Как составить уравнение эволюты кривой

Для неявно заданных кривых — см. формулы в Феденко.

Касательная кривой имеет в точке касания имеет соприкосновение первого порядка.

Соприкасающаяся окружность плоской кривой

Пусть $\gamma$ — плоская кривая, $M_0 (t=t_0)$ — точка на ней.

Окружность, проходящая через точку $M_0$, называется соприкасающейся окружностью кривой $\gamma$ в точке $M_0$, если кривая в этой точке с окружностью имеет соприкосновение второго порядка (не ниже второго порядка).

Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны кривой в заданной точке.

Центр окружности лежит на нормали к кривой. Радиус окружности (радиус кривизны) есть величина, обратная кривизне этой кривой в заданной точке $M_0$: $$ R=1/k(t_0).$$

Эволюта и эвольвента

Эволютой плоской кривой называется огибающая ее нормалей.

Эволюта это геометрическое место центров кривизны плоской кривой.

Эвольвентой плоской кривой $\gamma$ называется такая кривая $\Gamma$ по отношению к которой $\gamma$ является эволютой.

Решение задач

Задача 1 (Феденко № 179)

Докажите, что линии \begin y_1=\mbox\,x, \,\, y_2=x^4-\frac16x^3+x. \end имеют в начале координат касание третьего порядка

Решение задачи 1

Задача 2 (Феденко №369)

Напишите уравнение соприкасающейся окружности линии $y=\mbox\,x$ в точке $A\left(\frac<\pi><2>; 1\right)$.

Решение задачи 2

Радиус соприкасающейся плоскости $R=\displaystyle\frac<1>$. Найдем кривизну для заданной кривой: \begin k = \displaystyle\frac<|y''|><\left(1+(y')^2\right)^<3/2>>=\frac<\mbox\,x><(1+\mbox^2\,x)^<3/2>>. \end \begin k\left(\frac<\pi><2>\right)=1 \,\, \Rightarrow \,\, R=1. \end Учитывая, что окружность касается синусоиды в точке $A\left(\displaystyle\frac<\pi><2>; 1\right)$, радиус окружности равен $1$ и центр окружности лежит на нормали, проведенной в точке касания, получаем следующее уравнение: \begin \left(x-\displaystyle\frac<\pi><2>\right)^2+y^2=1. \end

Задача 3 (Феденко №391)

Составьте уравнения и начертите эволюту кривой \begin x=a\left(\mbox\,\mbox\,\left(\displaystyle\frac<2>\right)+\mbox\,t\right), \,\, y = a\,\mbox\,t. \end

Решение задачи 3

Задача 4 (Феденко №397)

Составьте уравнения эвольвент окружности $x^2+y^2=a^2$ и сделайте рисунок.

Решение задачи 4

Запишем параметрическое уравнение окружности: \begin x=a\,\mbox\,t, \,\, y=a\,\mbox\,t. \end

Центр кривизны кривой. Эволюта

Пусть кривая \(\Gamma\) задана натуральным уравнением. Будем предполагать, что в точке \(M\in\Gamma\), где \(\overrightarrow=\textbf(s)\), существует кривизна \(k=k(s)\neq 0\). Тогда радиус кривизны кривой \(\Gamma\) в точке \(M\) равен
$$
R=R(s)=\frac<1>.\label
$$

Отложим на главной нормали кривой \(\Gamma\) (рис. 22.9) в направлении главной нормали \(\nu=\nu(s)\) отрезок \(MN\) длиной \(R=R(s)\) и назовем точку \(N\) центром кривизны кривой \(\Gamma\) в точке \(M\). Пусть \(\overrightarrow=\rho\).

Так как \(\overrightarrow=R(s)\nu(s)\), то получаем:
$$
\boldsymbol<\rho>=\textbf(s)+R(s)\boldsymbol<\nu>(s).\label
$$

Рис. 22.9

Используя формулу \eqref и равенство
$$
\frac\textbf>>=\frac=k(s)\boldsymbol\nu(s),\nonumber
$$
запишем уравнение \eqref в следующем виде:
$$
\boldsymbol\rho=\textbf(s)+\frac<1><(k(s))^2>\frac>.\label
$$

Предполагая, что во всех точках кривой \(\Gamma\) кривизна отлична от нуля, построим для каждой точки кривой центр кривизны и назовем множество всех центров кривизны кривой \(\Gamma\) эволютой этой кривой.

Если кривая \(\Gamma_1\) — эволюта кривой \(\Gamma\), то кривую \(\Gamma\) называют эвольвентой кривой \(\Gamma_1\). Уравнение эволюты кривой \(\Gamma\), заданной натуральным уравнением, имеет вид \eqref.

Если кривая \(\Gamma\) задана уравнением кривой в векторной форме, то уравнение эволюты этой кривой можно получить, заменив в равенстве \eqref \(k\) и \(\displaystyle\frac\textbf>>\) их выражениями по формулам отсюда и отсюда.

Равенства \eqref задают эволюту кривой \(\Gamma\) в координатной форме.

Приведем без доказательства физическое истолкование эволюты и эвольвенты. Пусть на эволюту натянута гибкая нерастяжимая нить. Если эту нить развертывать, оставляя все время натянутой, то конец нити опишет эвольвенту. Этим можно объяснить термины эволюта («развертка») и эвольвента («развертывающаяся»).

Найти эволюту эллипса \(x=a\cos t,\ y=b\sin t\).

Реферат: Кривизна плоской кривой Эволюта и эвольвента

Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента

Реферат по математическому анализу выполнил: студент МГТУ им. Баумана группа Э2 –11 Тимофеев Дмитрий

Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента.

Определение 1. Если каждому значению независимого переменного tÎTÍR , называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствие единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного аргумента. Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют радиус-векторм.

Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда представление

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) – действительные функции одного действительного переменного t с общей областью определения TÍR , называемые координатными функциями вектор-функции r(t).

Введём теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b] . Пусть в трёхмерном пространстве R3 задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ртонормированным базисом .

Определение 2. Множество ГÌR3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, tÎ[a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b] вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t — параметром кривой.

При фиксированном значении t = t0Î [a, b] параметра значения x(t0), y(t0), z(t0) являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление

Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора при изменении параметра t.

Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать

Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при tÎ(a, b) называют простым замкнутым контуром.

Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.

Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:

причём равенство z=0 обычно опускают и пишут

График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой с координатным представлением Г = <(x; y) ÎR2 : x = x, y = f(x), xÎ[c, d] >.

В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j или r(x) = xi + f(x)j соответсвенно.

Кривизна плоской кривой.

Длина дуги иеё производная.

В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.

Пусть дуга кривой M0M (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.

Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1, M.

Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1Mi…Mn-1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn.

Длиной дуги M0M называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной Mi-1Mi , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M .

Найдём выражение дифференциала дуги.

Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0, y0)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину дуги M0M (рис.

3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x.

Дадим x приращение Dx. Тогда дуга s получит приращение Ds = дл. ÈMM1. Пусть — хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти , поступим следующим образом:

Из DMM1Q находим = (Dx)2 +(Dy)2. Умножим и разделим левую часть наDs2:

Разделим все члены равенства на Dx2:

Найдём предел левой и правой частей при Dx®0. Учитывая, что и , получим

Для дифференциала дуги получим следующее выражение:

или

Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:

и выражение принимает вид: .

Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.

Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через a угол, образованный этими касательными, или – точнее — угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).

рис. 4 рис. 5

Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.

Определение 4. Средней кривизной Кср дуги ÈАВ называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги:

Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6) средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 , хотя длины этих дуг равны между собой.

Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в данной точке.

Определение5. Кривизной Ка линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:

Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x, y). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет непрерывную вторую производную.

Проведём касательные к кривой в точках M и M1 с абсциссами x и x+Dx и обозначим через j и j+Dj углы наклона этих касательных (рис.7).

Длину дуги ÈM0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначим через s; тогда Ds = ÈM0M1 -ÈM0M, а½Ds½ = ÈMM1. Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге ÈMM1 равен абсолютной величине разности углов j и j+Dj, то есть равен ½Dj½.

Согласно определению средней кривизны кривой на участке ÈMM1 имеем .

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги ÈMM1 стремится к нулю:

Так как величины j и s зависят от x, то, следовательно, j можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда

Для вычисления воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически: .

Чтобы выразить производную через функцию y=f(x), заметим, что и, следовательно .

Дифференцируя по x последнее равенство, получаем .

И так как , то

, и окончательно, так как , получаем

.

Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

Пусть кривая задана параметрически: x=j(t), y=y(t). Тогда

Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем

.

Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением вида r = f(q). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = rcosq, y = rsinq .

Если в эти формулы подставить вместо r его выражение через q, то есть f(q), то получим

x = f(q) cos q, y = f(q) sin q

Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является q.

Тогда,

,

Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:

Радиус и круг кривизны

Определение 7. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K, или

Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.

Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.

Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты a и b центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

Так как точка C(a, b) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению .

Далее, точка C(a, b) находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:

Решив совместно уравнения * определим a, b:

и так как , то

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!! 0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, b>y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае ½y!!½= y. формулы координат центра запишем в следующем виде:

(1)