Как составить пропорцию в уравнении

Урок 22 Бесплатно Пропорции

Чтобы узнать название темы урока, обратите внимание на картинку.

Попробуйте отгадать ребус.

На этом уроке вы узнаете, что называют пропорцией, выведете основное свойство пропорции и с помощью него научитесь решать задачи и уравнения.

Слово «пропорция» (proportio) в переводе с латинского — соразмерность, отношение частей (соотношение).

Пропорция

В IV веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс Книдский дал определение пропорции, состоящей из величин любой природы, а не только из натуральных величин.

Пропорции применяли с древности при решении различных задач.

Древние греки использовали пропорцию и ее свойство для строительства сооружений, при создании произведений искусства (скульптуры, статуи), в ремесленническом деле и др.

Соблюдение пропорций, определенных соотношений, активно используется и в настоящее время в архитектуре, искусстве, музыке, при решении физических задач.

В географии и моделировании пропорциональные зависимости применяют при создании уменьшенной копии реального объекта.

В швейных технологиях — для изменения размеров выкройки изделия до нужного размера.

В химии для проведения успешной реакции рассчитывают пропорциональное отношение химических веществ.

В медицине и фармацевтике используют пропорции при изготовлении лекарственных препаратов.

В кулинарии, например, с помощью пропорции можно рассчитать рецепт одного и того же блюда для разного количества гостей.

Разберем, что же такое пропорция в математическом понимании.

Возьмем два отношения: \(\mathbf<\frac<36><9>>\) и \(\mathbf<\frac<12><3>>\) и эти отношения равны, так как \(\mathbf<36\div9=4>\) и \(\mathbf<12\div3=4>\), значит \(\mathbf<\frac<36><9>= \frac<12><3>>\)

Равенство двух отношений называют пропорцией.

С помощью букв запишем пропорцию из двух отношений так: \(\mathbf\) или \(\mathbf<\frac= \frac>\).

Эту математическую запись читают так: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a так относится к b, как c относится к d».

Все члены пропорции не равны нулю: \(\mathbf\).

Числа a и d называют крайними членами пропорции.

Числа b и c называют средними членами пропорции.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

В мире существует «золотая пропорция», которую называют «золотым сечением». Это пропорциональное деление отрезка на различные по размеру части, но в таком соотношении к друг другу, что меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всей величине.

Приблизительное значение «золотого сечения» равно 1,618… Число это продолжается бесконечно после запятой, и оно не периодично.

В процентном выражении целая часть относится к большей, как большая к меньшей, примерно так: 62% и 38% соответственно.

Обозначают число «золотого сечения» математической буквой \(\mathbf<\varphi>\) (фи).

Мир живой и неживой природы, мир творений человека полон красоты, симметрии и гармонии. Этот мир описывается законом «золотого сечения».

Рассмотрим только несколько примеров, где присутствует и используется правило «золотого сечения».

Считается, что длина фаланг пальцев и длина кисти руки, средний палец и мизинец, или высота лица и расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ у пропорционального человека находятся в определенных отношениях, соответствуя правилу «золотого сечения».

Форма тела ящериц, стрекоз, бабочек соответствует закону «золотого сечения»: отношение грудной и брюшной части тела приближенно равны значению «золотого сечения».

Спиралевидная форма ракушек тоже описывается числом \(\mathbf<\varphi>\) (фи).

«Золотая пропорция» была обнаружена в египетских пирамидах, произведениях искусства, архитектуре и применяется до сих пор в разных областях жизни человека

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Что такое пропорция

О чем эта статья:

Что такое пропорция

Пропорция — это равенство двух отношения.

Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.

Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.

Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:

• a : b = c : d

a и d — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.

Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d

Например:

Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.

15 и 3 — крайние члены пропорции.

5 и 9 — средние члены пропорции.

Наглядный пример для понимания:

У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.

• Запишем эту непростую ситуацию в виде отношения 8 кусочков к 4 голодным друзьям: 8 : 4
• Далее преобразовываем это отношение в дробь: 8/4
• Выполняем деление: 8/4 = 2

Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!

А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.

Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.

• Запишем в виде отношения: 4 : 2
• Преобразовываем получившееся отношение в дробь: 4/2
• Выполняем деление: 4/2 = 2

Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.

Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.

Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉

Основное свойство пропорции

Запомните основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.

В виде формулы свойство выглядит так:

a : b = c : d
a * d = b * c

Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.

Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.

Давайте проверим несколько пропорций.

Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4

• Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, перемножаем ее крайние члены: 6 * 4 = 24.
• Далее перемножаем средние члены пропорции: 2 * 12 = 24
• Произведение крайних членов пропорции равно 24, произведение средних членов пропорции также равно 24.
• 6 * 4 = 2 * 12
  24 = 24

Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.

Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4

• Перемножаем крайние члены пропорции: 10 * 4 = 40.
• Перемножаем средние члены: 16 * 2 = 32.
• Произведение крайних членов пропорции равно 40. Произведение средних членов пропорции равно 32.
• 10 * 4 ≠ 16 * 2
  40 ≠ 32

Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Примеры решения задач с пропорцией

Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.

Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4

1. По основному свойству пропорции перемножаем множители:
   15 * 4 = 3x
2. Получаем уравнение: 60 = 3x
3. 60/3 = x
   x = 20.

Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20

Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.

1. Записываем чиcла в виде дробей: 18/9 = 24/x
   Где x — четвертый член пропорции.
2. По основному свойству пропорции, перемножаем средние члены: 9 * 24 = 216
3. Выводим уравнение 18x = 216
4. Находим x:
   x = 216 : 18
   x = 12
5. Проверяем: 9 * 24 = 216, 18 * 12 = 216.
   Пропорция составлена верно.

Ответ: четвертый член пропорции — 12.

Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?

1. Записываем числа в виде обратной пропорции: 18/9 = x/8
2. Перемножаем множители по основному свойству пропорции: 18 * 8 = 9x
3. Находим х:
   144 = 9x
   144 : 9 = 16

Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.

Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4

1. По основному свойству пропорции перемножаем множители:
   20 * 4 = 2y
2. Получаем уравнение: 80 = 2y
3. Находим у:
   80/2 = y
   x = 40.
4. Проверяем пропорцию: 20 * 4 = 80, 40 * 2 = 80.

Составление и решение пропорций в математике

Пропорции — что это в математике

Валя съела 3 яблока из пяти. Какую часть яблок съела Валя?

Вначале узнаем, какую часть яблок составляет 1 яблоко. Всего у Вали было 5 яблок, значит, одно из них — это 1 5 часть всех яблок. Тогда 3 съеденных яблока составляют 3 5 всех яблок.

Тот же ответ получим, если 3 разделим на пять.

Получается, что 3 яблока соотносятся с пятью яблоками как 3 к 5.

Другой вариант записи ответа отмечают в виде десятичной дроби и процентов: 3 5 = 0 , 6 или 60%.

Отношением двух чисел называют частное этих чисел.

Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Или какую часть первое число составляет от второго.

Термин «отношение» применяют в случаях, когда нужно выразить одну величину в долях другой. Например, одну площадь в долях другой площади. Это операцию выполняют с помощью деления.

Делимое в выражении отношения называют предыдущим членом. Делитель называют последующим членом.

В задаче 1 предыдущий член — это 3, последующий — 5.

Если есть два равных отношения, то они образуют пропорцию.

Пропорцией называют равенство двух отношений.

Даны два отношения: 3,8:2 и 5,7:3.

Можно ли составить из этих выражений пропорцию?

Найдем значения каждого из отношений:

3 , 8 : 2 = 1 , 9 ; 5 , 7 : 3 = 1 , 9 .

Значения выражений оказались равными, значит, эти отношения равны.

Тогда можно записать равенство: 3,8:2=5,7:3.

Такое равенство называется пропорцией.

Ответ: да, можно составить из этих отношений чисел пропорцию.

С помощью буквенных символов пропорцию можно записать так: a : b = c : d или a b = c d .

Полученное равенство читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, как c относится к d».

Числа a и d в пропорции называют крайними членами пропорции.

Числа b и c — средними членами пропорции.

Назовите крайние и средние члены пропорции 42:6=49:7.

Крайние члены пропорции — 42 и 7.

Средние члены пропорции — 6 и 49.

Определите средние члены пропорции 25 5 = 35 7 .

Средние члены пропорции — 5 и 35.

Понятие «пропорция» пришло из латинского языка. Слово в переводе означает соразмерность, определенное соотношение частей между собой.

Основное свойство пропорции, правило

Основное свойство пропорции

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:

Определите, верна ли пропорция 6:2=9:3.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Произведение крайних членов равно произведению 6 и 3. Получим 6 * 3 = 18 .

Произведение средних членов равно произведению 2 и 9. Получим 2 * 9 = 18 .

Значит, 6:2=9:3. Пропорция верна.

Обратное утверждение тоже верно:

Если произведение средних членов равно произведению крайних членов, то пропорция верна.

Пропорция 60:12=10:2 верна, потому что 60 * 2 = 12 * 10 = 120 .

Если поменять в это пропорции местами средние члены, получим 60:10=12:2. Эта пропорция тоже верна. При перестановке произведение крайних и средних членов не изменилось.

Если в пропорции поменять крайние члены — 2:10=12:60, то произведение тоже не изменится.

Пропорция будет верной, если поменять местами средние члены или крайние члены.

Если какой-то из членов пропорции неизвестен, то его можно найти.

По основному свойству пропорции можно найти ее неизвестный член, если все остальные компоненты известны.

Найдите неизвестный член пропорции: 4,8:b=8:2,5.

Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.

Получим 4 , 8 * 2 , 5 = b * 8 .

b = 4 , 8 * 2 , 5 : 8 ;

Составление и решение пропорций

Запишите пропорцию: 6 так относится к 18, как 9 относится к 27.

Слово «относится» заменяем на знак деления.

Получаем два отношения: 6:18 и 9:27.

Если эти два отношения равны, то получаем верную пропорцию.

6 : 18 = 9 : 27 ; 1 3 = 1 3 , получили верную пропорцию.

Запишите пропорцию и проверьте ее: отношение 2 к 1 4 равно отношению 3 к 1 15 .

Записываем отношения: 2 1 4 и 3 1 15 .

Составляем пропорцию: 2 1 4 = 3 1 15 .

Проверяем, верна ли пропорция.

Для этого воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.

2 * 1 15 ≠ 1 4 * 3 ; 2 15 ≠ 3 4 . Условие равенства произведений не выполнилось, значит, пропорция не верна.

Определите, верна ли пропорция: 1 , 4 0 , 7 = 3 , 4 1 , 7 .

Чтобы проверить, верна ли пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции.

Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:

1 , 4 * 1 , 7 = 2 , 38 ; 0 , 7 * 3 , 4 = 2 , 38 .

Значит, произведение крайних членов равно произведению средних членов.

1 , 4 * 1 , 7 = 0 , 7 * 3 , 4 ; 2 , 38 = 2 , 38 .

Вывод: пропорция верна.

Примеры уравнений с решением для 6 класса

Решите уравнение: 8 , 8 4 2 5 = n 0 , 12 .

Чтобы найти неизвестный член пропорции, используем основное свойство пропорции. Находим произведение крайних и средних членов. Выражаем неизвестный компонент.

8 , 8 4 2 5 = n 0 , 12 ; 8 , 8 * 0 , 12 = 4 2 5 * n . Из равенства выражаем n : n = 8 , 8 * 0 , 12 4 2 5 Представим смешанное число 4 2 5 в виде десятичной дроби. Для этого приведем дробную часть смешанного числа к дроби со знаменателем 10 : домножим числитель и знаменатель 2 . 4 2 5 = 4 2 * 2 н а 5 * 2 = 4 4 10 . Такое смешанное число записываем в виде десятичной дроби, отделяя целую часть запятой: 4 4 10 = 4 , 4 . Тогда n = 8 , 8 * 0 , 12 4 , 4 . Сокращаем получившуюся дробь: 0 , 12 и 4 , 4 делятся на 4 . n = 8 , 8 * 0 , 03 1 , 1 ; 8 , 8 и 1 , 1 делятся на 1 , 1 . n = 8 * 0 , 03 1 ; n = 0 , 24 .

Найдите неизвестный член пропорции: 1 1 2 : 2 1 4 = 6 : m .

Используем основное свойство пропорций. Записываем равенства произведений крайних и средних членов.

1 1 2 * m = 2 1 4 * 6 . И выражаем m : m = 2 1 4 * 6 : 1 1 2 . Переводим смешанные числа в неправильные дроби: m = 2 * 4 + 1 4 * 6 : 1 * 2 + 1 2 ; m = 9 4 * 6 : 3 2 . Натуральное число переводим в обыкновенную дробь со знаменателем 1 и умножаем на первую дробь: m = 9 4 * 6 1 : 3 2 ; m = 9 * 6 4 * 1 : 3 2 . Чтобы разделить обыкновенные дроби, нужно домножить дробь на взаимно обратную данной: m = 9 * 6 4 * 1 * 2 3 ; m = 9 * 6 * 2 4 * 1 * 3 . Сокращаем получившееся выражение. 4 и 2 делятся нацело на 2 . 9 и 3 делятся нацело на 3 . m = 3 * 6 * 1 2 * 1 * 1 . Для чисел 6 и 2 общий делитель 2 : m = 3 * 3 * 1 1 * 1 * 1 ; m = 9 .

Решите уравнение: 0,25:x=3,75:3.

По основному свойству пропорции получим: 0 , 25 * 3 = x * 3 , 75 .

x = 0 , 25 * 3 : 3 , 75 ; x = 0 , 75 : 3 , 75 . Делить на десятичную дробь нельзя. Преобразуем ее в натуральное число.

После запятой в дроби 3 , 75 два знака, значит, нужно домножить ее на единицу с таким оличеством нулей. Это сто.

Но чтобы выражение осталось неизменным, нужно домножить на сто и делимое.

x = 0 , 75 * 100 : 3 , 75 * 100 ; x = 75 : 375 ; x = 0 , 2 .

Найдите неизвестное: k : 3 1 2 = 0 , 4 : 2 4 5

Чтобы найти неизвестный компонент пропорции, нужно воспользоваться основным свойством дроби.

По основному свойству дроби произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Получим: k * 2 4 5 = 3 1 2 * 0 , 4 .

Выразим k : k = 3 1 2 * 0 , 4 : 2 4 5 .

Переведем 0,4 в обыкновенную дробь: 0 , 4 = 4 10 . Эта дробь сократима: числитель и знаменатель делятся на 2 нацело: 4 10 = 4 : 2 10 : 2 = 2 5 .

Записываем полученное выражение:

k = 3 1 2 * 2 5 : 2 4 5 .

1 действие — умножение.

Переводим смешанное число в неправильную дробь и умножаем на вторую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

3 1 2 * 2 5 = 3 * 2 + 1 2 * 2 5 = 7 2 * 2 5 = 7 * 2 2 * 5 .

Сокращаем дробь: есть одинаковые числа в числителе и знаменателе.

2 действие — деление.

Теперь делим полученное число на 2 4 5 .

Смешанное число переводим в неправильную дробь.

Умножаем 7 5 на взаимно обратную дробь.

7 5 : 2 4 5 = 7 5 : 2 * 5 + 4 5 = 7 5 : 14 5 = 7 5 * 5 14 = 7 * 5 5 * 14 = 7 * 5 5 * 14 = 7 14 = 1 2 = 0 , 5 .