Как составить дифференциальное уравнение заданных семейств

Составление дифференциального уравнения семейства кривых

Составление уравнений семейства кривых

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства:

φ (1)

необходимо продифференцировать равенство (1) n раз, считая y функцией от x, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исключить произвольные постоянные C₁ … C_n.

Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом ϕ, называются изогональными траекториями . Углы β и α наклона траектории и кривой к оси Ox связаны соотношением β = α ± φ.

— дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а

— уравнение семейства изогональных траекторий.

Тогда tg α = f (x,y), tg β = f₁ (x,y).

Отсюда следует, что если дифференциальное уравнение семейства кривых написано и угол φ известен, то найти tg β не составит труда, а после также легко можно будет написать уравнение траекторий.

Частный случай:

Если уравнение семейства кривых записано в виде:

,

то при составлении уравнения траекторий можно обойтись без решения уравнения относительно y’, в этом случае будет достаточно y’ заменить на tg α = tg (β ± φ), где tg β = y’ — угловой коэффициент касательной к траектории.

Пример №1

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых:

• Так как уравнение содержит два параметра (С₁ и С₂), то и дифференцировать будем два раза:

Первая производная:

Вторая производная:

• Дальше, чтобы составить дифференциальное уравнение семейства кривых необходимо избавиться от С₁ , а для этого выведем его из уравнения первой производной С₁ = -2(y — С₂)y’ и подставим в наше уравнение:

(2)

• Теперь также нужно избавиться от параметра C₂, а для этого выведем ее из второй производной: y — C₂ = -y’ 2 / y» и подставим это в (2):

• Ну и наконец упростим полученное уравнение и получим:

Пример №2

Для закрепления составим еще одно уравнение:

Решение абсолютно идентично предыдущему, за исключением того, что вместо параметров С₁ и С₂ здесь представлены параметры a, b и с. Ну и, конечно, раз параметров три, то нам понадобятся производные первого, второго и третьего порядка.

Делать описание каждого шага я уже не буду, думаю вы уже сами разберетесь:

Первая производная:

Вторая производная:

Третья производная:

Ответ:

Ну, думаю, если вы разобрались в первыми двумя примерами, то все остальные вы решите без труда, а чтобы это проверить дам вам парочку заданий «на дом».

Пример №3

Выразим коэффициенты a и b через 1-ую и 2-ую производные:

Первая производная: , где

Вторая производная: , где

Подставим значение b второй производной в значение a первой производной:

А теперь подставим полученные значения a и b в исходное уравнение и упростим:

⇒

Ответ:

Пример №4

Ну а здесь все еще проще:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, вычтем из единицы обе части уравнения:

Ну и теперь как мы видим во второй части получилось исходное уравнение, только в квадрате, а значит оно будет равно:

Приведем к общему виду и запишем ответ:

Ответ:

Ну и на этой ноте мы с вами закончим данный урок, всем спасибо!

Если вам что-то непонятно (или нашли неточности в уроке) пишите в комментариях и мы вам обязательно ответим в ближайшее время.

Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

§ 1. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых

Тема:Составление дифференциальных уравнений семейства кривых.

Уравнения с раздельными и разделяющимся переменными.Однородные уравнения. Дифференциальныех уравнения, приводимые к однородным.

Составление дифференциальных уравнений семейства кривых.

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства

Надо продифференцировать равенство (8.1) n раз, считая и функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (8.1) исключить произвольные постоянные с_1, с_2, ….с_n.

Пример 8.1:Составить дифференциальное уравнение семейства кривых

так как уравнение семейства содержит 2 параметра, дифференцируем его 2 раза, считая у = у(х)

Исключим С₁. Из уравнения (8.3) имеем С₁ =-2(у- с₂ )у , , подставляя это в (8.2), получим

Исключим С₂. Из уравнения (8.4) имеем у-с₂=у ,2 /у ,, , подставляя это в (8.5), получим после упрощения дифференциальное уравнение у , +2ху ,, =0

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8006 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Как известно, решение дифференциального уравнения изображается графически в виде семейства интегральных кривых . Можно поставить и обратную задачу: сконструировать дифференциальное уравнение для заданного семейства плоских кривых , описываемых алгебраическим уравнением!

Итак, допустим, что семейство плоских кривых описывается неявным однопараметрическим уравнением: [Fleft(
ight) = 0.] Будем предполагать, что функция (F) имеет непрерывные частные производные по (x) и (y.) Чтобы записать соответствующее дифференциальное уравнение первого порядка, нужно выполнить следующие шаги:

Продифференцировать (F) по (x,) рассматривая (y) как функцию (x:) [frac + frac cdot y’ = 0;]

Решить систему уравнений: [left frac + frac cdot y’ = 0\ Fleft(
ight) = 0 end
ight.,] исключая из нее параметр (C.)

В случае, если семейство плоских кривых задано двухпараметрическим уравнением [Fleft( , >
ight) = 0,] то последнее выражение нужно продифференцировать дважды, рассматривая переменную (y) как функцию (x) и затем исключая параметры ( >) и ( >) из системы трех уравнений.

Аналогичное правило применяется и в случае (n)-параметрического семейства плоских кривых.

Продифференцируем заданное уравнение по переменной (x:) [y’ = 2x – C.] Запишем последнее уравнение совместно с исходным алгебраическим уравнением и исключим параметр (C:) [ y’ = 2x – C\ y = – Cx end
ight.,>;; ;; ;; ] В результате получаем дифференциальное уравнение (не разрешенное относительно производной), соответствующее данному семейству плоских кривых.

Продифференцируем данное уравнение дважды по переменной (x) и запишем следующую систему трех уравнений: [left y = + x\ y’ = 2 x + \ y” = 2 end
ight..] Из последнего уравнения выразим параметр ( ) и подставим его в первые два уравнения: [ = frac<> ,>;; > > + x>\ ;; + left( ,>;; ,>;; ;; ]

Составление дифференциальных уравнений семейств линий

Пусть дано уравнение однопараметрического семейства плоских кривых

Дифференцируя (1) по , найдем

Исключая параметр из (1) и (2), получаем дифференциальное уравнение

выражающее свойство, общее всем кривым семейства (1). Уравнение (3) будет искомым дифференциальным уравнением семейства (1).

Если однопараметрическое семейство кривых определяется уравнением

то дифференциальное уравнение этого семейства получим, исключая параметр из уравнений

Пусть теперь имеем соотношение

где — параметры. Дифференцируя (4) раз по и исключая параметры из (4) и полученных уравнений, приходим к соотношению вида

Это дифференциальное уравнение заданного n-параметрического семейства линий (4) в том смысле, что (4) есть общий интеграл уравнения (5).

Пример 1. Найти дифференциальное уравнение семейства гипербол .

Решение. Дифференцируя это уравнение по , получаем

Умножим обе части на , тогда . Подставляя в уравнение семейства найдем .

Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства линий , где — параметр.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по :

Из выражения для находим
и, подставляя это выражение для в уравнение семейства линий, получим

Пример 3. Составить дифференциальное уравнение семейства прямых, отстоящих от начала координат на расстояние, равное единице.

Решение. Будем исходить из нормального уравнения прямой

Дифференцируя (6) по , найдем , откуда , следовательно,

Подставив и в (6), получим

2°. Задачи на траектории

Пусть дано семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра ,

Кривая, образующая в каждой своей точке постоянный угол с проходящей через эту точку кривой семейства (7), называется изогональной траекторией этого семейства; если, в частности, , то — ортогональной траекторией .

Считая семейство (7) заданным, будем разыскивать его изогональные траектории.

А. Ортогональные траектории . Составляем дифференциальное уравнение данного семейства кривых (см. п. 1). Пусть оно имеет вид

Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид

Общий интеграл этого уравнения дает семейство ортогональных траекторий.

Пусть семейство плоских кривых задано уравнением в полярных координатах

получаем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий

Б. Изогональные траектории . Пусть траектории пересекают кривые данного семейства под углом , причем . Можно показать, что дифференциальное уравнение изогональных траекторий имеет вид

Пример 4. Найти ортогональные траектории семейства линий .

Решение. Семейство линий состоит из прямых, проходящих через начало координат. Для нахождения дифференциального уравнения данного семейства дифференцируем по обе части уравнения . Имеем . Исключая параметр из системы уравнений будем иметь дифференциальное уравнение семейства . Заменяя в нем на , получаем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий , или . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными; интегрируя его, найдем уравнение ортогональных траекторий . Ортогональными траекториями являются окружности с центром в начале координат (рис. 15).

Пример 5. Найти уравнение семейства линий, ортогональных к семейству .

Решение. Данное семейство линий представляет собой семейство окружностей, центры которых находятся на оси и которые касаются оси .

Дифференцируя по обе части уравнения данного семейства, найдем . Исключая параметр из уравнений получаем дифференциальное уравнение данного семейства . Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий есть

Это уравнение является однородным. Интегрируя его, найдем . Интегральные кривые являются окружностями, центры которых расположены на оси и которые касаются оси (рис. 16).

Пример 6. Найти ортогональные траектории семейства парабол .

Решение. Составляем дифференциальное уравнение семейства парабол. Для этого дифференцируем обе части данного уравнения по . Исключая параметр , найдем , или дифференциальное уравнение данного семейства. Заменяя в уравнении на , получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий

Интегрируя, найдем или 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Ортогональным семейством является семейство эллипсов (рис. 17).

Пример 7. Найти ортогональные траектории семейства лемнискат .

Решение. Имеем . Исключая параметр , получим дифференциальное уравнение данного семейства кривых Заменяя на , найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий откуда . Интегрируя, находим уравнение ортогональных траекторий

Ортогональными траекториями семейства лемнискат являются лемнискаты, ось симметрии которых образуют с полярной осью угол (рис. 18).