Как складывать гармонические колебания по уравнениям

Сложение гармонических колебаний

Если колебательная система одновременно участвует в двух (или более) независимых колебательных движениях, возникает задача — найти результирующее колебание. В случае однонаправленных колебаний под этим понимается нахождение уравнения результирующего колебания; в случае взаимно перпендикулярных колебаний — нахождение траектории результирующего колебания.

Метод векторных диаграмм

Рассмотрим вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью w вектор А. Очевидно, что угол j = w t + j₀ где j₀ — начальный угол.

Проекции вектора А на оси координат запишутся:

Видно, что проекции вращающегося вектора на оси координат по форме совпадают с уравнением гармонических колебаний, если угловой скорости вектора сопоставить угловую частоту колебаний, а начальному углу — начальную фазу.

Проводя аналогию дальше, можно сказать, что результат сложения двух однонаправленных колебаний можно получить следующим путем: необходимо сложить два вектора, а проекции суммарного вектора на оси координат будут являться уравнениями результирующего колебания. Рассмотрим этот метод на примере сложения двух колебаний с произвольными частотами. Пусть наше тело участвует в двух совпадающих по направлению колебаниях:

Сопоставим этим колебаниям два вектора А₁ и А₂, вращающихся с соответствующими угловыми скоростями.

Сопоставляем колебаниям проекции векторов на ось y. Задача сложения колебаний сводится к нахождению проекции вектора А на ось y (амплитуда результирующего колебания) и угла f (фаза результирующего колебания).

Из очевидных геометрических соображений находим:

Отметим, что в общем случае сложения колебаний с разными частотами амплитуда результирующего колебания будет зависеть от времени. Если же частоты одинаковы, то , то есть зависимость от времени исчезает. На языке векторной диаграммы это означает, что складываемые векторы при своем вращении не меняют своего относительного положения. В этом случае формулы для амплитуды и фазы результирующего колебания запишутся так:

Рассмотрим сложение двух однонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами, то есть , и пусть для определенности . Для простоты пусть начальные фазы и амплитуды этих колебаний равны. В результате сложения двух колебаний

получим уравнение суммарного колебания:

Полученное результирующее колебание не является гармоническим (сравни с уравнением (1)); такого вида колебания носят название биений, название понятно, если посмотреть на график колебаний.

Величина, стоящая перед синусом, меняется со временем относительно медленно, так как разность частот мала. Эту величину условно называют амплитудой биений, а разность складываемых частот — частотой биений (циклической).

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).

например, сложим два колебания с одинаковыми частотами:

исключив время, получим:

В общем случае это — уравнение эллипса. При A₁=A₂ — окружность, при (m — целое) — отрезок прямой.

Вид траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Получающиеся кривые носят название фигур Лиссажу.

Сложение гармонических колебаний

Вы будете перенаправлены на Автор24

Сложением колебаний называют применение закона, описывающего состояние колебательной системы, если она принимает участие одномоментно в нескольких колебательных процессах.

При этом выделяют два предельных случая:

1. суммирование колебаний, имеющих одинаковые направления;
2. сложение взаимно нормальных колебаний.

К первому варианту сложения колебаний можно отнести случай, когда груз ($a$) совершает колебания на пружине 1 относительно другого колеблющегося груза ($b$) и совместно с ним на пружине 2 (рис.1).

Рисунок 1. Суммирование колебаний, имеющих одинаковые направления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Такой случай реализуется при наложении колебаний скалярных физических параметров, характеризующих систему колебаний, например:

• давления;
• температуры;
• плотности;
• силы тока;
• заряда и т.д.

Суммирование однонаправленных гармонических колебаний

Сложение пары гармонических колебаний вида:

$s_1=A_1 \sin (\omega_1 t+\varphi_1) (1)$ и $ s_2=A_2 \sin (\omega_2 t+\varphi_2) (2)$

можно выполнить, если воспользоваться методом векторных диаграмм.

Рисунок 2. Метод векторных диаграмм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2 показывает векторы $\vec A_1(t)$ и $\vec A_2(t)$ амплитуд соответствующих колебаний в момент времени $t$. Фазы этих колебаний в обозначенный момент времени равны:

$Ф_1=\omega_1 t+\varphi_1 (3)$ и $Ф_2=\omega_2 t+\varphi_2 (4)$.

Готовые работы на аналогичную тему

Суммарному колебанию $s=s_1+s_2$ соответствует вектор:

проекция вектора $s$ на ось $Y$ равна:

Используя теорему косинусов, получим:

Когерентные и некогерентные гармонические колебания

Пару колебательных процесса называют когерентными в том случае, если их течение согласовано во времени, при этом разность их фаз не изменяется:

Из выражения (8) следует, что гармонические колебания будут когерентными, если

их круговые частоты будут одинаковыми:

в каждый момент времени разность фаз когерентных колебаний равна разности фаз их начальных колебаний:

Сложение двух гармонических однонаправленных когерентных колебаний дают колебание с той же круговой частотой $\omega$, что исходные колебания, при этом имеем:

где $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos (\varphi_2-\varphi_1)$;

Амплитуда суммарных колебаний изменяется в зависимости от разности начальных фаз:

от $A=|A_1-A_2|$ при $\varphi_2-\varphi_1=\pm (2n+1)\pi$

до $A=A_1+A_2$ при $\varphi_2-\varphi_1=\pm 2n\pi$,

где $n=0,1,2. $ — целое положительное число или ноль.

При $\varphi_2-\varphi_1=\pm 2n\pi$ колебания происходят в одной фазе (колебания называют софазными).

Если $\varphi_2-\varphi_1=\pm (2n+1)\pi$ колебания происходя в противофазе.

Если складываются гармонические колебания с разными циклическими частотами (некогерентные колебания), получаются негармонические колебания. Векторы амплитуд $A_1$ и $A_2$ вращаются с разными угловыми скоростями, построенный на них параллелограмм постоянно искажается, его диагональ изменяет длину и совершает вращения с изменяющейся угловой скоростью.

Пару гармонических колебаний, имеющих разные круговые частоты можно приближенно считать когерентными только на малом отрезке времени, в течение которого разность фаз колебаний изменяется на малую величину.

Сумму двух гармонических колебаний с разными, но близкими по величине круговыми частотами называют биениями.

Биения – это негармоническое колебание.

Суммирование взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Точка $N$ совершает одновременно два колебания. Они имеют одинаковые круговые частоты. Одно из них происходит вдоль оси $X$, другое вдоль оси $Y$. Их законы запишем как:

$x=A_1\sin (\omega t+\varphi_1) (10)$ и

$y=A_2\sin (\omega t+\varphi_2) (11),$

где $x$ и $y$ — декартовы координаты точки N.

Уравнение траектории движения точки N при этом:

Траектория движения точки имеет форму эллипса. Точка $M$ описывает данный эллипс за период суммируемых колебаний. Такие движения точки называют эллиптически поляризованными колебаниями.

Ориентация этого эллипса в плоскости $XOY$ и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний $A_1$ и $A_2$ и разности начальных фаз $\varphi_2-\varphi_1$.

При $\varphi_2-\varphi_1=(2n+1)\frac<\pi><2>$, где $n=0,\pm 1, \pm 2. $ оси эллипса будут совпадать с осями $OX$ и $OY$, при этом величины его полуосей равны $A_1$ и $A_2$:

Если помимо прочего, $A_1=A_2$, то траекторией точки $N$ является окружность. При этом движение точки $N$ называют поляризованными циркулярно колебаниями (колебаниями которые поляризованы по кругу).

При $\varphi_2-\varphi_1=n\pi$ где $n=0,\pm 1, \pm 2. $, эллипс вырожден в отрезок прямой, при этом:

где знак плюс в выражении (14) при четных значениях $n$, то есть если складываются синфазные колебания; минус ставят при нечетных значения $n$, то есть если складываются колебания в противофазе. Такие колебания точки $N$ называют линейно поляризованными.

При линейно поляризованных колебаниях точка $N$ совершает гармонические колебания с частотой суммируемых колебаний и амплитудой, равной:

вдоль прямой линии, которая составляет с осью $OX$ угол:

Пусть взаимно нормальные колебания, имеющие циклические частоты $p\omega$ и $q\omega$, где $p$ и $q$ — целые числа:

$x=A_1\sin (p\omega t+\varphi_1)$ и $y=A_2\sin (q\omega t+\varphi_2) (16).$

Координаты $x$ и $y$ точки $N$, которая совершает колебания, одновременно повторяется спустя одинаковые отрезки времени $T_0$, равные общему минимальному кратному:

$T_1=\frac<2\pi>$ и $T_2=\frac<2\pi>$ периодов вдоль осей $OX$ и $OY$. Следовательно, траекторией точки $N$ является замкнутая кривая. Форма этой кривой связана с соотношением между:

• амплитудами,
• частотами,
• начальными фазами

суммируемых колебаний. Эти траектории точки $N$, выполняющей гармонические колебания в двух взаимно нормальных плоскостях одновременно, называют фигурами Лиссажу.

Фигуры Лиссажу можно вписать в прямоугольник:

• с центром, совпадающим с началом координат;
• сторонами параллельными осям координат ($OX$ и $OY$) и находящимися по обе стороны от них на расстояниях равных $A_1$ $A_2$;
• отношение частот суммируемых колебаний определяет количество касаний соответствующей им фигуры Лиссажу со стороной прямоугольника, параллельной оси $OY$ и со стороной, параллельной оси $OX$.

Сложение колебаний

Тело, совершающее колебания, способно принимать участие в нескольких колебательных процессах одновременно. В таком случае возникает необходимость выяснить, каким будет результирующее колебание.

Сложение колебаний направленных по одной прямой

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и равной частоты. Тогда смещение ($x$) совершающего колебания тела будет равно сумме смещений $x_1$ и $x_2$, которые представим в виде уравнений:

Колебания (1) и (2) представим на векторной диаграмме в виде векторов $<\overline>_1$ и $<\overline>_2$ (рис.1).

Из рис.1 видно, что амплитуду результирующего колебания можно найти как:

где $A_1$; $A_2$ — амплитуды сложенных колебаний; $<\varphi >_2;;<\varphi >_1$ — начальные фазы суммирующихся колебаний. При этом начальную фазу полученного колебания ($\varphi $) вычисляют, применяя формулу:

Из выражения (4) видно, что если $<\varphi >_2-<\varphi >_1=0$, тогда получим колебание, амплитуда которого равна:

При разности фаз равной $<\varphi >_2-<\varphi >_1=\pm \pi $, что означает, что колебания находятся в противофазе, амплитуда сложенных колебания составляет:

Суперпозиция взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть у нас происходят два взаимно перпендикулярные гармонические колебания с одной частотой $<\omega >_0$. Колебания происходят вдоль осей X и Y. Пусть начало отсчета времени было таким, что начальная фаза первого колебания равнялась нулю. При этом уравнения колебаний предстанут в виде:

Уравнения (8) и (9) вместе представляют уравнение траектории движения точки в параметрическом виде. Исключаем время из уравнений, получаем уравнение траектории:

Уравнение траектории точки, которая принимает участие в перпендикулярных колебаниях с амплитудами $A_1$и $A_2$ и начальными фазами $<\varphi >_2и<\varphi >_1$:

Уравнение (10) — это уравнение эллипса.

В случае равенства начальных фаз составляющих колебаний уравнение траектории преобразуется к виду:

что говорит о движении точки по прямой линии. Точка, совершающая гармонические колебания движется по этой прямой, расстояние от начала координат до точки равно:

Если $\Delta \varphi =<\varphi >_2-<\varphi >_1=\frac<\pi ><2>,$ уравнением траектории становится выражение:

что означает, траектория движения эллипс.

Если частоты нормальных друг другу колебаний отличны на очень небольшую величину $\Delta \omega $, то их рассматривают как колебания с равными частотами, но переменной разностью фаз. При этом суммарное движение проходит по медленно изменяющей вид кривой.

Траектории движений суперпозиций взаимно нормальных колебаний с разными частотами представляют собой сложные кривые, которые называют фигурами Лиссажу.

Примеры задач на сложение колебаний

Задание. Какова разность фаз суммируемых колебаний, если складывались два колебания, направленных по одной прямой, обладающих одинаковыми амплитудами и периодами? Сложились они в колебание той же амплитуды.

Решение. В качестве основы для решения задачи используем выражение для вычисления амплитуды складывающихся колебаний, если они направлены вдоль одной прямой:

Учитывая условия задачи выражение (1.1) преобразуем к виду:

Выразим из (1.2) искомую разность фаз:

Изобразим векторную диаграмму колебаний (рис.2).

Ответ. $\Delta \varphi =\frac<4\pi ><3>или\frac<2\pi ><3>$

Задание. Материальная точка совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания: $x=A<\cos \left(<\omega >_0t\right)\ >,y=B<\cos \left(<\omega >_0t\right)\ >,$ каким будет уравнение траектории движения точки?

Решение. Из уравнения:

Подставим правую часть выражения (2.2) вместо $<\cos \left(<\omega >_0t\right)\ >$ в формулу:

Уравнением движения точки будет прямая линия.

Ответ. $y=\fracx$