Как сократить уравнение с синусами и косинусами

Упрощение тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений различными методами (подготовка к ЕГЭ). 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Занятие 1

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Упрощение тригонометрических выражений.

Решение простейших тригонометрических уравнений. (2 часа)

Цели:

• Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением формул тригонометрии и решением простейших тригонометрических уравнений.
• Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
• Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование к уроку: КРМу, ноутбуки на каждого ученика.

Структура урока:

1. Оргмомент
2. Тестирование на ноутбуках. Обсуждение результатов.
3. Упрощение тригонометрических выражений
4. Решение простейших тригонометрических уравнений
5. Самостоятельная работа.
6. Итог урока. Объяснение задания на дом.

1. Оргмомент. (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока, напоминает о том, что ранее было дано задание повторить формулы тригонометрии и настраивает учащихся на тестирование.

2. Тестирование. (15мин + 3мин. обсуждение)

Цель – проверить знание тригонометрических формул и умение их применять. У каждого ученика на парте ноутбук в котором вариант теста .

Вариантов может быть сколько угодно, приведу пример одного их них:

I вариант.

а) основные тригонометрические тождества

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

2.

б) формулы сложения

4.

в) преобразование произведения в сумму

г) формулы двойных углов

д) формулы половинных углов

е) формулы тройных углов

ж) универсальная подстановка

з) понижение степени

Учащиеся на ноутбуке напротив каждой формулы видят свои ответы.

Работу мгновенно проверяет компьютер. Результаты высвечиваются на большом экране ко всеобщему обозрению.

Также после окончания работы показываются на ноутбуках учащихся правильные ответы. Каждый ученик видит, где сделана ошибка, и какие формулы ему нужно повторить.

3. Упрощение тригонометрических выражений. (25 мин.)

Цель – повторить, отработать и закрепить применение основных формул тригонометрии. Решение задач В7 из ЕГЭ.

На данном этапе класс целесообразно разбить на группы сильных (работают самостоятельно с последующей проверкой) и слабых учеников, которые работают с учителем.

Задание для сильных учащихся (заранее подготовлены на печатной основе). Основной упор сделан на формулы приведения и двойного угла, согласно ЕГЭ 2011.

Упростить выражения (для сильных учащихся):

Параллельно учитель работает со слабыми учащимися, обсуждая и решая под диктовку учеников задания на экране.

4)

5) sin(270º — α) + cos (270º + α)

6)

Наступила очередь обсуждения результатов работы сильной группы.

На экране появляются ответы, а также, с помощью видеокамеры выводятся работы 5-ти разных учеников (по одному заданию у каждого).

Слабая группа видит условие и метод решения. Идет обсуждение и анализ. С использованием технических средств это происходит быстро.

4. Решение простейших тригонометрических уравнений. (30 мин.)

Цель – повторить, систематизировать и обобщить решение простейших тригонометрических уравнений, запись их корней. Решение задачи В3.

Любое тригонометрическое уравнение, каким бы способом мы его не решали, приводит к простейшему.

При выполнении задания следует обращать внимание учащихся на запись корней уравнений частных случаев и общего вида и на отбор корней в последнем уравнении.

В ответ записать наименьший положительный корень.

5. Самостоятельная работа (10 мин.)

Цель – проверка полученных навыков, выявление проблем , ошибок и путей их устранения.

Предлагается разноуравневая работа на выбор учащегося.

1) Найти значение выражения

2) Упростить выражение 1 — sin 2 3α — cos 2 3α

3) Решить уравнение

1) Найти значение выражения

2) Решить уравнение В ответе записать наименьший положительный корень.

1) Найти tgα, если

2) Найти корень уравнения В ответ запишите наименьший положительный корень.

6. Итог урока (5 мин.)

Учитель подводит итоги о том, что на уроке повторили и закрепили тригонометрические формулы, решение простейших тригонометрических уравнений.

Задается домашнее задание (подготовленное на печатной основе заранее) с выборочной проверкой на следующем уроке.

9) В ответе указать наименьший положительный корень.

10) В ответе указать наименьший положительный корень.

Занятие 2

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Методы решений тригонометрических уравнений. Отбор корней. (2 часа)

Цели:

• Обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений различных типов.
• Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
• Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование к уроку: КРМу, ноутбуки на каждого ученика.

Структура урока:

1. Оргмомент
2. Обсуждение д/з и самот. работы прошлого урока
3. Повторение методов решений тригонометрических уравнений.
4. Решение тригонометрических уравнений
5. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.
6. Самостоятельная работа.
7. Итог урока. Домашнее задание.

1. Оргмомент (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока и план работы.

2. а) Разбор домашнего задания (5 мин.)

Цель – проверить выполнение. Одна работа с помощью видео камеры выдается на экран, остальные выборочно собираются на проверку учителя.

б) Разбор самостоятельной работы (3 мин.)

Цель – разобрать ошибки , указать способы их преодоления.

На экране ответы и решения, у учащихся заранее выданные их работы. Быстро идет анализ.

3. Повторение методов решения тригонометрических уравнений (5 мин.)

Цель – вспомнить методы решения тригонометрических уравнений.

Спросить у учащихся, какие методы решений тригонометрических уравнений они знают. Акцентировать на том, что есть так называемые основные (часто используемые) методы:

• замена переменной,
• разложение на множители,
• однородые уравнения,

и есть прикладные методы:

• по формулам преобразования суммы в произведение и произведения в сумму,
• по формулам понижения степени,
• универсальная тригонометрическая подстановка
• введение вспомогательного угла,
• умножение на некоторую тригонометрическую функцию.

Также нужно напомнить, что одно уравнение может решаться различными способами.

4. Решение тригонометрических уравнений (30 мин.)

Цель – обощить и закрепить знания и навыки по данной теме, подготовиться к решению С1 из ЕГЭ.

Считаю целесообразным прорешать вместе с учащимися уравнения на каждый метод.

Ученик диктует решение, учитель записывает на планшет, весь процесс отображается на экране. Это позволит быстро и эффективно восстановить в памяти ранее пройденный материал.

1) замена переменной 6cos 2 x + 5sinx — 7 = 0

2) разложение на множители 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) однородные уравнения sin 2 x + 3cos 2 x — 2sin2x = 0

4) преобразование суммы в произведение cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) преобразование произведения в сумму 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) понижение степени sin2x — sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универсальная тригонометрическая подстановка sinx + 5cosx + 5 = 0.

Решая это уравнение, следует отметить, что использование данного метода ведет к сужению области определения, так как синус и косинус заменяется на tg(x/2). Поэтому, прежде чем выписывать ответ, нужно сделать проверку, являются ли числа из множества π + 2πn, n Z конями данного уравнения.

8) введение вспомогательного угла √3sinx + cosx — √2 = 0

9) умножение на некоторую тригонометрическую функцию cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Отбор корней тригонометрических уравнений (20 мин.)

Так как в условиях жесткой конкуренции при поступлении в ВУЗы решение одной первой части экзамена недостаточно, то следует большинству учащихся обращать внимание на задания второй части (С1,С2,С3).

Поэтому цель этого этапа занятия – вспомнить ранее изученный материал, подготовиться к решению задачи С1 из ЕГЭ 2011 года.

Существуют тригонометрические уравнения, в которых нужно производить отбор корней при выписке ответа. Это связано с некоторыми ограничениями, например: знаменатель дроби не равен нулю, выражение под корнем четной степени неотрицательно, выражение под знаком логарифма положительно и т.д.

Такие уравнения считаются уравнениями повышенной сложности и в варианте ЕГЭ находятся во второй части, а именно С1.

1)

Дробь равна нулю, если тогда с помощью единичной окружности произведем отбор корней (см. рисунок 1)

получим x = π + 2πn, n Z

Ответ: π + 2πn, n Z

На экране отбор корней показывается на окружности в цветном изображении.

2)

Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю, а дугой, при этом, не теряет смысла. Тогда

С помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 2)

тогда ,

Ответ: .

3) (2cos 2 x + 5cosx + 2) log₅(tgx) = 0

Вспоминаем когда произведение равно нулю и переходим к системе:

отметим на единичной окружности корни уравнений и выберем из них те, которые удовлетворяют неравенствам (см. рисунок 3),

получим

Ответ:

4)

Вспоминаем когда дробь равна нулю и переходим к системе:

решив первое уравнение, получаем

с помощью единичной окружности выбираем корни (см. рисунок 4),

получаем x = π/6 + 2πn, n Z

Ответ: π/6 + 2πn, n Z.

5)

Переходим к системе:

В первом уравнении системы сделаем замену log₂(sinx) = y, получим уравнение тогда , вернемся к системе

с помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 5),

6. Самостоятельная работа (15 мин.)

Цель – закрепить и проверить усвоение материала, выявить ошибки, наметить пути их исправления.

Работа предлагается в трех вариантах, заготовленных заранее на печатной основе, на выбор учащихся.

Решать уравнения можно любым способом.

1) 2sin 2 x + sinx — 1 = 0

1) cos2x = 11sinx — 5

2) (2sinx + √3)log₈(cosx) = 0

1) 2sinx — 3cosx = 2

2)

7. Итог урока, домашнее задание (5 мин.)

Учитель подводит итог урока, еще раз обращается внимание на то, что тригонометрическое уравнение можно решить несколькими способами. Самый лучший способ для достижения быстрого результата это тот, который лучше всего усвоен конкретным учеником.

При подготовке к экзамену нужно систематически повторять формулы и методы решения уравнений.

Домашнее задание (приготовлено заранее на печатной основе) раздается и комментируются способы решений некоторых уравнений.

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) — cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x — sin 2 3x — sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx — 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x — sinx)log₃(2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x — √3cosx)log₇(-tgx) = 0

11)

Как сократить уравнение с синусами и косинусами

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

\(\blacktriangleright\) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large>\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm\,x, \mathrm\, x\) ,
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к квадратному уравнению.

Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: \[\begin <|ccc|>\hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm\, \alpha \cdot \mathrm\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm\, \alpha=\dfrac<\sin \alpha><\cos \alpha>&&\mathrm\, \alpha =\dfrac<\cos \alpha><\sin \alpha>\\&&\\ 1+\mathrm^2\, \alpha =\dfrac1 <\cos^2 \alpha>&& 1+\mathrm^2\, \alpha=\dfrac1<\sin^2 \alpha>\\&&\\ \hline \end\]
формулы двойного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline \sin <2\alpha>=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos<2\alpha>=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin <2\alpha>&& & \cos<2\alpha>=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos<2\alpha>=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<2\mathrm\, \alpha><1-\mathrm^2\, \alpha> && & \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<\mathrm^2\, \alpha-1><2\mathrm\, \alpha>\\&&&\\ \hline \end\]

Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)

С помощью формулы \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) уравнение сводится к виду:
\(6\sin^2x+13\sin x+7=0\) . Сделаем замену \(t=\sin x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:

\(6t^2+13t+7=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\) .

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>2+2\pi n, n\in\mathbb\) .

Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)

С помощью формулы двойного угла для косинуса \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) имеем:
\(\cos4x=1-2\sin^22x\) . Сделаем эту подстановку и получим:

\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\) . Сделаем замену \(t=\sin 2x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:

\(2t^2+5t+2=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\) .

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену: \(\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac<\pi><12>+\pi n, \ x_2=-\dfrac<5\pi><12>+\pi n, n\in\mathbb\) .

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm\, x+3\mathrm\,x+4=0\)

Т.к. \(\mathrm\,x\cdot \mathrm\,x=1\) , то \(\mathrm\,x=\dfrac1<\mathrm\,x>\) . Сделаем замену \(\mathrm\,x=t\) . Т.к. область значений тангенса \(\mathrm\,x\in\mathbb\) , то \(t\in\mathbb\) . Получим уравнение:

\(t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac=0\) . Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом:

Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large>\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm\,x, \mathrm\, x\) ,
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к кубическому уравнению.

Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin <3\alpha>=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha &&& \cos<3\alpha>=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end\]

Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)

При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\) :

\(12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0\) . Сделаем замену \(\sin x=t, \ t\in[-1;1]\) :

\(6t^3-11t^2+t+4=0\) . Подбором находим, что один из корней равен \(t_1=1\) . Выполнив деление в столбик многочлена \(6t^3-11t^2+t+4\) на \(t-1\) , получим:

\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\) .

Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad <\Large>, \quad a\ne 0,c\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin^2 x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\) . Разделим, например, на \(\cos^2 x\) :

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm\,x\) сводится к квадратному уравнению:

\(at^2+bt+c=0\) , способ решения которого вам известен.

Уравнения вида \[I’. \quad <\Large>, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]

Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде

\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)

Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)

Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:

\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\) . Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\) :

\(\mathrm^2\,x+3\mathrm\,x-4=0\) и сделаем замену \(t=\mathrm\,x, \ t\in\mathbb\) . Уравнение примет вид:

\(t^2+3t-4=0\) . Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\) . Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\) . Разделим, например, на \(\cos x\) :

\(a \ \dfrac<\sin x><\cos x>+b \ \dfrac<\cos x><\cos x>=0\) , откуда имеем \(a\mathrm\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm\, x=-\dfrac ba\)

Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\) :

\(1+\mathrm\, x=0 \Rightarrow \mathrm\, x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>4+\pi n, n\in\mathbb\)

\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: \(<\large<\sin x=2\sin<\dfrac x2>\cos<\dfrac x2>, \qquad \cos x=\cos^2 <\dfrac x2>-\sin^2 <\dfrac x2>,\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 <\dfrac x2>+\cos^2 <\dfrac x2>\Big)>>\) данное уравнение сведется к уравнению \(I\) :

Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\) . Тогда уравнение примет вид:

\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\) . Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm\,x=t\) сводится к:

\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) . Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac<\sqrt3-1><\sqrt3+1>=2-\sqrt3\) . Сделаем обратную замену:

2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin<\alpha>=\dfrac<2\mathrm\, \dfrac<\alpha>2><1+\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2> &&& \cos<\alpha>=\dfrac<1-\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2><1+\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2>\\&&&\\ \hline \end\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm\, \dfrac x2\)

Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

\(\dfrac<(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3><1+t^2>=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\) , то есть всегда \(\ne 0\) )

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[<\large\,\sin (x+\phi),>> \quad \text <где >\cos \phi=\dfrac a<\sqrt>\]

Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin<(\alpha\pm \beta)>=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha &&& \cos<(\alpha\pm \beta)>=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &&&\\ \hline \end\]

Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt<1^2+(-\sqrt3)^2>=2\) :

\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac<\sqrt3>2\cos 2x=-\dfrac12\)

Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac<\sqrt3>2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac<\pi>3, \ \dfrac<\sqrt3>2=\sin \dfrac<\pi>3\) . Тогда уравнение примет вид:

\(\sin 2x\cos \dfrac<\pi>3-\sin \dfrac<\pi>3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac<\pi>3\right)=-\dfrac12\)

Решениями данного уравнения являются:

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.

\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[<\Large>, \text <где >a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[<\large<(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x>> \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.

Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\) , тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac2\) .

Заметим, что формула \((*)\) есть не что иное, как формула сокращенного умножения \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) при подстановке в нее \(A=\sin x, B=\cos x\) .

Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\) .

Вынесем общий множитель за скобки в правой части: \(3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)\) .
По формулам двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x\) имеем: \[3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x\] Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену \(t=\sin 2x+\cos 2x\) , тогда \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac2\) . Тогда уравнение примет вид: \[3t=2t^2-2 \Rightarrow 2t^2-3t-2=0\] Корнями данного уравнения являются \(t_1=2, t_2=-\dfrac12\) .

По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)\) , следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin \begin &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=2\\[1ex] &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac12 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin &\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=\sqrt2\\[1ex] &\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac1 <2\sqrt2>\end \end \right.\] Первое уравнение корней не имеет, т.к. область значений синуса находится в пределах от \(-1\) до \(1\) . Значит: \(\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)=-\dfrac1 <2\sqrt2>\Rightarrow \left[ \begin \begin &2x+\dfrac<\pi>4=-\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+2\pi n\\[1ex] &2x+\dfrac<\pi>4=\pi+\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+2\pi n \end \end \right. \Rightarrow \)
\(\Rightarrow \left[ \begin \begin &x=-\dfrac12\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>-\dfrac<\pi>8+\pi n\\[1ex] &x=\dfrac<3\pi>8+\dfrac12\arcsin <\dfrac1<2\sqrt2>>+\pi n \end \end \right. \ \ n\in\mathbb\)

\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:

\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) :

\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)

\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :

\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)

\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\) :

\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)

\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)

\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\) :

\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\) (по первой формуле)