Как сокращать уравнения 9 класс алгебра

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры.

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х , и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби — x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х , или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 — 1 x 2 — 1 мы можем сократить на х — 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 — x 2 + x — 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

• нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
• в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; — 2 3 — 2 3 = 1 ; x x = 1 ; — 3 , 2 · x 3 — 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x — x 2 · y 1 2 · x — x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Задана алгебраическая дробь — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

— 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = — 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = — 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

— 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = — 3 3 — 1 2 · a 5 — 2 1 · 1 · 1 c 7 — 1 · 1 = · — 3 2 · a 3 2 · c 6 = · — 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ: — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК ( 5 , 10 ) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · ( a 2 + 14 · a + 49 ) b 3 · ( a 2 — 49 )

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · ( a 2 + 14 · a + 49 ) b 3 · ( a 2 — 49 ) = 2 · b 2 · ( a + 7 ) 2 b 3 · ( a — 7 ) · ( a + 7 )

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · ( a + 7 ) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · ( a + 7 ) 2 b 3 · ( a — 7 ) · ( a + 7 ) = 2 · ( a + 7 ) b · ( a — 7 ) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · ( a 2 + 14 a + 49 ) b 3 · ( a 2 — 49 ) = = 2 · b 2 · ( a + 7 ) 2 b 3 · ( a — 7 ) · ( a + 7 ) = 2 · ( a + 7 ) b · ( a — 7 ) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b — 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · — 2 7 · — 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 1 5 · 3 1 2 = = — 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

— 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10 = — 2 7 · x 5 = — 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = — 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Виды уравнений и способы их решения в 9-м классе

Разделы: Математика

Перед уроком были изучены темы “Уравнения с одной переменной”, “Целые рациональные уравнения и основные методы решения целых рациональных уравнений”, “Дробно-рациональные уравнения”, “Уравнения с модулем и параметрами”.

За две недели до обобщающего урока на стенде “Готовься к экзамену” было предложено:

1. Прорешать из экзаменационного сборника задания второго раздела (№ 71–101).
2. Вопросы по теоретическому материалу.
3. Примерное оформление экзаменационного задания.
4. Сроки индивидуальных и групповых консультаций.

Вопросы по теоретическому материалу

1. Определение уравнения с одним неизменным.
2. Корень уравнения.
3. Что значит решить уравнение?
4. Определение области допустимых значений.
5. Когда два уравнения являются равносильными?
6. Когда одно уравнение является следствием другого?
7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?
8. Особенность тождественного преобразования “деление на выражение, содержащее переменную”.
9. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения.
10. Основные методы решения уравнений с одним неизвестным.

а) учебник А-9 под ред. Н.Я. Виленкина, глава X, с. 157–189;
б) конспекты.

№ 93(1)
№ 5.60(а)
Галицкий, с. 51

если D = 0, то x = –3 при a = –3, но x = –3 не удовлетворяет условию, так как (x – 4)(x + 3) 0;

Среди найденных значений может быть появление посторонних корней, так как уравнение x² + (3 – a)x – 3a = 0 следствие исходного уравнения.

Чтобы x₂ = a являлся корнем x 2 – 4 0, a – 4 0, a 4

x 2 + 3 0, то есть a – 3 0, a –3

Ответ: при a 4, a –3 корнем уравнения является x = a.

Задания к уроку подобраны с учетом подготовленности учащихся данного класса.

• привести в систему знаний учащихся по теме;
• повторить теорию решения уравнений;
• выработать умение определить вид уравнения;
• выразить наиболее рациональный способ решения данного уравнения;
• формировать наблюдательность учащихся.

I. Организационный момент

Сообщение темы урока и его целей.

II. Повторение теории по решению уравнений

1. Что называется уравнением?

Ответ: Любое равенство вида некоторые функции называются уравнением с одной переменной (или с одной неизвестной).

2. Что называется корнем уравнения?

Ответ: Число a называется корнем (или решением) данного уравнения с одной переменной, если при подстановке числа a вместо x в обе части уравнения, получаем верное числовое неравенство, то есть при подстановке x = a обе части уравнения определены и их значения совпадают:

3. Что значит решить уравнение?

Ответ: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать что их нет.

4. Как определяется область определения допустимых значений уравнения?

Ответ: ОДЗ называется пересечение множеств областей определения функций

5. Какие уравнения называются равносильными (эквивалентными)?

Ответ: Два уравнения называются равносильными, если все корни уравнения первого являются корнями второго и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого.

6. А как определить уравнение следствие?

Ответ: Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?

• к обеим частям уравнения прибавить любую функцию, которая определена при всех значениях из ОДЗ. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую;
• обе части уравнения умножить на любую функцию, определенную и отличную от нуля при всех допустимых значениях неизвестного. Также можно делить и умножать на число, отличное от нуля;
• в обеих частях уравнения стоят функции, принимающие только неотрицательные значения, то при возведении в одну и ту же четную степень получаем уравнение, равносильное данному. Появлению “посторонних корней” приводят преобразования:
  а) приведение подобных членов – происходит расширение ОДЗ;
  б) сокращение дроби на выражение, содержащие неизвестное (тоже происходит расширение ОДЗ);
  в) умножение на выражение, содержащее неизвестное;
  г) освобождение дроби от знаменателя, содержащего неизвестное. Необходимо обязательно делить проверку или лучше перейти к смешанной системе.

8. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения (в процессе решения).

Ответ:
а) Линейное;
б) квадратное;
в) уравнение высших порядков (биквадратным, возвратное, симметрическое);
г) уравнения содержащие модуль;
д) уравнение с параметром.]

9. Какие общие методы решения уравнений с одним неизвестным?

Ответ: Вынесение общего множителя (разложение на множители), замена переменной, использование ограниченности и монотонности функций, графически.

Понятие равносильности для нас понятие только вводится, и поэтому проведем тест, как же вы этим понятием владеете.

Тест рассчитан на 5–7 минут. Контрольные задания даются в двух вариантах. После окончания работы на доске вывешиваются контрольные ответы. За каждое правильно выполненное задание – 1 балл. После окончания работы ученик оценивает свою работу самостоятельно, затем разбираются неверные ответы (к заданиям предлагаются).

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –3, –2, 1, 2, 3. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 6) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 6) = (1 – x)x

(x – 2)(x 2 – 6) = –x(x – 2)

x 2 – 6 = x

(x 2 + x – 6)(x 2 – x – 6) = 0

x + 3 = 0

x – 2 = 0

(x – 1)(x – 2)(x + 3) = 0

Равносильные уравнения

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –2, –1, 1, 2. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 2) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 2) = x(x – 1)

(x – 2)(x 2 – 2) = x(x – 2)

x 2 – 2 = x

x + 1 = 0

(x 2 – 1)(x – 2) = 0

(x 2 – x – 2)(x 2 + x – 2) = 0

x – 2 = 0

Равносильные уравнения

VI. Решение задач

Ученик должен определить вид уравнения, алгоритм решения данного уравнения, обратить внимание на способы его решения, выбрать рациональный способ решения.

Задачи взяты из “Сборника задач по алгебре” для классов с углубленным изучением математики под редакцией М.Л. Галицкого.

1. Уравнение третьей степени, в стандартном виде. Метод решения – разложения на линейные множители (теорема Безу):

Так как это уравнение рациональное целое с целыми коэффициентами, то оно имеет целые корни, являющиеся делителями свободного члена: 21: 1; 3; 7; 21. x₁ = 1 является корнем (убеждаемся подстановкой), поэтому многочлен левой части уравнения делится на двучлен х – 1.

Решим уравнение x² + 10x + 21 = 0. По теореме Виета корни: x₂ = –3, x₃ = –7, x₁ = 1.

Как еще с помощью теоремы Безу можно было выполнить разложение на множители?

Ответ: Если множитель делится на x – 1 и на x + 3, то он делится и на их произведение.

Это уравнение четвертой степени. Метод решения – группировка. Если левая часть уравнения представлена в виде разложения на линейные множители, а в правой – число и выносящиеся: (x + a)(x + b)(x + b)(x + c) = A и a + b = c + d, в этом случае возможна группировка множителей.

Сделаем замену x² + x = t и получим уравнение

3. 5 – 12x³ + 14x² = 12x – 5, 5x² – 12x³ + 14x² – 12x + 5 = 0 – возвратное уравнение членов степени. Так как x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим почленно на x² и сгруппируем:

Сделаем замену:

4. – это дробно-рациональное уравнение, содержащее модуль.

Ответ: <0; 2; 4>

Алгоритм: а) находим нули модуля; б) дискриминант уравнения разбиваем на промежутки; в) раскрываем модуль на каждом из промежутков; г) выбираем ответ, учитывая данный промежуток; д) ответ – совокупность решений.

– это дробно-рациональное уравнение. Выделим квадрат разности:

Введем новую переменную и получим уравнение вида t² + 2t – 3 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения t = 1 или t = –3.

6. ax² + 3ax – (a + 2) = 0 – это квадратное уравнение с параметром. При решении уравнения с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их в зависимости от параметров при которых это выражение действительно определяет корни уравнения, то есть найти при каком значении параметра: г) x – единственный корень.

При D > 0 уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при

При D 4 – 133х³ + 48х² – 133х + 78 = 0.

5. Для каждого значения параметра а решить уравнение ax² – (2a + 7)x + a + 3 = 0.

6. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет ровно один корень.

7 * . Решить уравнение x 4 + 4х + 3 = 0.

2. Дается оценка работы учащихся на уроке, выставляются в журнал. Сообщается дата и время консультации перед итоговой контрольной работой по этой теме.

Дробно-рациональные уравнения

Что такое дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

9 x 2 — 1 3 x = 0

1 2 x + x x + 1 = 1 2

6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

Как решаются дробно-рациональные уравнения

В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

Алгоритм действий при стандартном способе решения:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Найти общий знаменатель для дробей.
3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
6. Найти корни полученного уравнения.
7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
8. Записать ответ.

Пример 1

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Начать следует с области допустимых значений:

x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

В результате общим знаменателем дробей является:

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

Осталось решить квадратное уравнение:

Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

Примеры задач с ответами для 9 класса

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Определим область допустимых значений:

О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2

x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

D = 49 — 4 · 10 = 9

x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —

— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Потребуется решить квадратное уравнение:

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

4 x — 2 — 3 x + 4 = 1

В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x

На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0

x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0

x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0

— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Корни квадратного уравнения:

x 1 = — 4 ; x 2 = 2

Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

Найти корни уравнения:

x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0

x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0

x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0

0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0

Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

Ответ: х — любое число, за исключением 3.

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют

Нужно найти корни уравнения:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

Начнем с определения ОДЗ:

— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )

( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )

( x — 3 ) x + x = x + 5

Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0

Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3

В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

Второе значение не соответствует области допустимых значений.