Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
Как получить уравнение касательной и уравнение нормали
Касательная — это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.
Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.
Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.
В нём k — угловой коэффициент.
Отсюда получаем следующую запись:
Значение производной f ‘(x 0 ) функции y = f(x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной.
Таким образом, можем заменить k на f ‘(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:
В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.
Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:
Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).
Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».
Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .
Решаем задачи вместе
Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции (функция представляет собой многочлен и её производную можно найти по формулам 1, 2 и 3 в таблице производных):
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.
Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.
Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Снова решаем задачи вместе
Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).
Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (потребуется формула 9 в таблице производных сложной функции):
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Как и в предыдущем примере, данная функция — сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (используя формулу 1 в таблице производных сложной функции):
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Как найти уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности в заданной точке?
Сегодня на уроке я расскажу вам об одном популярном приложении дифференциального исчисления функции двух переменных, а именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.
Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.
В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий, которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .
Определение 1: касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .
Определение 2: нормаль к поверхности в точке – это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.
Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.
С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Решение: если поверхность задана уравнением (т.е. неявно), то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:
Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно). При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных, то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:
Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:
Аналогично:
Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент.
Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:
– общее уравнение искомой касательной плоскости.
Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:
– верное равенство.
Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии, – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :
В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет
Ответ:
Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.
Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
И задание, интересное с технической точки зрения:
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке
в точке .
Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой. А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.
Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.
В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .
Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.
Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:
Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?
Перепишем её в неявном виде :
и по тем же принципам найдём частные производные:
Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:
, и соответственно, канонические уравнения нормали:
Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.
Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки). Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.
Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….
Решение: уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:
Вычислим значение функции в точке :
Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:
Таким образом:
аккуратно, не спешим:
Запишем канонические уравнения нормали в точке :
Ответ:
И заключительный пример для самостоятельного решения:
Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».
И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)
Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие). Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.
Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто 😉 Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)». Обратите внимание, как грамотно начата статья о Чебурашке в Википедии – с понятия, кто это такой.
Кроме того, в прикладных областях особую важность приобретает второй вопрос: ЗАЧЕМ ЭТО НУЖНО? Например, та или иная команда языка программирования. В подобных определениях должен обязательно содержаться ответ на этот вопрос.
Однако ответ желательно найти в любом случае. Ну, с нашими примерами всё понятно, Чебурашка нужен, чтобы развлекать детей, а касательные плоскости и нормали – чтобы радовать взрослых =)
Эту статью я написал за один-единственный день (величайшая редкость), и надеюсь, она вам понравилась!
Традиционные решения и ответы:
Пример 2: Решение: уравнение касательной плоскости к поверхности в точке составим по формуле:
Вычислим частные производные в точке :
Таким образом:
(умножили обе части на –5)
– уравнение искомой касательной плоскости.
Запишем уравнения нормали к поверхности в точке :
– канонические уравнения искомой нормали.
Ответ:
Пример 3: Решение: преобразуем уравнение:
Вычислим частные производные в точке :
Запишем уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке :
Запишем канонические уравнения нормали в точке :
Ответ: – уравнение искомой касательной плоскости;
– уравнения искомой нормали.
Пример 5: Решение: используем формулу:
Вычислим частные производные в точке :
Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :
Уравнения нормали:
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Геометрическое применение производной
Вы будете перенаправлены на Автор24
Что такое касательная и нормаль к кривой
Касательная — прямая которая совпадает и проходит через точку кривой с точностью до первого порядка.
Нормаль к кривой — прямая перпендикулярно проходящая через точку касания.
Рисунок 1. Нормаль и касательная к кривой
Для кривой вида y = f(x) уравнение касательной в точке М(x0,y0):
Для кривой вида y = f(x) уравнение касательной в точке М(x0,y0):
Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой $x_0=1$:
- Найдем значение функции в точке: \[y_ <0>=3\cdot 1^ <2>-2\cdot 1+11=12\]
- Найдем производную в данной точке: \[y'(x_ <0>)=\left(3x^ <2>-2x+11\right) <<'>> =6x-2\] \[y'(1)=6\cdot 1-2=4\]
- Запишем уравнение касательной: \[y-y_ <0>=y`(x_ <0>)(x-x_ <0>)\] \[y-12=4(x-1)\] \[y-4x-8=0\]
- Запишем уравнение нормали: \[y-12=-\frac<1><4>(x-1)\] \[4y+x-49=0\]
Угол между двумя кривыми в точке М(x0,y0) является наименьшим из возможных углов между касательными. Пусть уравнения касательных имеют вид:
Тогда тангенс угла между двумя кривыми находится по формуле:
Найти тангенс угла между кривыми, в точке имеющей большую абсциссу.
- Для того чтобы определить точки пересечения кривых необходимо решить систему уравнений: \[\left\<\begin
Значит, кривые пересекаются в точках 0,5 и 2. Максимальной, из которых, является точка x = 2.
Готовые работы на аналогичную тему
Что такое длина касательной и нормали, подкасательная и поднормаль
Длина отрезка от пересечения касательной оси ОХ до пересечения с нормалью или кривой называется длиной касательной.
Проекция отрезка от пересечения касательной оси ОХ до пересечения с нормалью или кривой на ось Ох называется подкасательной (ST).
Длина отрезка от пересечения нормали с касательной или кривой до точки соприкосновения с осью Ох называется длиной нормали, а проекция отрезка на ось — поднормалью (SN).
Найти длину подкасательной и поднормали для эллипса x = acost, y = bsint
Рисунок 2. Эллипс
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 12 2021
http://mathprofi.net/kasatelnaja_ploskost_i_normal_k_poverhnosti_v_tochke.html
http://spravochnick.ru/matematika/proizvodnaya_i_differencial/geometricheskoe_primenenie_proizvodnoy/