Как составить уравнение окружности вписанной в треугольник
Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник, стороны которого лежат на прямых x = 0, y = 0 и 3x + 4y — 12 = 0.
найдем координаты вершин треугольника, решив следующие системы уравнений:
Этот треугольник прямоугольный, так как прямые x = 0 и y = 0 перпендикулярны. Пусть r — радиус вписанной окружности в треугольник, S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника. Тогда
и .
Так как окружность касается прямых x = 0 и y = 0, то координаты центра окружности — (r; r) или (1; 1).
Итак, искомое уравнение окружности (x — 1) 2 + (y — 1) 2 = 1.
Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла |
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник |
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник |
Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.
Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.
Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.
Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).
Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно
что и требовалось доказать.
Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.
Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).
Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать
Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .
Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.
Фигура | Рисунок | Формула | Обозначения | |||||||||||||||||||
Произвольный треугольник | ||||||||||||||||||||||
Равнобедренный треугольник | ||||||||||||||||||||||
Равносторонний треугольник | ||||||||||||||||||||||
Прямоугольный треугольник |
Произвольный треугольник | ||
Равнобедренный треугольник | ||
Равносторонний треугольник | ||
Прямоугольный треугольник | ||
Произвольный треугольник |
где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.
где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.
где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство
где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).
с помощью формулы Герона получаем:
что и требовалось.
Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство
где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).
то, в случае равнобедренного треугольника, когда
что и требовалось.
Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство
где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).
то, в случае равностороннего треугольника, когда
что и требовалось.
Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.
Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство
Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,
В силу теоремы 3 справедливы равенства
Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем
что и требовалось.
Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.
Составьте уравнение окружности вписанной в треугольник стороны которых лежат на прямых заданных уравнениями х = 0 у = 0 4х — 3у — 24 = 0?
Геометрия | 5 — 9 классы
Составьте уравнение окружности вписанной в треугольник стороны которых лежат на прямых заданных уравнениями х = 0 у = 0 4х — 3у — 24 = 0.
Х = 0 это ось оу, у = 0 — это ось ох.
4х — 3у — 24 = 0 построим данную прямую.
— 3у = 24 — 4х = — 8 + 4х / 3 или у = 4х / 3 — 8.
Это уравнение прямой, которая задается
При х = 0 у = — 8 при х = 3 у = — 4.
Эта прямая находится в 4
Провели декартову прямоугольную систему координат, навели
более жирным положительную ось ох, відємну ось оу, и по координатам
которые мы нашли построили третью прямую.
Его диаметр = 4, поскольку диаметр по правилу = от суммы
катетов надо — гипотенузу.
Координаты центра(2 ; — 2).
(х — 2) в квадрате + (у + 2)в квадрате = 4.
В треугольник с углами 50 и 70 вписана окружность?
В треугольник с углами 50 и 70 вписана окружность.
Найдите углы треугольника вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами треугольника.
Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность равна 6см, найти сторону правильного треугольника вписанного в ту же окружность?
Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность равна 6см, найти сторону правильного треугольника вписанного в ту же окружность.
Напишите уравнение окружности, вписанной в ромб с диагоналями 8 и 10, если извесно, что его диагонали лежат на осях координат?
Напишите уравнение окружности, вписанной в ромб с диагоналями 8 и 10, если извесно, что его диагонали лежат на осях координат.
В окружность вписан правильный треугольник сторона которого равна 6см?
В окружность вписан правильный треугольник сторона которого равна 6см.
Вычислить площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.
В треугольник, стороны которого равны 8, 13 и 15 вписана окружность?
В треугольник, стороны которого равны 8, 13 и 15 вписана окружность.
Найдите длины отрезков этих сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью.
Составьте уравнение окружности с центром на прямой у = 4 , которая касается ОХ в точке ( — 1 ; 0)?
Составьте уравнение окружности с центром на прямой у = 4 , которая касается ОХ в точке ( — 1 ; 0).
Как относится сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного треугольника, описанного вокруг этой окружности ?
Как относится сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного треугольника, описанного вокруг этой окружности ?
Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а?
Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а.
Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
Составьте уравнение прямой, проходящей через центры двух окружностей, которые заданы уравнениями : (х + 3) ^ 2 + (у — 1) ^ 2 = 4 и (х — 2) ^ 2 + (у + 2) ^ 2 = 9?
Составьте уравнение прямой, проходящей через центры двух окружностей, которые заданы уравнениями : (х + 3) ^ 2 + (у — 1) ^ 2 = 4 и (х — 2) ^ 2 + (у + 2) ^ 2 = 9.
В окружность вписан правильный шестиугольник?
В окружность вписан правильный шестиугольник.
В него вписана окружность, в которую вписан правильный треугольник.
Найдите сторону треугольника, если диаметр большей окружности равен 4 см.
На этой странице сайта, в категории Геометрия размещен ответ на вопрос Составьте уравнение окружности вписанной в треугольник стороны которых лежат на прямых заданных уравнениями х = 0 у = 0 4х — 3у — 24 = 0?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.
1 сторона это х 2 сторона это 7х 260 : 2 = 130 7х + х = 130 8х = 130 х = 130 : 8 х = 16, 25 значит 1 сторона равна 16, 25 а 2 сторона 113, 75.
Они все = 105° 1 и 2 в сумме дают 180, как смежные. 3 и 4 равны как вертикальные.
Что будет не пончтно, спрашивай).
1 Если ось вращения — длинная сторона, то радиус цилиндра — короткая сторона, 4 см 2 если осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 12 см, то радиус конуса = 6 см Образующая 12 см, а высота по теореме Пифагора h ^ 2 = 12 ^ 2 — 6 ..
18 + 18 = 36 градусов, 360 — 36 = 324 градуса, 324 / 2 = 162 градуса. Ответ : 162 градуса.
Из треугольника полученного когда опустили высоту найдём острый угол 180 — 90 — 33 = 57. Теперь найдём тупой угол параллелограмма 180 — 57 = 123.
1x + 2x + 3x = 180 6x = 180 x = 30(A) 30 * 2 = 60(B) 30 * 3 = 90(C).
Выразить векторы через другие. Можно было КМ найти иначе и экономнее, но захотелось разнообразнее.
OA = OB = AB = > треугольник AOB равносторонний. У равностороннего треугольника равны все углы, а значит, что каждый равен 60°. Найдём смежный угол с углом AOC : COB = 120° (180° — 60°) Треугольник COB равнобедренный, т. К. OC = BO, если треугольн..
http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolrost.htm
http://geometria.my-dict.ru/q/2748222_sostavte-uravnenie-okruznosti-vpisannoj-v-treugolnik/