Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией , а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y ( x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки .

Между прогибами y ( x ) и углами поворота сечений θ ( x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии ( θ и φ — углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ = tg φ = y / .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ = y / .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

.

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

.

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем

.

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии . При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ = 0.1 рад ( y / ) 2 =0.01 ) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

.

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений

,

а после второго интегрирования – прогибы балки

.

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Метод интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки

Наиболее естественным методом определения функции прогибов является метод непосредственного интегрирования уравнения изгибающих моментов.

$EI\,y»(x) = M(x)$ – полученное дифференциальное уравнение;

$EI\,y'(x) = EI\,\varphi (x) = \int dx + C$ – первый интеграл (уравнение углов поворота);

$EI\,y(x) = \int dx = \iint dxdx + C\,x + D$ – второй интеграл (уравнение прогибов).

Кроме интегрирования уравнения изгибающих моментов $M(x)$, для получения уравнения прогибов необходимо определить две постоянных интегрирования $C$ и $D$ из условий закрепления балки. При этом надо учесть, что шарнирная опора исключает прогибы балки, а жесткое зажатие – прогибы и углы поворота (то есть они равны нулю).

Физический смысл постоянных интегрирования такой: при $x = 0$ угол поворота $EI\,\varphi (0) = C$, а прогиб $EI\,y(0) = D$, то есть константа $C$ равна углу поворота в начале координат, константа $D$ равна прогибу балки при x=0.

Консольная балка с силой на конце

На левой опоре возникают реакции – вертикальная сила $F$ и момент $M = F \cdot l$.

Уравнения изгибающих моментов

$M(x) = — Fl + Fx = F(x — l)$

Уравнение углов поворота

$EI\,y'(x) = EI\,\varphi (x) = \int dx + C = F(\frac<<>> <2>— lx) + C$

Так как в сечении $A$ (в защемлении) отсутствует прогиб и угол поворота, получим следующую систему уравнений

$\left\ < \beginEI\,\varphi (0) = F(\frac<<<0^2>>> <2>— l \cdot 0) + C = 0 \hfill \\ EI\,y(0) = F(\frac<<<0^3>>> <6>— l\frac<<<0^2>>><2>) + C \cdot 0 + D = 0. \hfill \\ \end \right.$

Решение этой системы уравнений приводит к результату $C = 0$, $D = 0$.

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l$

где знак « – » указывает направление перемещений – в сторону, противоположную положительному направлению оси $y$. Стрела прогиба $f = \frac<>><<3\,EI>>$.

Максимальный угол поворота сечения также будет иметь место при $x = l$

знак « – » указывает направление угла поворота – сечение поворачивается по часовой стрелке.

Шарнирно закрепленная балка с силой посередине

На опорах возникают вертикальные реакции $ = = F/2$.

Поскольку уравнение изгибающих моментов разное на двух разных участках, функция прогибов также будет разная. Используя полную симметрию расчетной схемы, далее будем рассматривать только левый участок, для которого уравнение изгибающих моментов имеет вид

$M(x) = \frac<2>x$, то есть $EI\,y»(x) = \frac<2>x$, интегрируем дважды

Константы интегрирования $C$ и $D$ полученного уравнения справедливы только для первого участка, поэтому их необходимо определять из условий, связанных с перемещениями на первом участке. Такими условиями является равенство нулю прогибов на опоре $A$ ($x = 0$) и, исходя из симметрии, равенство нулю угла поворота под силой $F$ ($x = l/2$). Имеем систему уравнений

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l/2$

Максимальные углы поворота сечений будут на опорах ($x = 0$ и $x = l$).

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

На левой опоре возникают реакции – вертикальная сила $ql$ и момент $M = \frac<>><2>$.

$M(x) = — \frac<>> <2>+ ql \cdot x — \frac<>><2>$, дважды интегрируем

Так как в сечении $A$ (в защемлении) отсутствует прогиб и угол поворота, получим следующую систему уравнений

$\left\ < \beginEI\,y'(0) = F(\frac<<<0^2>>> <2>— l \cdot 0) + C = 0 \hfill \\ EI\,y(0) = F(\frac<<<0^3>>> <6>— l\frac<<<0^2>>><2>) + C \cdot 0 + D = 0. \hfill \\ \end \right.$

Решение системы уравнений приводит к результату $C = 0$, $D = 0$.

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l$

Максимальный угол поворота сечения также будет иметь место при $x = l$

Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки

Для определения уравнения оси изогнутой балки воспользуемся законом Гука:

.

Выражение для кривизны некоторой кривой:

.

В пределах упругих деформаций квадрат угла поворота поперечного сечения балки ничтожно мал по сравнению с единицей. Поэтому (вторая производная от прогиба представляет собой кривизну изогнутой оси балки ( уравнение изгиба ) в рассматриваемом месте балки:.

Продифференцировав полученное уравнение дважды по z, получим дифференциальное уравнение оси изогнутой балки : .

Интегрирование дифференциального уравнения оси изогнутой балки

Интегрируя дифференциальное уравнение оси изогнутой балки первый раз, получим выражение, дающее закон изменения поперечной силы по длине балки.

Второе интегрирование дифференциального уравнения оси изогнутой балки определяет характер изменения изгибающего момента.

Третье интегрирование дифференциального уравнения оси изогнутой балки определяет характер изменения углов поворота поперечных сечений.

Четвертое интегрирование дифференциального уравнения оси изогнутой балки определяет закон изменения прогибов балки по ее длине.

Постоянные интегрирования определяются из условий закрепления балки.