Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения
Дробно-рациональные уравнения – уравнения, которые можно свести к виду \(\frac
Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. Пример не дробно-рациональных уравнений: Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным. Алгоритм решения дробно-рационального уравнения: Выпишите и «решите» ОДЗ. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут. Запишите уравнение, не раскрывая скобок. Решите полученное уравнение. Проверьте найденные корни с ОДЗ. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7. Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам. Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac Сначала записываем и «решаем» ОДЗ. По формуле сокращенного умножения : \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\). Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение. Приводим подобные слагаемые Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй. Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем квадратный трехчлен \(x^2+7x+10\) на множители по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение. Приводим подобные слагаемые Находим корни уравнения Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень. Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как: при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную. Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем. 9 x 2 — 1 3 x = 0 1 2 x + x x + 1 = 1 2 6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1 Уравнения, которые не являются дробно-рациональными: В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения. Алгоритм действий при стандартном способе решения: Пример 1 Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить: x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4 Начать следует с области допустимых значений: x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2 Воспользуемся правилом сокращенного умножения: x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 ) В результате общим знаменателем дробей является: Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель: x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4 x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 ) После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые: x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8 x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8 Осталось решить квадратное уравнение: Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать: Требуется решить дробно-рациональное уравнение: x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0 x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0 Определим область допустимых значений: О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2 x 2 + 7 x + 10 ≠ 0 D = 49 — 4 · 10 = 9 x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2 x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5 Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой: a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0 Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение: x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0 Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые: x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 — — ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0 x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0 x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0 2 x 2 + 9 x — 5 = 0 Потребуется решить квадратное уравнение: 2 x 2 + 9 x — 5 = 0 Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень. Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти: 4 x — 2 — 3 x + 4 = 1 В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю: 4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему: — x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0 Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ: ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0 Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль: — x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 ) Получилось квадратное уравнение, которое можно решить: Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения. Нужно решить дробно-рациональное уравнение: x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю: x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0 x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0 x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0 — x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0 Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений. — x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 ) Корни квадратного уравнения: x 1 = — 4 ; x 2 = 2 Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень. Найти корни уравнения: x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2 Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю: x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0 x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0 x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0 0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0 Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений: Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ. Ответ: х — любое число, за исключением 3. Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения: 5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4 На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю: 5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0 Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение. Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни. Ответ: корни отсутствуют Нужно найти корни уравнения: x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) Начнем с определения ОДЗ: — 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0 При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим: x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 ) ( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 ) ( x — 3 ) x + x = x + 5 Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме: x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0 Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета: x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3 В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5. Второе значение не соответствует области допустимых значений. Разделы: Математика Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике. Особое значение в этом смысле имеет умение смоделировать математически определённые реальные ситуации. Данное умение интегрирует в себе разнообразные специальные умения, адекватные отдельным элементам математических знаний, их системам, а также различные мыслительные приёмы, характеризующие культуру мышления. В школьной математике знакомство с математическим моделированием основано, прежде всего, на решении текстовых задач. Текстовая задача несет в себе важные элементы математического моделирования. Решая ее, учащийся некие производственные, экономические, житейские связи зашифровывает с помощью математических символов, придавая им абстрактную математическую форму. Решая уравнения, учащийся расшифровывает результат, согласуя его со здравым смыслом. Вот почему решению текстовых задач, этому важнейшему мостику между математикой и ее приложениями должно уделяться особое внимание. При этом представляется, что техника решения текстовых задач может отрабатываться на любых задачах. Было бы наивным думать, что задача на движение, начинающаяся словами «Два автомобиля:» непременно предназначена для будущих водителей, а для школы со спортивным уклоном она должна начинаться словами «Два лыжника:». Применение на практике различных задач на составление уравнений позволяет создавать такие учебные ситуации, которые требуют от учащегося умения смоделировать математически определённые физические, химические, экономические процессы и явления, составить план действия в решении реальной проблемы. Практика последних лет говорит о необходимости формирования умений решения задач на составление уравнений различных типов ещё и в связи с включением их в содержание ГИА и ЕГЭ. Однако, анализ образовательной практики по данному направлению говорит о том, что значительная часть учащихся испытывает серьёзные затруднения при решении задач на составление уравнений. В большей степени это связано с недостаточной сформированностью у учащихся умения составлять план действий, алгоритм решения конкретной задачи, культурой моделирования явлений и процессов. Большинство учащихся решают такие задачи лишь на репродуктивном уровне. Решению текстовых задач предшествует достаточно долгое время, отводимое на отработку решения уравнений. Начиная с 8 класса, как только выучены дробные рациональные выражения, решения задач по алгебре практически все сводятся к решению дробных рациональных уравнений, которые, в свою очередь, включают чаще всего решение квадратных уравнений. В 8 классе решение задач с помощью дробных рациональных уравнений как показывает опыт эффективнее решать табличным методом, так как он является более наглядным, что важно для подготовки к ГИА в 9 классе. Все задачи, решаемые с помощью дробных рациональных уравнений, можно разделить на несколько групп: Начинать обучение следует с простых задач, условия которых полностью соответствуют названиям основных типов, и сводящихся к решению дробных рациональных уравнений. Затем можно приступать к решению более сложных задач. Рекомендуется подобрать разноуровневые задачи по каждому типу, что дает возможность работать со школьниками разных математических способностей. Мы стараемся научить детей строить таблицы с данными величинами задачи, слева обозначаются объекты (автомобили, лодки, пешеходы, самолеты и т.д.), сверху в колонках — величины, характеризующие данную задачу, и обязательно единицы их измерения. И дети понимают, что из трех величин, зная две, всегда можно записать третью. Приведем пример оформления задачи: Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 120км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 10 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси? Пусть км/ч — скорость автобуса, тогда составим и заполним таблицу: Т.к. по условию задачи пассажир опоздал на автобус на 10 минут =часа, то составим и решим уравнение: , ОДЗ: >0 (т.к. скорость положительна) 720(х+10) — 720х= х (х+10), Далее решая квадратное уравнение, получаем: -90 — не входит в ОДЗ, значит, скорость автобуса равна 80 км/ч. Основная часть класса уверенно заполняет таблицу и составляет уравнение. В зависимости от выделенного времени, обучаемым может быть предложен широкий спектр мероприятий — семинары, кружки, факультативы, индивидуальные и групповые консультации и т.д., в рамках которых обучаемые более глубоко осваивают решение задач с помощью уравнений. Практикум по решению задач табличным методом с помощью дробных рациональных уравнений можно провести во второй половине дня на групповой консультации по математике, что целесообразно в рамках школы полного дня. Список предлагаемых задач: Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на . Найдите эту дробь. Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки? Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому? Моторная лодка прошла против течения 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч. Расстояние 700 км экспресс проходит на 4 часа быстрее товарного поезда, так как его скорость больше скорости товарного поезда на 20 км/ч. Определите скорость каждого из поездов, если известно, что они движутся с постоянной скоростью без остановок. Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку? На участке пути длиной 300 км поезд увеличил скорость на 10 км/ч, в результате чего прибыл на конечную станцию на 1 час раньше, чем планировалось по расписанию. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию? Прозаик хочет набрать на компьютере рукопись объемом 450 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать прозаик? Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 19 км. Пешеход прошел путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 4 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 1 км/ч? Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 2 часа пути вынужден был сделать остановку на 10 минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Количество решаемых задач может меняться в зависимости от отводимого на это время. Используемая литература: http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/9/drobnoraczionalnye-uravneniya http://urok.1sept.ru/articles/571941\) \(=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — выражения с иксом (или другой переменной).
Как решаются дробно-рациональные уравнения?
Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.Дробно-рациональные уравнения
Что такое дробно-рациональные уравнения
Как решаются дробно-рациональные уравнения
Примеры задач с ответами для 9 класса
Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений табличным методом
Скорость (км/ч) Время (ч) Путь (км) Автобус Такси