Как составить уравнение окружности описанной около треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

получим систему уравнений

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Окружность, описанная около треугольника

Определение и формулы круга, описываемого вокруг треугольника

Круг, проходящий через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.

Центр описанной окружности лежит на пересечении средних перпендикуляров к сторонам треугольника.

Круг может быть описан вокруг любого треугольника и только одного.

Радиус \(\ \mathrm \) окружности, описываемой вокруг треугольника, равен отношению произведения сторон a, b, c треугольника к его четверной области:

Радиус круга, описанного вокруг треугольника, равен отношению стороны треугольника к двойному синусу противоположного угла (следствие теоремы синуса):

В правом треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы.

Примеры решения проблем

Найти радиус окружности, описанной около треугольника \(\ \mathrm \) со стороной \(\ \mathrm \) и углами \(\ \angle A=60 \) и \(\ \angle B=75^ <\circ>\)

Радиус \(\ R \) окружности, описываемой вокруг треугольника, найден из уравнения

Сумма углов произвольного треугольника равна \(\ 180^ <\circ>\) , поэтому

Теперь вы можете найти радиус окружности:

В треугольнике \(\ \mathrm \) стороны \(\ \mathrm \), \(\ \mathrm \). Найдите все углы треугольника, если радиус окружности равен \(\ \mathrm \).

Радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к двойному синусу противоположного угла

Из письменных равенств находим синусы углов B и C треугольника:

\(\ \sin \angle C=\frac<2 R>=\frac<8><8>=1, \sin \angle B=\frac<2 R>=\frac<6><8>=\frac<1> <2>\) откуда следует, что \(\ \angle C=90^ <\circ>\) и \(\ \angle B=30^ <\circ>\)