \frac = -0,4 \\ \frac = 2,5 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+1 = -0,4x \\x^2+1 = 2,5x \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+0,4x+1 = 0 \\ x^2-2,5x+1 = 0 \end \right. $$

В первом уравнении $D = 0,4^2-4 \lt 0$, решений нет.

Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $\Rightarrow \left[ \begin x_1 = \frac<1> <2>\\ x_2 = 2 \end \right.$

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.