Как составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с комплексными корнями и коэффициентами

Пусть задано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты $a$, $b$ и $c$ — в общем случае являются комплексными. Его решение находим с помощью дискриминанта

В общем случае и дискриминант, и корни уравнения являются комплексными числами.

Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни $z_<1>=1-i$ и $z_<2>=4-5i$. Решить его.

Решение. Известно, что если $z_1$, $z_2$ — корни квадратного уравнения $z^2+bz+c=0$, то указанное уравнение можно записать в виде $(z-z_1)(z-z_2)=0$. А тогда, учитывая этот факт, имеем, что искомое уравнение можно записать следующим образом:

Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:

$z^<2>+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$ — искомое квадратное уравнение.

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D=(-5+6 i)^<2>-4 \cdot 1 \cdot(-(1+9 i))=-11-60 i+4+36 i=$$ $$=-7-24 i$$

Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то корень из дискриминанта будем искать в виде $\sqrt=a+b i$. То есть

$$\sqrt<-7-24 i>=a+b i \Rightarrow-7-24 i=(a+b i)^ <2>\Rightarrow$$ $$\Rightarrow-7-24 i=a^<2>+2 a b i-b^<2>$$

Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений $a$ и $b$:

решив которую, имеем, что $a_1=3$, $b_1=-4$ или $a_2=-3$, $b_2=4$. Рассматривая любую из полученных пар, например, первую, получаем, что $\sqrt=3-4 i$, а тогда

Ответ. $z^<2>+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$

Комплексные числа. Лекция 2. Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.
учебно-методический материал по теме

Опорный конспект для студентов СПО технических специальностей по дисциплине «Математика». раздел 1. Алгебра

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами a, b, c всегда имеет 2 корня.

В зависимости от значения дискриминанта D = b 2 − 4 ac уравнения с действительными коэффициентами возможны следующие случаи:

Если коэффициенты квадратного уравнения комплексные, то возможны 2 случая:

• D – действительное число
• D – комплексное число

Определение. Число ω называется квадратным корнем из комплексного числа z, если ω 2 = z.

Теорема . Пусть z = a + b i – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти числа выражаются формулой:

Задания для работы в классе:

Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11 класс

Стр. 188, № 338, 337, 339 (нечетные цифры)

Домашнее задание. № 338, 337, 339 (четные цифры)

Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами a, b, c всегда имеет 2 корня.

В зависимости от значения дискриминанта D = b 2 − 4 ac уравнения с действительными коэффициентами возможны следующие случаи:

Если коэффициенты квадратного уравнения комплексные, то возможны 2 случая:

• D – действительное число
• D – комплексное число

Определение. Число ω называется квадратным корнем из комплексного числа z, если ω 2 = z.

Теорема . Пусть z = a + b i – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти числа выражаются формулой:

Задания для работы в классе:

Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11 класс

Стр. 188, № 338, 337, 339 (нечетные цифры)

Домашнее задание. № 338, 337, 339 (четные цифры)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Комплексные числа. Лекция 1. Основы теории комплексных чисел.

Опорный конспект для студентов СПО технических специальностей по дисциплине «Математика». раздел 1. Алгебра.

Комплексные числа. Лекция 3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Опорный конспект для студентов СПО технических специальностей по дисциплине «Математика». раздел 1. Алгебра.

Комплексные числа. Лекция 4. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме записи.

Опорный конспект для студентов СПО технических специальностей по дисциплине «Математика». раздел 1. Алгебра.

«Решение квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов»

Ознакомление еще с одним способом решения квадратных уравнений, который поможет быстро найти корни квадратного уравнения. Его можно назвать так: свойства коэффициентов квадратного уравнения.

конспект урока по алгебре 8 класс «Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом»

План конспект открытого урока по алгебре «Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом» в рамках ФГОС в 8 классе.

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.

Презентация по теме «Решение квадратных уравнений с помощью переноса старшего коэффициента»

При решении квадратных уравнений удобно использовать теорему Виета. Но данную теорему проблематично использовать для решения не приведенных квадратных уравнений. Метод переноса старшего коэффициента п.

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Всем известно из школы квадратное уравнение:

,

поиск дискриминанта и решение вопроса: имеет ли квадратное уравнение корни или корень или нет. Как следует из основной теоремы алгебры, любое уравнение — ой степени имеет ровно корней с учетом кратности этих корней. Таким образом, любое квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно два корня. При этом кратные корни в комплексном анализе считаются ровно столько раз, какая у них кратность.

Утверждение. Пусть коэффициенты многочлена — ой степени

– действительные и его комплексный корень, тогда тоже является корнем этого многочлена.

Доказательство. Перейдем к комплексному сопряжению в равенстве : , так как . Поскольку коэффициенты многочлена действительны, то: .

Получили , следовательно, — также корень многочлена .

Если коэффициенты квадратного трехчлена действительны, а дискриминант отрицательный, то пару сопряженных корней можно найти через дискриминант.

При этом в формуле

нужно учесть что .

Решить квадратное уравнение с действительными коэффициентами: .

Решаем по «половинной» формуле: .

Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один не действительный коэффициент, то корни не будут комплексно сопряженными.

Рассмотрим уравнение с комплексными коэффициентами:

Решаем через дискриминант. .

Таким образом, — корни нашего уравнения.

Пример 3

Решить квадратное уравнение:

Опять используем школьную формулу решения. Находим дискриминант:

Чтобы извлечь корень из дискриминанта обратимся к формуле извлечения корня ой степени из комплексного числа. Если , то корни ой степени из имеют вид:

В нашем случае .

Так что корни такие:

Теперь запишем корни исходного квадратного уравнения: .

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?