Как сформировать матрицу из уравнений

Матрицы и системы линейных уравнений

Содержание:

Матрицы и системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений

Одно из важных применений матриц связано с системами линейных уравнений. Рассмотрим систему

(1)

и соответствующие ей матрицы

Тогда систему (1) можно заменить единственным уравнением АХ = В.

Уравнение (2) называют матричной записью системы (1). Например, система

в матричной записи выглядит так:

Заметим, что матричную запись систем линейных уравнений применяли древнекитайские математики во в. до н.э., а в европейской науке она применяется с XIX

Обратная, вырожденная и невырожденная матрицы

Рассмотрим вопросы, связанные с умножением квадратных матриц порядка . Тогда произведение АВ имеет смысл для любых матриц А и В . Мы уже вводили понятие единичной матрицы

и говорили о том, что для любой квадратной матрицы А выполняется свойство АЕ = ЕА = А.

Известно, что любого числа существует обратное число , для которого .

Нечто подобное имеет место и для квадратных матриц, причем роль условия играет своеобразное условие невырожденности матрицы А.

Определение 1. Пусть А — квадратная матрица порядка . Квадратная матрица того же порядка называется обратной для А, если .

Для обратных матриц выполняется свойство: .

Заметим, что строки матрицы А — это арифметические векторы из , поэтому можно ставить вопрос об их линейной зависимости или независимости.

Определение 2. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, и вырожденной в противном случае.

В лекции 1 мы указывали, что линейно независимая система векторов не может содержать нулевой вектор. Т.о., в невырожденной матрице не может быть нулевых строк. Над строками матрицы можно совершать элементарные преобразования:

1) переставлять строки;

2) вычеркивать нулевую строку;

3) умножать строку на число ;

4) прибавлять к одной из строк другую строку, умноженную на любое число. Заметим, что речь идет о тех же самых элементарных преобразованиях, которые используются в методе Гаусса, с той лишь разницей, что теперь это строки матрицы, а не уравнения системы.

Теорема 1. Если над строками невырожденной матрицы А проделать элементарные преобразования, то получим снова невырожденную матрицу.

Теорема 2. Для любой невырожденной матрицы А существует обратная матрица .

Метод Жордана-Гаусса решения матричных уравнений

Рассмотрим матричное уравнение

, (3)

где А и В — две данные матрицы, X — искомая матрица. Существенно, что А — квадратная матрица порядка . В частном случае, когда В = Е, искомая матрица X будет обратной к А , т.е.

Эффективным методом решения матричных уравнений (3) является метод полного исключения Жордана-Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса. Пусть А — невырожденная матрица. Припишем к ней (например, справа) матрицу В и далее будем работать уже со «сдвоенной» матрицей:

Если, выполняя элементарные преобразования над строками этой матрицы, привести ее левую часть к единичной матрице , то правая часть приведется к искомой матрице X. Фактически, метод Жордана-Гаусса можно представить следующей схемой:

В частном случае, когда нужно найти обратную матрицу надо совершить переход:

.

Пример №26

Методом Жордана-Гаусса для матрицы

найти обратную матрицу

Решение:

Составим «сдвоенную» матрицу

С помощью элементарных преобразований приведем ее левую часть к единичной матрице :

Правее вертикальной черты получилась обратная матрица :

Замечание 1. При нахождении обратной матрицы методом Жордана-Гаусса возможны вычислительные ошибки. Поэтому желательно делать проверку:

.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений с неизвестными:

Запишем эту систему матричным уравнением АХ — В,

Теорема 3. Пусть квадратная матрица А является невырожденной. Тогда решением матричного уравнения АХ = В будет

.

Доказательство. Используя очевидные преобразования, получим

. Теорема доказана.

Замечание 2. Результат, полученный при доказательстве теоремы 3, часто называют методом обратной матрицы.

Пример №27

Решить систему методом обратной матрицы:

Решение:

Этой системе соответствуют матрицы:

Подобно тому, как это делалось в примере 1, найдем обратную матрицу к матрице А:

Используя теорему 3, получим

Итак, наша система имеет решение: . Проверкой убеждаемся в том, что оно правильное.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Сведение системы линейных уравнений к матрице.

Так система линейных уравнений

	a 11 x 1 + a 12 x 2 + . + a 1 n x n = b 1
	a 21 x 1 + a 22 x 2 + . + a 2 n x n = b 2
	································
	a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + . + a mn x n = b m

состоящая из m линейных уравнений, содержащая n неизвестных величин, может быть записана в виде матричного уравнения:

Матрица A — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец x — вектор неизвестных, а вектор-столбец b — вектор значений системы линейных уравнений.

Пример записи системы линейных уравнений с помощью матричного уравнения

Записать в виде матричном виде систему линейных уравнений:

	4 x 1 + x 2 — x 3 — x 4 = 3
	— x 1 + 3 x 3 — 2 x 4 = 5
	6 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 2
	2 x 2 — x 3 + x 4 = 0

Решение: Система линейных уравнений запишется с помощью матриц следующим образом:

Решение матричных уравнений

Финальная глава саги.

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.

Краткое содержание прошлых частей:

• Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
• Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
• Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
• Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
• Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
• Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Шаг 1. Упрощаем уравнение

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Приводим матричное уравнение к упрощённому виду

Шаг 2. Вводим единичную матрицу

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.

Вот такое, только в мире матриц.

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:

А -1 × А × Х = А -1 × В

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:

А -1 × А = E — единичная матрица

E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А -1 × В — новая запись уравнения

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:

1. Делим единицу на определитель матрицы A.
2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Третье действие: получаем обратную матрицу

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика: