Как складывать уравнения гармонических колебаний

Сложение гармонических колебаний

Если колебательная система одновременно участвует в двух (или более) независимых колебательных движениях, возникает задача — найти результирующее колебание. В случае однонаправленных колебаний под этим понимается нахождение уравнения результирующего колебания; в случае взаимно перпендикулярных колебаний — нахождение траектории результирующего колебания.

Метод векторных диаграмм

Рассмотрим вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью w вектор А. Очевидно, что угол j = w t + j₀ где j₀ — начальный угол.

Проекции вектора А на оси координат запишутся:

Видно, что проекции вращающегося вектора на оси координат по форме совпадают с уравнением гармонических колебаний, если угловой скорости вектора сопоставить угловую частоту колебаний, а начальному углу — начальную фазу.

Проводя аналогию дальше, можно сказать, что результат сложения двух однонаправленных колебаний можно получить следующим путем: необходимо сложить два вектора, а проекции суммарного вектора на оси координат будут являться уравнениями результирующего колебания. Рассмотрим этот метод на примере сложения двух колебаний с произвольными частотами. Пусть наше тело участвует в двух совпадающих по направлению колебаниях:

Сопоставим этим колебаниям два вектора А₁ и А₂, вращающихся с соответствующими угловыми скоростями.

Сопоставляем колебаниям проекции векторов на ось y. Задача сложения колебаний сводится к нахождению проекции вектора А на ось y (амплитуда результирующего колебания) и угла f (фаза результирующего колебания).

Из очевидных геометрических соображений находим:

Отметим, что в общем случае сложения колебаний с разными частотами амплитуда результирующего колебания будет зависеть от времени. Если же частоты одинаковы, то , то есть зависимость от времени исчезает. На языке векторной диаграммы это означает, что складываемые векторы при своем вращении не меняют своего относительного положения. В этом случае формулы для амплитуды и фазы результирующего колебания запишутся так:

Рассмотрим сложение двух однонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами, то есть , и пусть для определенности . Для простоты пусть начальные фазы и амплитуды этих колебаний равны. В результате сложения двух колебаний

получим уравнение суммарного колебания:

Полученное результирующее колебание не является гармоническим (сравни с уравнением (1)); такого вида колебания носят название биений, название понятно, если посмотреть на график колебаний.

Величина, стоящая перед синусом, меняется со временем относительно медленно, так как разность частот мала. Эту величину условно называют амплитудой биений, а разность складываемых частот — частотой биений (циклической).

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).

например, сложим два колебания с одинаковыми частотами:

исключив время, получим:

В общем случае это — уравнение эллипса. При A₁=A₂ — окружность, при (m — целое) — отрезок прямой.

Вид траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Получающиеся кривые носят название фигур Лиссажу.

Сложение гармонических колебаний

Вы будете перенаправлены на Автор24

Сложением колебаний называют применение закона, описывающего состояние колебательной системы, если она принимает участие одномоментно в нескольких колебательных процессах.

При этом выделяют два предельных случая:

1. суммирование колебаний, имеющих одинаковые направления;
2. сложение взаимно нормальных колебаний.

К первому варианту сложения колебаний можно отнести случай, когда груз ($a$) совершает колебания на пружине 1 относительно другого колеблющегося груза ($b$) и совместно с ним на пружине 2 (рис.1).

Рисунок 1. Суммирование колебаний, имеющих одинаковые направления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Такой случай реализуется при наложении колебаний скалярных физических параметров, характеризующих систему колебаний, например:

• давления;
• температуры;
• плотности;
• силы тока;
• заряда и т.д.

Суммирование однонаправленных гармонических колебаний

Сложение пары гармонических колебаний вида:

$s_1=A_1 \sin (\omega_1 t+\varphi_1) (1)$ и $ s_2=A_2 \sin (\omega_2 t+\varphi_2) (2)$

можно выполнить, если воспользоваться методом векторных диаграмм.

Рисунок 2. Метод векторных диаграмм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2 показывает векторы $\vec A_1(t)$ и $\vec A_2(t)$ амплитуд соответствующих колебаний в момент времени $t$. Фазы этих колебаний в обозначенный момент времени равны:

$Ф_1=\omega_1 t+\varphi_1 (3)$ и $Ф_2=\omega_2 t+\varphi_2 (4)$.

Готовые работы на аналогичную тему

Суммарному колебанию $s=s_1+s_2$ соответствует вектор:

проекция вектора $s$ на ось $Y$ равна:

Используя теорему косинусов, получим:

Когерентные и некогерентные гармонические колебания

Пару колебательных процесса называют когерентными в том случае, если их течение согласовано во времени, при этом разность их фаз не изменяется:

Из выражения (8) следует, что гармонические колебания будут когерентными, если

их круговые частоты будут одинаковыми:

в каждый момент времени разность фаз когерентных колебаний равна разности фаз их начальных колебаний:

Сложение двух гармонических однонаправленных когерентных колебаний дают колебание с той же круговой частотой $\omega$, что исходные колебания, при этом имеем:

где $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos (\varphi_2-\varphi_1)$;

Амплитуда суммарных колебаний изменяется в зависимости от разности начальных фаз:

от $A=|A_1-A_2|$ при $\varphi_2-\varphi_1=\pm (2n+1)\pi$

до $A=A_1+A_2$ при $\varphi_2-\varphi_1=\pm 2n\pi$,

где $n=0,1,2. $ — целое положительное число или ноль.

При $\varphi_2-\varphi_1=\pm 2n\pi$ колебания происходят в одной фазе (колебания называют софазными).

Если $\varphi_2-\varphi_1=\pm (2n+1)\pi$ колебания происходя в противофазе.

Если складываются гармонические колебания с разными циклическими частотами (некогерентные колебания), получаются негармонические колебания. Векторы амплитуд $A_1$ и $A_2$ вращаются с разными угловыми скоростями, построенный на них параллелограмм постоянно искажается, его диагональ изменяет длину и совершает вращения с изменяющейся угловой скоростью.

Пару гармонических колебаний, имеющих разные круговые частоты можно приближенно считать когерентными только на малом отрезке времени, в течение которого разность фаз колебаний изменяется на малую величину.

Сумму двух гармонических колебаний с разными, но близкими по величине круговыми частотами называют биениями.

Биения – это негармоническое колебание.

Суммирование взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Точка $N$ совершает одновременно два колебания. Они имеют одинаковые круговые частоты. Одно из них происходит вдоль оси $X$, другое вдоль оси $Y$. Их законы запишем как:

$x=A_1\sin (\omega t+\varphi_1) (10)$ и

$y=A_2\sin (\omega t+\varphi_2) (11),$

где $x$ и $y$ — декартовы координаты точки N.

Уравнение траектории движения точки N при этом:

Траектория движения точки имеет форму эллипса. Точка $M$ описывает данный эллипс за период суммируемых колебаний. Такие движения точки называют эллиптически поляризованными колебаниями.

Ориентация этого эллипса в плоскости $XOY$ и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний $A_1$ и $A_2$ и разности начальных фаз $\varphi_2-\varphi_1$.

При $\varphi_2-\varphi_1=(2n+1)\frac<\pi><2>$, где $n=0,\pm 1, \pm 2. $ оси эллипса будут совпадать с осями $OX$ и $OY$, при этом величины его полуосей равны $A_1$ и $A_2$:

Если помимо прочего, $A_1=A_2$, то траекторией точки $N$ является окружность. При этом движение точки $N$ называют поляризованными циркулярно колебаниями (колебаниями которые поляризованы по кругу).

При $\varphi_2-\varphi_1=n\pi$ где $n=0,\pm 1, \pm 2. $, эллипс вырожден в отрезок прямой, при этом:

где знак плюс в выражении (14) при четных значениях $n$, то есть если складываются синфазные колебания; минус ставят при нечетных значения $n$, то есть если складываются колебания в противофазе. Такие колебания точки $N$ называют линейно поляризованными.

При линейно поляризованных колебаниях точка $N$ совершает гармонические колебания с частотой суммируемых колебаний и амплитудой, равной:

вдоль прямой линии, которая составляет с осью $OX$ угол:

Пусть взаимно нормальные колебания, имеющие циклические частоты $p\omega$ и $q\omega$, где $p$ и $q$ — целые числа:

$x=A_1\sin (p\omega t+\varphi_1)$ и $y=A_2\sin (q\omega t+\varphi_2) (16).$

Координаты $x$ и $y$ точки $N$, которая совершает колебания, одновременно повторяется спустя одинаковые отрезки времени $T_0$, равные общему минимальному кратному:

$T_1=\frac<2\pi>$ и $T_2=\frac<2\pi>$ периодов вдоль осей $OX$ и $OY$. Следовательно, траекторией точки $N$ является замкнутая кривая. Форма этой кривой связана с соотношением между:

• амплитудами,
• частотами,
• начальными фазами

суммируемых колебаний. Эти траектории точки $N$, выполняющей гармонические колебания в двух взаимно нормальных плоскостях одновременно, называют фигурами Лиссажу.

Фигуры Лиссажу можно вписать в прямоугольник:

• с центром, совпадающим с началом координат;
• сторонами параллельными осям координат ($OX$ и $OY$) и находящимися по обе стороны от них на расстояниях равных $A_1$ $A_2$;
• отношение частот суммируемых колебаний определяет количество касаний соответствующей им фигуры Лиссажу со стороной прямоугольника, параллельной оси $OY$ и со стороной, параллельной оси $OX$.

Сложение гармонических колебаний

Одинаковых частот

Сложение колебаний одинаковых частот проще всего осуществить с помощью так называемой векторной диаграммы. Построение векторной диаграммы основано на известном факте: проекция результирующего вектора равна сумме про­екций слагаемых векторов. Поэтому сложение гармонических колебаний

Рис. 16.17

осуществляется так. Строят векто­ры и ,изображающие первое и второе колебания (рис. 16.17). Их модули равны амплитудам складываемых колебаний, а угол между ними, равный

представляет собой сдвиг фаз меж­ду этими колебаниями.

Так как частоты складываемых колебаний равны, то угол j_с между векторами и не меняется.

Проекция суммарного вектора представляет собой ре­зультирующее колебание:

Оно происходит с той же частотой w, что и колебания х₁и х₂. Модуль с вектора равен амплитуде результирующих колебаний. По теореме косинусов для треугольника ОСА получим

. (16.18)

Амплитуда результирующего колебания зависит от амп­литуд складываемых колебаний а и b и сдвига фаз между ними.

1. Согласно известной тригонометрической формуле sinwt = , поэтому x₂(t) .

2. Изобразим на векторной диаграмме первое колебание вектором , а второе – вектором в момент t = 0 (рис. 16.18). (второе колебание отстает от первого на p/2, векторы вращаются против часовой стрелки.) Тогда результирующее колебание изобразится вектором . Модуль этого вектора равен амплитуде результирующего колебания х(t), а сдвиг по фазе между векторами и – угол j – легко найти из прямоугольного треугольника, образованного векторами и :

tgj = Þ j = arctg .

Рис. 16.18

Заметим, что поскольку векторы и вращаются с одинаковой угловой скоростью w, то их взаимное расположение со временем не меняется. Поэтому и величину С и сдвиг по фазе j можно найти, изобразив векторы и в любой момент времени (рис. 16.19).

СТОП! Решите самостоятельно: С3.

Построим векторные диаграммы для уже рассмотренных нами простейших цепей переменного тока.

Рис. 16.20

В случае на рис. 16.20 ток и напряжение колеблются в одной фазе.

В случае на рис. 16.21 напряжение отстает от тока на p/2.

В случае на рис. 16.22 напряжение опережает ток на p/2.

Рис. 16.21 Рис. 16.22

RL-цепь

Рис. 16.23

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательно соединенного резистора сопротивлением R и катушки с индуктивностью L (рис. 16.23). Переменное напряжение изменяется по закону u(t) = U₀coswt.

Прежде всего заметим, что ток в любой момент времени один и тот же, и изменяется он с той же частотой w, что и напряжение. Кроме того, можно утверждать, что в момент времени t общее напряжение равно сумме напряжений на резисторе и катушке:

Рис. 16.24

Попробуем найти: 1) амплитуду тока I₀; 2) амплитуду напряжения на резисторе U_R; 3) амплитуду напряжения на катушке U_L; 4) сдвиг фаз j (если он есть) между током и общим напряжением; 5) функцию i(t).

Поскольку очевидно, что колебания u(t), u₀(t), u_с(t) и i(t) происходят с одинаковой циклической частотой w, воспользуемся векторной диаграммой. Сначала изобразим колебания тока вектором (рис. 16.24). Направим этот вектор горизонтально.

Читатель: Но тогда получается, что i(t) = I₀coswt, т.е. начальная фаза тока равна нулю! А откуда мы это знаем?

Автор: А я не утверждаю, что вектор занимает указанное положение в начальный момент времени. Но ведь наверняка в какой-то момент времени он такое положение займет. Вот в этот момент мы его и изобразили. А теперь все остальные векторы пусть под него «подстраиваются».

Рис. 16.25

Колебания напряжения на резисторе совпадает с током по фазе, поэтому вектор совпадает по направлению с вектором . А вот напряжение на катушке опережает ток на p/2, поэтому вектор направлен вертикально вверх (см. рис. 16.22). Тогда результирующее напряжение, равное сумме напряжений на катушке и резисторе, будет изображаться вектором (рис. 16.25).

По теореме Пифагора из DАОВ имеем:

. (16.19)

Z_RL = (16.20)

назовем полным сопротивлением RL-цепи. Тогда

. (16.21)

Разделив обе части равенства (16.21) на , получим

. (16.21а)

Воспользуемся законом Ома для амплитудных значений тока и напряжения на сопротивлениях R и Х_L:

. (16.22)

. (16.23)

Сдвиг по фазе между напряжением и током находим из DОАВ (cм. рис. 16.25):

tgj =

. (16.24)

Поскольку ток отстает от напряжения на j, то если u(t) = = U₀coswt, тогда

Заметим, что сумма действующих значений напряжения на катушке и резисторе не равна общему действующему напряжению, потому что, как легко видеть из DОАВ (см. рис. 16.25), U_R + U_L > U₀, а значит, , т.е. U_Rд + U_Lд > U_0д. И это легко понять, если учесть, что напряжения на резисторе и катушке всегда имеют разные фазы (разность фаз всегда равна p/2). Поэтому для действующих значений напряжений справедливо другое соотношение:

. (16.26)

Задача 16.7. Когда к катушке подвели постоянное напряжение 10 В, сила тока в катушке была равна 1,0 А. Такая же сила тока протекает по этой катушке, если к ней подвести переменное напряжение 50 В. Какова индуктивность катушки? Как изменится сила тока в каждом из указанных случаев, если из катушки вынуть железный сердечник? Частота тока n = 50 Гц.

U1 = 10 B I1 = 1,0 A Uд = 50 В Iд = 1,0 А n = 50 Гц	Решение. В первом случае ток постоянный, поэтому , (1) R – активное сопротивление катушки. Во втором случае цепь соответствует схеме, показанной на рис. 16.23: катушку, обладающую актив-
L = ?

ным сопротивлением R, можно представить как «идеальную» катушку индуктивностью L с нулевым активным сопротивлением, соединенную последовательно с активным сопротивлением R. Тогда по формуле (16.21а)

, (2)

где по формуле (16.20)

Z_RL = . (3)

Подставляя (3) в (2), получим

Подставляя R из (1), получим

Если из катушки вынуть железный стержень, то в случае постоянного тока – ничего не изменится. В случае переменного тока индуктивность L, а значит, общее сопротивление сильно уменьшится, и ток возрастет.

Ответ: » 0,16 Гн.

СТОП! Решите самостоятельно: В23–В25, С7–С9, С15.

Рис. 16.26

RC-цепь

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательно соединенного резистора сопротивлением R и конденсатора емкостью С (рис. 16.26). Переменное напряжение на выходе изменяется по закону u(t) = U₀coswt.

Как и в случае RL-цепи, найдем: 1) амплитуду тока I₀; 2) амплитуду напряжения на резисторе U_R; 3) амплитуду напряжения на конденсаторе U_С; 4) сдвиг фаз j между током и общим напряжением; 5) функцию i(t).

Рис. 16.27 Рис. 16.28

Изобразим на векторной диаграмме колебания тока вектором , колебания напряжения на резисторе – вектором , колебания напряжения на конденсаторе – вектором . При этом учтем (см. рис. 16.21), что напряжение на конденсаторе отстает от тока на p/2 (рис. 16.27).

Поскольку в любой момент времени t u(t) = = u_R(t) + u_C(t), то вектор результирующего напряжения равен = + . Из DОАВ (рис. 16.28) по теореме Пифагора получим

, (16.27)

. (16.28)

Для действующих значений справедливо

, (16.28а)

где Z_RC – полное сопротивление RC-цепи:

. (16.29)

Тогда согласно закону Ома

. (16.30)

. (16.31)

Сдвиг по фазе между напряжением и током находим из DОАВ (cм. рис. 16.28):

tgj =

. (16.32)

Поскольку в данном случае ток опережает напряжение на j, то если u(t) = U₀coswt, тогда

Рис. 16.29

Задача 16.8. В цепи переменного тока (рис. 16.29) показания первого и второго вольтметров U₁ = 12 В и U₂ = 9 В. Каково показание третьего вольтметра?

Решение. Нам надо найти действующее значение результирующего напряжения U_д в RC-цепи. Обозначим значение действующего напряжения на конденсаторе U₁, на резисторе – U₂, тогда амплитудные значения напряжений на конденсаторе и резисторе равны U_C = U₁ , U_R = U₂ .

Амплитудное значение результирующего напряжения (см. рис. 16.28)

,

а искомое действующее значение общего напряжения (а именно его показывает третий вольтметр) равно

В.

Ответ: В.

СТОП! Решите самостоятельно: А13, В26, В27.

LC- цепь

Рис. 16.30

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью С и катушки с индуктивностью L (рис. 16.30).

Пусть переменное напряжение в сети изменяется по закону u(t) = U₀coswt.

Попробуем найти: 1) амплитуду тока I₀; 2) амплитуду напряжения на катушке U_L; 3) амплитуду напряжения на конденсаторе U_С; 4) сдвиг фаз j между током и общим напряжением; 5) функцию i(t).

Рис. 16.31

Изобразим на векторной диаграмме (рис. 16.31) колебания тока вектором , колебания напряжения на катушке – вектором , колебания напряжения на конденсаторе – вектором . При этом учтем, что напряжение на катушке опережает ток на p/2 (см. рис. 16.22), а напряжение на конденсаторе отстает от тока на p/2 (см. рис. 16.21).

Рис. 16.32

Поскольку в любой момент времени t u(t) = u_C(t) + u_L(t), то вектор результирующего напряжения = + будет либо опережать ток по фазе на p/2, если | | | | (рис. 16.32, б).

U₀ = |U_C – U_L| = |I₀X_C – I₀X_L| = I₀ |X_C – X_L| = ,

. (16.34)

(16.35)

назовем полным сопротивлением LC-цепи. Тогда можно записать

. (16.36)

. (16.37)

. (16.38)

Сдвиг по фазе между напряжением и током равен:

(ток опережает напряжение), если Х_С > X_L;

(ток отстает от напряжения), если Х_С –7 Ф L = 0,50 Гн n = 1,0 кГцРешение. Полное сопротивление найдем по формуле (16.35): n₀ = ?

» 1,6×10 3 Ом = 1,6 кОм.

Ответ: 1,6 кОм; .

СТОП! Решите самостоятельно: В28, В29, С10, С11.

RLC-цепь

Рис. 16.33

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, резистора сопротивлением R и катушки с индуктивностью L (рис. 16.33).

Пусть переменное напряжение в сети изменяется по закону u(t) = U₀coswt.

Попробуем найти: 1) амплитуду тока I₀; 2) амплитуду напряжения на конденсаторе U_С; 3) амплитуду напряжения на катушке U_L; 4) амплитуду напряжения на резисторе U_R; 5) сдвиг фаз j между током и общим напряжением; 6) функцию i(t).

Рис. 16.34

Изобразим на векторной диаграмме (рис. 16.34) векторы , , , , как мы уже делали в предыдущих случаях, с учетом сдвига фаз между колебаниями: отстает от на p/2, опережает на p/2, имеет одну фазу с .

Введем вектор = + . Если U_L > U_C, то вектор направлен вверх (рис. 16.35, а), а если U_L X_C ток отстает от напряжения на j, поэтому если u(t) = U₀coswt, тогда

В случае X_L X_C, то ток отстает от напряжения по фазе на j » 37°.

СТОП! Решите самостоятельно: А14, А15, В31–В33, С12–С14.